Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 12

Equality holds here if and only if ap = If'. Exponents pand p' are called conjugate.A.4.2.Holder’s Inequality1, let functions f E Lp(ty and g E LP>(Q),Given any domain Q c Rn, nwhere exponents p E (l,oo) and p' — p/{p — 1) are called conjugate. Thenf-gE Ti(Q) and the Holder’s inequality holdsC ||./||lp(q)IMIiv(q) •A rather trivial standard proof of the Holder’s inequality, which reduces toapplying the Young’s inequality, can be found in [?] or elsewhere. In specialcase of p = p' =the Holder’s inequality is often called Cauchy’s inequality, orCauchy-Bunyakovskii’s inequality, or Cauchy-Schwarz’s inequality, and sometimeseven Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz’s inequality.A.4.3.Generalized Holder’s InequalityGiven any domain Q c R", n1, let functions fj E LP:j(Q) where pj E (1, сю),j = 1,..., m, m > 2, with the summ1Y Pj = 1.>=1Then the productmП/.СВД,>=1Appendix A.

Some Most Frequently Used Inequalitiesand the generalized Holder’s inequality holdsThe generalized Holder’s Inequality is a rather obvious corollary of its specialcase m = 2, i.e. the Holder’s inequality itself.A.4.4.Minkowski’s Inequalities for Sums1. Triangle inequality. Let щ,, bk G C, and p g [1, oo). Then the triangleinequality holds for the sumsmmim(£ к + ьк г) T (£ и |₽)5 + (j; | h fyk=lk=lk=lwith m being finite or infinite. The proof can be found in [?].2. Holder’stype inequality.Let a,k,bk G C.

Then the Holder’s typeinequality holds for the sumrnmimi£кЫ< (£ы<Г (£|'-Т)7fc=lA-=lк=1with conjugate exponents p G [1, oo) and p' = p/(p — 1), where s is finiteor infinite. The proof can be found in [?].A.4.5.Cauchy’s Estimates for Holomorphic FunctionsLet f: G i—> В be a holomorphc function in domain G cC taking values inBanach space B. For real positive r > 0, denoteD(a,r) = {z G C: \z — a| < r}an open disc in the complex plane C centered at some point a G G such thatdist{adG) > r. Inequalitiesтъ—j-• ||/W(«)\\b < max ||/(г)||в \/n > 1П\p—a|=r§5. Другие примеры задач математической физики95are called the Cauchy's estimates for holomorphic function f in the disc D(a, r),where notation f (n) stands for the n-th order C-derivative of f.

For furtherdetails and proofs see Ch. VII in [?].A.5.Другие примеры задач математической физикиA.5.1.Телеграфные уравненияA.5.2.Уравнение поперечных колебаний балкиA.5.3.Уравнение Гельмгольца в теории оптических волноводовПриложение BНекоторые методическиерекомендацииB.1.Метод интегральных преобразованийB.2.Метод искусственного параметра в задаче КошиРассмотрим задачу Коши для волнового уравненияutt = Au,{(x,y,z) G R3, t > 0,Vfu|t=0 = x sin(x + y + z),(B.2.1)ut|t=0 = 0.Решение.Вместо задачи (B.2.1) рассмотрим вспомогательную задачу с искусствен­ным параметром p:[vtt = AV<(x,y,z) G R^ t > 0,v|t=0 = -cos(px + y + z),(BA2)vt|t=0 = 0.Очевидно, функция F(x, y, z, p) d=ef cos(px +y +z) будет собственной функ­цией оператора ЛапласаAF = — (p2 + 2)F = A(p)Fс собственным числом A(p) = — (p2 + 2).Решение задачи Коши (B.2.2) ищется в видеv(x,y,z,t,p') = p(t)F (x,y,z,p) = v(t)cos(px + y + z96(B.2.3)Интегрирование ДУЧП первого порядка§3.97функция у? определяется как решение задачи Коши+ (р2 + 2)p(t) = 0,t > 0,Д0) = -1, <д(о) = о,которое имеет видДД = -cos(ty/p2 + 2^,откуда и из (В.2.3) находим решение вспомогательной задачи (В.2.3):Дх,у, z,t,p) = — cos (t Др2 + 2^ cos(prr + р + 2).А теперь, полагая u(x,y, z,t) =f, заметим, чтогф=0 = £sin(z + у + г),гцД0 = 0.При этом, в силу построения, функция и удовлетворяет волновому уравне­ниюutt = Aw,что завершает решение задачи (В.2.3).2fОтвет: u(x,y,z,t) = тшт(ж+И+г) cos(/:a/3)4—7= sin(t-\/3) cos(px+y+z).v3В.З.Интегрирование ДУЧП первого порядкаВ.4.Как найти класс единственности для краевой за­дачиПриложение СПримеры решения задач методомФурьеС.1.Начально-краевые задачиПример 1.

Решим начально-краевую задачуUtt = ихх, 0 < X < 7Г, 0 < t < Г,< Ч=о — 1, wt|t=0 — 0 ,(1)<^|х=0 -- ^|х=7Г -- 0 •Оператор £ =с областью определения: 'Ф е С2[0,7г] , ^(0) = V’W = 0}симметричен (см. пример 1). Поэтому все его собственные числа веществен­ные. Так как £ — неположительно определенный оператор, все его собствен­ные числа неположительные. Задачу (1) перепишем в видеХ"(ж) = ХХ(х), 0 < х < тг,Х(0) =Х(тг) = 0.Рассмотрим отдельно два случая: А = 0 и А < 0.1. Если А = 0, то Х"(х) = 0 и Х(х) = С\х + Cz- Из краевых условийследует, что С\ = Cz = 0, т.

