Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 4

рисунок, на котором граница неораниченной области влияниясостоит из отрезка [щ , С2] и двух полубесконечных отрезков характеристикх + at = ед и х — at = С2 .Определение 3.1.3. Для однородного волнового уравнения, выполняюще­гося на пространственно-временной полуплоскости t > 0, с данными Коши,заданными на каком-либо интервале (сцСг) начальной оси t = 0, обла­стью единственности называют наибольшую подобласть полуплоскостиt > 0, во всех точках которой классическое решение задачи Коши одно­значно определено своими данными с интервала (сцСг).Формула Даламбера показывает, что решение задачи Коши для одно­родного или неоднородного волнового уравнения с начальными данными,заданными на интервале (сцСг) оси t = 0, будет однозначно определенов пространственно-временной области, ограниченной характеристическимтреугольником с основанием (сцСг) и вершиной Р(жД) — см. рисунок, гдеобластью единственности служит внутренность равнобедренного треуголь­ника, основание (сщсг) которого соединяется с его вершиной P(x,t) двумяотрезками характеристик: х — at = су и х + at = с%.

Нетрудно убедиться,что принадлежность указанного характеристического треугольника как от­крытого подмножества к какой-либо заданной пространственно-временнойобласти, во всех точках которой выполняется однородное или даже неод­нородное волновое уравнение с какой-либо заданной правой частью, будетСлабое решение задачи Коши§2.31необходимым и достаточным условием единственности классического ре­шения задачи Коши для заданной пространственно-временной области.3.2.Слабое решение задачи КошиЭтот параграф посвящен слабым решениям задачи Коши для волновогоуравнения.

Простейшим и наиважнейшим примером слабого решения вол­нового уравнения служит разрывное кусочно-гладкое решение. Выводитсяформула Даламбера для слабых решений, свидетельствующая о распро­странении разрывов слабых решений вдоль характеристик.Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения с одной простран­ственной переменнойutt — aruxx = 0,гф=о =w(.t),х el, t > 0,ut\t=o = ui(x\(3.2.1)ж G R.Классическим решением задачи Коши (4.1.1) называют функцию u G C2(R^)nC^R^), удовлетворяющую уравнению и начальным условиям (1).В слабой постановке задачи Коши участвуют начальные данные, задан­ные на границе полуплоскости R^_ = х [0, ос), в связи с чем возникает необ­ходимость в лемме ДюБуа-Реймонда для прямой t = 0, и по этой причиненосители пробных функций в интегральном тождестве должны пересекать­ся с прямой t = 0. С другой стороны, одним из наиболее эффективныхинструментов при построении слабых решений задачи Коши (4.1.1) сталадвойственная задача для пробных функций на полуплоскости t < Т с ну­левыми данными Коши при t = Т > 0.Для полосы Пу =f х[0,Т] слабым решением задачи Коши (4.1.1) классаLi будем называть функцию и G ЬДПу)5, удовлетворяющую интегрально­ст.

е., функцию,(несобственно) абсолютно интегрируемую по Риману на Пу.32Глава 3.Волновое уравнениему тождествуПроверим корректность определения слабого решения рассматри­ваемой задачи Коши (4.1.1).1. Умножим уравнение (4.1.1) на пробную функцию v и проинтегриру­ем по частям, используя условия Коши гф=т = Vt\t=T = 0. Получиминтегральное тождество (4.1.2);2. Пусть слабое решение имеет гладкость классического. Подставляя винтегральное тождество пробные функции с носителем, лежащем вполосе Пу, получим после интегрирования по частямv(x, t) dxdt = 0Vr е д°°пт,ГЦоткуда и из леммы ДюБуа-Реймонда.

