Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 3

В случае п = 2,21Разделение переменных методом Фурье§4.интегрируя по частям, находим(4)При п = 2 обобщенным решением задачи (1), (2) будем называть функциюи(х,Р) Е Ь2(ПТ), удовлетворяющую тождеству (4). В тождествах (3), (4)неявно содержатся начальные и краевые условия на u(x,t), если и(х,Р)обладает достаточной гладкостью.Относительно операторов Рп и £ в задаче (1), (2) будем предполагать,что(а) краевые условия С,с самосопряженные;(б) за исключением, возможно, конечного набора собственных чисел Аоператора £, все корни характеристического уравнения= А удовле­творяют условию Re s < 0.Из предположения (а) следует существование ортогонального базисаиз собственных функций оператора £.

Пусть {А/с}^1 — система собствен­ных чисел оператора £. В силу (а) оператор £ симметричен, т. е. все егособственные числа Xk вещественные. Из предположения (б) следует суще­ствование такого номера N1, что все корни характеристического урав­нения Pn(s) = Xk удовлетворяют условиюRe s < 0 V к Д N.(5)Рассмотрим сначала случай n = 1. Выберем гфт,А) = Xk(x)tp(t) в (3)для А: > 1, гдеG Ф„ =: р G Сп[0,Т], ^т\Т) =0, 0 < m < п - 1.}22Глава 2.Элементы анализа дифференциальных уравненийДля t Е (О, Т) обозначимTk(t) =(u(x,t), Хк(х))П v ||2,’К'(6)т. е.

Тк{Г} - коэффициенты разложения м(ж,£) в рядоо(7)fc=iТогда из (3) следует, чтотУ (-афГур1 + а0Ткф)(И = aiakip(0)+отт+Хк У Tkpdt + У cypdt V у? Е Фх,о(8)огде ск — коэффициенты разложения /(жД), т. е.СМ =(ДхЭ\Хк(хУ)II Y II"к>^IHfclrи ак — коэффициенты разложения иДх), т. е.ЦХдЦ'2 ’к>1Г(9)Поскольку С°°(0,Т) Е Фцто из (8) следует, чтотУ (-афДД + aQTkp) dt =от= У(ХкТк + ck)pdt Vy Е Ф1.(Ю)оПо предположению, обобщенное решение u(x, t) Е ЬфТГф, поэтому Tk(t) ЕЬфТГф. Рассматривая Тк(Д как регулярную обобщенную функцию в ком­плексном Рх(0,Т), перепишем (10) в виде§4.Разделение переменных методом Фурье23отсюда находим> VД Е< а\Тк + а$Тк,(р >= ХкТк +Р(0,Г),т. е.

приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению для обоб­щенной функции 7). G T2z(0,СР), а именно+ аоТк = щ, к Д 1(11)Общий вид решения уравнения (И) находится умножением на интегриру­ющий множительe(«o-Afe)2r ес°°[о,Т].При этом Тк оказывается регулярной обобщенной функцией видаtTk(t) = Д.с(Ла_Яо)^ + — [ е '“iск(т)&г ,(12)«1 Jогде Ак — произвольная постоянная, т. е. Тк снова можно рассматривать какобычную функцию, к1.Интегрируя теперь в (8) по частям и пользуясь (11), получим7а,(0)^(0) = м/..д(О) Vy G Ф1,что эквивалентно начальному условиюТИ0) = «щк > 1,(13)где ак имеют вид (9). Следует обратить внимание на то, что равенство(13) формально (но только формально) можно получить из (6) предельным0.Из (12), (13) находимtTk(t) = акД + 1 [к > 1,(14)«'1 Jогде sk = (Afc~a°) — корень характеристического уравнения Pi(s) = Хк. Попереходом при/: -дпредположению, Re sk < 0, начиная с некоторого номера к = N.