е. Х(х) = 0. Следовательно, А = 0 не являетсясобственным числом.98§С.1..Решение начально-краевых задач992. Если А < 0 переобозначим А полагая А = —/т2, где /1^0- веще­ственное число. Тогда Х"(х) + ц2Х(ж) = 0 и X = С^соьрх + (£ sin fix.Из краевви условий находим С\ = 0 и С-> sin /ж = 0. Нетривиальные ре­шения будут существовать тогда и только тогда, когда sin /ж = 0, т. е.р. = k, k = Р.1, ±2, .... А чтобы решения были линейно независимые, сле­дует взять к = 1,2,....

Таким образом, найдены все собственные функциии собственные числа оператора £:Хк(х) = sin кх,Хк = —к2, к = 1,2,... .Постояннаявыбрана равной единице, поскольку решение задачи (1)можно нормировать ненулевым множителем.Согласно [5], [6] система {sin кх}^=х полна в £2(0,7?). А так как оператор£ симметричен и все его собственные числа простые, система {sin кх}^=1образует ортогональный базис в £9(0,7?). Разложим обобщенное решениезадачи (1) в ряд по полученному ортогональному базису:ТМ sin кх •u(x, t) =(2)к=1Для коэффициентов разложения Tk(t) получаем задачи Коши:ТДД) = AfeTfe(t), 0 <t <Т,(1)Заметим, что || sin /сж||2 = 7?/2 Vк1 и100Приложение 2т.

е. при к = 2т ноль будет решением задачи (3), а других решений прик = 2т не будет ввиду единственности решения задачи Коши для линей­ного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэф­фициентами. Таким образом, T2m(t) = 0, а при к = 2т + 1 имеемТ2/?)+1 (t) = Ат cos(2m + l)t + Вт sin(2m + 1)£,где постоянные Ато, Вт определяются из условийТ2т+1(0) =+, ^2т+1(0) = 0, m > 0,т. е. Ат = эт(2^+1-у , Вт = 0 , m > 0. СледовательноTki+lW =4 , 1А COS (2т + 1ф , 777 > 0 .7г(2т + 1)(4)Подставляя (4) в (2), получаемОбобщенное решение задачи (1) найдено и имеет вид (5).

Ряд (5) схо­дится в Т2(Пу) и поточечно в Пр. Равномерно в Пу ряд (5) не сходит­ся.Классическое решение задачи (1) не существует, поскольку начальноеусловие 77ф=о = 1 не удовлетворяет необходимым условиям согласования. Аклассическая схема метода Фурье к задаче (3) не применима, так как ряд(5) нельзя дифференцировать почленно.С.2.Краевые задачиПопулярные Интернет-ресурсы1. Веб-сайт EqWorld «Мир математических уравнений» — многоязычныйобщеобразовательный и справочный Интернет-ресурс по линейным и нели­нейным дифференциальным и функциональным уравнениям. Имеется биб­лиотека с книгами по математике, механике, физике, а также ссылки какна отдельные книги, так и на библиотеки, размещенные в Интернете:http://eqworld.ipmnet.ru/inclexr.htm/2. Математическая энциклопедия — энциклопедия в 5 томах под ре­дакцией И.М. Виноградова — М., Советская энциклопедия, 1977:http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3.

Интерактивный веб-сайт Wolfram Alpha — инновационный подход кприобретению знаний и поиску ответов на вопросы из любого раздела мате­матики, основываясь не на обыденном поиске в сети Интернет, а на дина­мических вычислениях, использующих обширную коллекцию встроенныхданных, алгоритмов и методов:http: //www.wolframalpha.com/4. Интерактивный веб-сайт Mathematics Stack Exchange в стиле Q&A(=Question-and-Answer), т.е. в стиле вопрос-ответ, является частью обшир­ной сети Stack Exchange, охватывающей более 170 веб-сайтов. MathematicsStack Exchange является эффективным образовательным ресурсом дляизучающих любой раздел математики на любом уровне — от начинающегодо профессионала:http: / / math.stackexchange.com101102Популярные Интернет-ресурсыЛитература[1] Бесов О.

В. Лекции по математическому анализу. — М.: Физматлит,2014.[2] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 5-е изд. -М.: Наука, 1988.[3] Владимиров В. С., Михайлов В. П., Михайлова Т. В., Шабунин М. И.Сборник задач по уравнениям математической физики. —4-е изд.,переработанное и дополненное.

— М.: Физматлит, 2016.[4] Демидович Б. П. Простое доказательство теоремы о среднем значениидля гармонических функций. — УМН, 1954, Т. 9, вып. 3(61), С. 213—214[5] Михайлов В. П. Лекции по уравнениям математической физики. —М.: Физматлит, 2001.[6] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производ­ных.—2-е изд. — М.: Наука, 1988.[7] Олейник О.

А. Лекции об уравнениях с частными производными. — 2-еизд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.[8] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. —М.: Наука, 1997.[9] Уроев В. М. Уравнения математической физики. — М.: НФ Яуза, 1998.[10] Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Университетскаясерия. — Т.

7. — Новосибирск: «Тамара Рожковская», 2003.103ЛИТЕРАТУРА104Дополнительная литература[И] Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. 2-еизд. — М.: Фазис, 1997.[12] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. —М.: Наука, 1979.[13] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М.:Наука, 1973.[14] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.— М.: Наука, 1965.[15] Наймарк М.А.