ввиду предполагаемой класси­ческой гладкости решения следует поточечное выполнение уравнения(4.1.1) в полосе Пу. Остается извлечь из тождества (4.1.2) начальныеусловия. Для этого снова интегрируем в тождестве (4.1.2) по частям,но на этот раз с пробными функциямиv G C*°°R2: гД=т = Vt\t=T = 0.Пользуясь тем, что выполнению уравнения уже доказано, получимоставшуюся часть тождествагц(ж))г(ж, 0) dx— u(x, 0))гу(ж, 0) dx = 0УгедооК2:гф=т = щ|/=т = 0(3.2.3)Слабые решения задачи Коши§2.33Замечая, что значения Дх, 0) и гДх, 0) могут быть любыми элементамипространства С*00®, и пользуясь леммой ДюБуа-Реймонда, заключаем,чтои(х, 0) — по(ж) = иДх, 0) —= 0 V х G R,т.

e. слабое решение, имеющее классическую гладкость, удовлетворяетзаданным начальным условиям, извлеченным таким образом из инте­грального тождества (4.1.2).Осталось найти еще и само слабое решение. Если бы оно имело классиче­скую гладкость, то выписывалось бы по формуле Даламбера. А что делатькогда начальные данные не дифференцируемы, имеют разрывы, или не бо­лее чем локально интегрируемы? Попробовать использовать общий вид ре­шения с прошлой лекции? А как проверить выполнение начальных условийдля локально интегрируемой функции? Ответы на все эти вопросы такжесодержатся в интегральном тождестве (4.1.2), которое определяет слабоерешение и его свойства.Оказывается явное представление искомого локально интегрируемогослабого решения задачи Коши для волнового уравнения легко извлекаетсяиз того же интегрального тождества (4.1.2).

И оказывается, что это ужезнакомая нам формула Даламбера. Точнее, справедлива следующая теоре­ма.Теорема 3.2.1. При любых заданных uq и щ из ТДПу) существует един­ственное слабое решение и G ТДПу) задачи Коши (4.1.1) в смысле инте­грального тождества (4.1.2). Для этого решения справедлива формула,Даламбера.Доказательство. Считая функцию f произвольным заданным элементомС*°°Пт, представим её в виде= vtt ~ o2vxx . определив функцию34Глава 3.Волновое уравнениеv: Пу —> R как классическое решение вспомогательной задачи Кошиvtt ~ a2vxx = f(x, t),x 6 1, 0 <t <T,(3.2.4)x G R.^|t=r = Vt\t=T = 0,С помощью принципа Дюамеля (см. Лекцию 06) и замены t на Т — t клас­сическое решение вспомогательной задачи Коши (3.2.4) можно представитьв виде/>T—t=—JOi'x+a(T—t—T)drВажно, что при любых f GJx—a(T—t—r)f(y,T-r)dy.(3.2.5)решения (3.2.5) задачи (3.2.4) сохраняютсвойстваv G Cy0CR2: v\t=T = Vt\t=T = 0,а значит, могут использоваться как пробные функции в интегральном тож­дестве (4.1.2).Чтобы подставить v вида (3.2.5) в тождество (4.1.2), вычислим с(х,0) ищ(ж,0).

Как нетрудно убедиться,1 гТгх+а(Т-т)=—drf(y,T — r)dy,JoJx-ут-ущ(ж,0) = -^ I [f(x + a(T -r),T -t) + f(x-a(T -r),T -r)]dr,J Joа сделав замену T — т = t, получаем1=—/>ТrTJo0px+atdtJx—atf(y,t)dy,1 fтTщ(ж,0) = -- / [f(x + at,t) + f(x-at,t)]dt,J Jo(3.2.6)Подставляя (4.1.4) и гщ — a2vxx = f(x,t) в (4.1.2), находимfufdxdt= I ui(x)v(x,0)dx- f моД)щ(ж,О) dx V f G д°°Пт (3.2.7)JJ —00*7—00П71§2.Слабые решения задачи Коши35В силу (4.1.4) имеем/.00■тx■x-\-atwi(x)v(x, 0) dx = —/2(1■ / — 00x—at-at-\-at—at•x+atx—atоткуда следует, что(•x+atooZ/щ(х)и(х, 0) dx(3.2.8)J x—at-ооВ силу (4.1.4) имеем также•TГ001— / ио(ж)'С/(ж, 0) oh? =J —со.70■'00■T0co'CO•T-'CO■co0откуда следует, что1 /•Uo(x)vt(x,O)dx = - / [uo(x — at) + Uo(x + at)]f(xC) dxdt.