Поэтомуа||ь2(0,т) vt G (0,Т), ко1,24Глава 2.Элементы анализа дифференциальных уравненийоткуда получаем(15)Из (7) следует, что'ОСИь2(Пт) =У? \\Тк |Г12(0,Т) \\Хк ||l2(0,/) ?fc=lтак как, — ортогональный базис в £2(6, /). А тогда из (15) нахо­димОСОСМ11ь2(Пт) <2ТУ? ll^ll2HXfe||i2(0,/) +2МОЕ)и2Хк Нь2(о,/)к=1fc=l-- 2TII?/21 II “0 IIH2l2(0,/) ++Т Нс/=II fll2|а 12 111 Нь2(Пт) ,(16)так как ввиду ортогональности базиса {Х/С(ж)}^£1 имеемОСУ? IIMi^felllyO,/) = 1 w 111fc=lОСЕz, ||2|| у 112__С'к\\щОД}\\Лк\\що,1) —II Г||2II./ 11£2(Пт)fc=lВ силу (16) построенная в виде ряда (7) с коэффициентами (14) функцияи(х,Г) будет элементом £2(Пт).

Поскольку {Х/С(.т)}^£1 — ортогональныйбазис в £2(0, Z) и Ф? — всюду плотное в £2(6,7) подпространство, то и(х,Г)удовлетворяет (3), т.е. u(x,t) является обобщенным решением задачи (1),(2). Тем самым доказано существование обобщенного решения задачи (1),(2) при f(x,t) С ЬфТГф) и Uo(x) Е Ьф0,1). Единственность обобщенногорешения задачи (1), (2) следует из единственности решений задач Коши(11), (13).Таким образом, в случае п = 1 обобщенное решение задачи (1), (2) рас­кладывается в ряд Фурье (7) по ортогональному базису {Х/г(л>)}^Е1 состо­ящему из собственных функций оператора 7.

Коэффициенты разложения§4.Разделение переменных методом Фурье25Tk(t) определяются из задач Коши (11), (13). Следует обратить вниманиена то, что в случае существования классического решения задачи (1), (2)обоснование метода Фурье по классической схеме частично упрощается, ачастично усложняется.

Действительно, пусть существует классическое ре­шение задачи (1), (2). Разложим его в ряд Фурье (7), при этом коэффици­енты разложения будут иметь вид (6). Умножая уравнение (1) скалярно на£2(0,/) на собственную функцию ХДж), получим для всех t G (0,Т)(Р11/(2’У), Хк(х)) = (£//(./•./). Хк(х)) + (./(ту), Хк(х)).Поскольку u(x, t) — классическое решение(т. е. u(x, i) обладает соответству­ющей гладкостью), то(Р11/(жД), ХДт)) = Pi('u(x,t), ХДж)), t G (0,Т),так как скалярное произведение в £2(0, Z) — это интеграл по х,i(и(х,£р Хк(х)) =w(.t,£)Хк(х)с1х,t G (0,Т).оВвиду симметричности оператора £ имеем(£<тД), ХДт)) = (Цщф, £Хк(х)), t G (0,T).Но Хк(х) - собственная функция симметричного оператора £, поэтому(£w(a?,i), Хк(х\) = АЦгфгД), ХДж)), t G (0,Т).А тогда для всех t G (О, Т)PiMM), Хк(х)) = Хк(и(х,£), Хк(х)) + (/(ж,ф, ХДт)).Разделив обе части последнего равенства на ||АД||2 и воспользовавшись (6),получим уравнениеР1Тк = an +(/(а'’\\ХукФ(ж)),гt е (0,Т),26Глава 2.Элементы анализа дифференциальных уравненийкоторое совпадает с уравнением (11).

Посколвку u(x, Г) предполагается клас­сическим решением, то в (6) можно перейти к пределу при t -д 0. Тогдагр_ Фо- Хк) _,~^/г(0)11 v ДДк ■) &1.Таким образом, для коэффициентов разложения классического решенияполученв1 те же задачи Коши (11), (13), что и для коэффициентов разло­жения обобщенного (слабого) решения. Этот факт, сам по себе, очевиден— ведв классическое решение всегда будет обобщенным, а для коэффици­ентов разложения обобщенных решений задач Коши (11), (13) были ужеполучены.Изложенный только что подход к построению классического решения за­дачи (1), (2) представляет собой наиболее распространенный вариант клас­сической схемы метода Фурье.