(3.2.9)-oo2 J ПтПодставляя (4.1.6) и (4.1.7) в (4.1.5), получаемZoo11 г■x+atWi(£)d£ f(x,t)dxdtи(х,С)—д (uo(x—at) +uq(ж+at)) — —- /zza jxx—at0V/eГлава 3.36Волновое уравнениеоткуда и из леммы ДюБуа.-Реймонда. следует формула Даламбера. для сла­бых решений задачи Коши. Важно, что одновременно доказано, что форму­ла Даламбера справедлива для всякого слабого решения. Отсюда, в част­ности, следует, что одновременно доказана еще и единственность слабогорешения u Е ТДПр), означающая единственность с точностью до нулевогоэлемента пространства ЬДПу)6.Таким образом, с точностью до нулевого элемента пространства ТДПу)слабое решение и Е ТДПу) задачи Коши (4.1.1) в смысле интегральноготождества (4.1.2) имеет на Пр видх I at(3.2.10)□Теорема доказана.2.

Разрывные решения. Распространение особенностей слабыхрешений вдоль характеристик. (На основе анализа формулы Даламбе­ра)Упражнение. Пусть щ = 0. Начиная с простейших, перечислить достаточ­ные условия наuqЕ Ti(R), при которых слабое решение и Е ТДПщ) имеетвид (4.1.8) с точностью до множества Жордановой меры ноль.Пример. Пусть и Е ТДПу) — слабое решение задачи Коши с начальнымиданнымиио(т) = sign(a;3 — Зт2 + 2ж);щ = 0.Описать распространение разрывов слабого решения при t > 0.3.3.Начально-краевые задачи на полуосиНачально-краевая задача для однородного волнового уравнения на полу­оси. Представление решения.

Условия согласования начальных и гранич­ных данных. Непрерывная зависимость решения от данных задачи.Подробности см. на с. 401 учебника: Бесов О.В. Лекции по мат. анализу - М.: Физматлит, 2014.§3.Классические и слабые решения на. полуоси37Рассмотрим начально-краевую задачу для волнового уравнения на по­луоси с краевым условием Дирихлеutt - a2uxx = 0, ж > 0, t > 0;< гф=о = тщД), ut\t=0 = и^х), ж > 0;(3.3.1)^|ж=0 = (дД), Р0.Классическим решением начально-краевой задачи (3.3.1) называют реше­ние, имеющее классическую гладкость u G С2([0, ос) х [0, ос)), которая поз­воляет проверить выполнение уравнения на открытом множестве (0, ос) х(0, ос), а краевого и начальных условий — на замкнутых множествах [0, ос).Обеспечить гладкость классического решения и Е С2([0, ос) х [0, ос)) позво­ляют начальные данныеuqЕ С2[0, ос), щ G Сх[0, ос) и граничные данныер Е С*2[0, ос), удовлетворяющие соответствующим условиям согласования.Переходя к характеристическим переменным£ = х + at,■// = х — at,нетрудно убедиться, что для любой односвязной области Q С R2 всякоерешение и Е C2(Q) однородного волнового уравнения (3.3.1) может бытьзаписано в видеu(x,t) = f(x + at} + д(х — at).(3.3.2)Полагая Q =f (0, ос) x (0, ос), из начальных условий (3.3.1) получаем/(Х)+^(Ж)=7/О(Ж),Vx > 0af'(x) — а д'(х) = т/Дх),откуда находим вид функций f и д при неотрицательных значениях аргу-Глава 3.38ментаВолновое уравнениеX'+ с,= ^о(ж) +ох<(3.3.3)3(Д = |ио(Ж) -1/ 'ЫО^-С,ОкТаким образом, в представлении искомого решения (3.3.2) вид функцииf уже известен, а для функции д осталось найти ее вид при отрицатели-ных значениях аргумента.