При таком подходе упрощается процедураполучения задач Коши (11), (13) для коэффициентов разложения решения,но зато усложняется оставшаяся часть обоснования метода Фурье. Остает­ся доказать, что сумма ряда Фурье обладает соответствующей гладкостью.Именно в этом месте обоснования классической схемы и предъявляютсяобычно завышенные требования к исходным данным f(x,D и щфж) — сцелью обеспечить почленную дифференцируемость ряда Фурье.При построении же обобщенного решения незначительно усложняетсяпроцедура получения задач Коши (11), (13) для коэффициентов разложе­ния решения, но зато становится тривиальной основная часть обоснованияметода Фурье — доказательство сходимости ряда Фурье в(Пр).

Так что, вцелом, обоснование метода Фурье для обобщенных решений (т. е. современ­ная схема метода Фурье) выглядит проще. Это не главное преимуществосовременной схемы. Наиболее ценным ее преимуществом является отсут­ствие лишних требований к исходным данным задачи.Вернемся к обобщенному решению задачи (1), (2). При п = 2 обобщенноерешение u(x,t) раскладывается в ряд (7).

Изложенные выше рассужденияприводят к уравнению для коэффициентов разложения (эти рассуждения§4.Разделение переменных методом Фурье27проведите самостоятельно):Ф>Тд + сдТ' + (ао —= ck(t), к1(17)с начальными условиямиЛ(°) =Д(0) =, к> 1(18)Решая задачи Коши (17), (18), определяем коэффициенты ряда (7) дляфункции и(ж, t), которая оказывается единственным обобщенным решениемзадачи (1), (2) при п = 2.Глава 3Волновое уравнениеВ этой главе детально исследуются все основные постановки задач матема­тической физики для волнового уравнения в случае одной пространствен­ной переменной.3.1.Классическое решение задачи КошиВ первом параграфе выводится элементарная формула Даламбера, даю­щая представлеие классического решения задачи Коши для однородноговолнового уравнения на вещественной оси. Решение задачи Коши для неод­нородного волнового уравнения строится затем с помошью универсально­го принципа Дюамеля, который применим не только к задаче Коши дляволнового уравнения в рассматриваемом случае одной пространственнойпеременной, но и к любой другой корректно поставленной линейной эволю­ционной начально-краевой задаче в пространственно-временном цилиндрес любым числом пространственных переменных.3.1.1.Формула Даламбера и принцип Дюамеля.3.1.2.Области зависимости, влияния, единственности.Начнем с описания важных качественных свойств решения одномерноговолнового уравнения, характеризуемых как области зависимости, влияния,единственности, и представленых одним нижеледующем рисунком.28§1.Классическое решение задачи Коши29Рис.

1. Области зависимости, влияния, единственности.Определение 3.1.1. Для однородного волнового уравнения в случае од­ной пространственной переменной областью зависимости классическогорешения и = и(хЛ) в пространственно-временной точке Р(До До) с коор­динатами хо > 0 и К > 0 называют такой пространственный интервал(До — ato , хо + ato) начальной оси t = 0, на дополнении R\ До — «Р, хо + ato\к замыканию которого любая гладкая вариация данных задачи никак невлияет на значение и(хо До), принимаемое решением в точке Р(хо До).Для однородного волнового уравнения= а2ихх данные задачи — этоданные Коши. Формула Даламбера показывает, что решение задачи Кошизависит только от значений начальных данных на основании характери­стического треугольника с вершиной в точке P(x,t) — см.

рисунок, длякоторого областью зависимости служит интервал (сцсд) оси t = 0, отсе­каемый от оси t = 0 двумя характеристиками х — at = ci и х + at = с?,проведенными через точку РДД).Свойства решений волнового уравнения:• конечная область зависимости]• распространение возмущений с конечной скоростью а > 0.30Глава 3.Волновое уравнениеОпределение 3.1.2. Областью влияния начальных данных, заданных нанекотором интервале (сцСг) начальной оси t = 0, называют неограничен­ную подобласть пространственно-временной полуплоскости t > 0, значениярешения в точках которой зависят от значений, принимаемых начальнымиданными в точках интервала (сцСг).Формула Даламбера показывает, что область влияния начальных дан­ных, заданных на интервале (щ, 0%) начальной оси t = 0, ограничена самиминтервалом (сд , сО) и расходящимися от его концов вверх характеристика­ми — см.