Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 2

е. квадратичную фор­мупQ& = У?k,m=l£ € BF(2.2.3)Элементы спектральной теории дифференциальных операторов§3.2.3.13Элементы спектральной теории дифференциаль­ных операторовВ этом параграфе для обыкновенного дифференциального оператора наконечном отрезке определяются сопряженные и самосопряженные краевыеусловия. Приводятся примеры симметричных дифференциальных операто­ров с несамосопряженными краевыми условиями. Самосопряженность кра­евых условий гарантирует полноту системы собственных функций обыкно­венного дифференциального оператора, т. е. означают существование орто­гонального базиса из собственных функцмй такого оператора.2.3.1. Обыкновенные дифференциальные операторыРассмотрим обыкновенный дифференциальный оператор порядка Z > 1 спостоянными комплексными коэффициентамиед, G С, щ Д О,(2.3.1)имеющий область определенияDL(0, 1) = {u Е Су/[0,1]: В®и = 0, j = 1,...

,m0 ; Bju = 0, j = 1,... ,тД,(2.3.2)где {В^У^ф и {Bjyyy — какие-либо наборы граничных операторов с ком­плексными коэффициентами, которые задают однородные краевые условияпорядка < m — 1 в точках х = 0 и х = 1, соответственно. Для таких об­ластей определения выполнено важное условие СЧДОД) С Dl, где черезСЧДО, 1) обозначено пространство финитных2 бесконечно дифференцируе­мых на (0,1) функций.Через /4(0,1) обозначим комплексное линейное пространство квадра­2Определенную и непрерывную на (0,1) функцию называют финитной на (0,1), если она равнанулю вне некоторого отрезка [«, b] С (0, 1), т.

е. финитная на (0,1) будет тождественно равна нулю внекоторой окрестности концов интервала (0, 1).14Глава 2.Элементы анализа дифференциальных уравненийтично интегрируемых по Риману на (0,1) функций3 со скалярным произ­ведениемкоторое порождает норму1/2UДифференциальный оператор (2.3.1) рассматривается как действующий из£2(0,1) в £2(0,1) с целью построения базиса из собственных функций опе­ратора. при разделении переменных для уравнений в частных производных.Точнее, оператор L рассматривается какГ: Dlс£2(0,1) -4 £2(0,1),(2.3.3)т. е.

вопросы непрерывности линейных операций на Dl решаются в метрике£2(0,1), что делает оператор L неограниченным. Например, ограниченнуюв £2(0,1) последовательность {т/п(л) = sin(n7nr)} операторL=4(0.1) ->• £2(0,1)(2.3.4)с областью определения£Д(0,1) = {u Е С2[0,1]: 7/(0) = 7/(1) = 0},(2.3.5)переводит в последовательность {Lun(x) = —п27г2 sin(n7nr)}, неограничен­ную в £2(0,1).Определение 2.3.1. Оператор (2.3.3) называют симметричным (или сим­метрическим), если(Lu,v) = (т/, Гт?)\/u,veDl-(2.3.6)3Точнее, элементами пространства Щ (0,1) являются не сами функции, а классы эквивалентныхна (0,1) функций, т.

е. совпадающих на (0,1), за исключением подмножества меры Жордана ноль.Нулевым элементом в Щ(0.1) служит класс функций, эквивалентых нулю на (0,1). Такое определениепозволяет избежать нарушения одной из аксиом скалярного произведения и порождаемой им нормы.§3.Элементы спектральной теории дифференциальных операторов15Например, симметричным будет оператор (2.3.4) с областью определения(2.3.5).Определение 2.3.2.

Формально сопряженным к оператору L вида (2.3.1)называют операторвозникающий при интегрировании по частям в тождествеG С°°(0,1).(Lu,v) = (u, Lv)В случае L = L оператор L называют формально самосопряженным.Отождествляя краевые условия оператора L с его областью определенияDl , сформулируем определение сопряженных краевых условий, которыебудем условно обозначать символом D*L.Определение 2.3.3.

Для оператора L порядка I с областью определенияDl сопряженными краевыми условиями D*L называют краевые условия нафункцию V G С% 1] такие, что(Lu,v) = (и, Lv)\/ueDl(2.3.7)В случае D*L = Dl краевые условия Dl называют самосопряженными.Важную прикладную роль играет следующая фундаментальная теоре­ма об ортогональном базисе из собственных функций дифференциальногооператора L вида (2.3.1).Теорема (без доказательства). Система собственных функций формаль­но самосопряженного оператора (2.3.3) с самосопряженными краевымиусловиями образует ортогональный базис в пространстве £2(0,1).ПРИМЕР 1.Рассмотрим простейший пример оператора первого порядкаL = iD. Dl с £2(0.1)с областями определения вида:Г2(0,1)16Глава 2.Элементы анализа дифференциальных уравнений1. Dl = {u Е СДО, 1]: «(0) = «(1)};2. Dl = {и Е СДОД]: «(0) = 0};3.

Dl = {и Е СДОД]: «(1) = 0};4. Dl = {и Е СДО, 1]: «(0) = «(1) = 0};5. Dl = [и Е СДОД]}.Оператор L формально самосопряженный, так как L = — Д = L. Оста­лось вычислить сопряженные краевые условия для функции v Е СДО, 1] вкаждом из пяти случаев:111. (Luxe) = (u,Lv) Эи Е Dl => fiu'vdx = f iu'vdx Эи Е Dl =>оошД = 0 Эи Е Dl =е> Д1)(Д1) — ДО)) = 0 Эи Е Dl => {ДО) = Д1)}— самосопр. кр. условия (1);112. (Lu, и) = Д, Lu) Эи Е Dl => j iu'vdx = Jiu'vdx Эи E Dl => wv|q =оо0 Эи E Dl =e Д1)Д1) = ОЭи E Dl => {Д1) = 0} - несамосопр. кр.условия (3);113. (Lu,v) = (и, Lv) Эи E Dl => fiu'vdx = f iu'vdx Эи E Dl =e гаД =оо0 Эи E Dl =e> u(Q)v(Q) = 0 Эи E Dl =e {Д0) = 0} - несамосопр.

кр.условия (2);ii4. (Lu,v) = (и, Lv) Эи Е Dl => fiu'vdx = fiu'vdx Эи E Dlоb0 V и E Dl =e> 0 = 0 => 0 — несамосопр. кр. условия (5);1шД=15. (Lu,v) = (u,Lv) Эи E Dl => f iu'vdx = fiu'vdx Эи E Dl => шД =оb0 Эи E DlД1)Д1) — Д0)Д0) = 0 Эи E Dl => {ДО) = Д1) = 0}— несамосопр. кр. условия (4).Самым простым примером симметричного оператора с несамосопряжен­ными краевыми условиями служит оператор с краевыми условиями (4).§3.Элементы спектральной теории дифференциальных операторов17Более сложным примером симметричного оператора с несамосопряженны­ми краевыми условиями служит, например, формально самосопряженныйдифференциальный операторL=Dlс£,(0,1) -+ £,(0.1)с областью определенияDl = {u Е С2[0,1]: «(0) = ад(1) = 0,«'(0) = Ф(1)}.Сопряженными к Dl краевыми условиями будут условияDl = {ve С2[0,1]: о(0) = <>(!)}.2.3.2.

Оператор ЛапласаЕсли ограниченная область Q с В" имеет кусочно-гладкую границу 19Q, афункции u,v Е G,2(Q) П C^Q), то справедлива первая формула Грина/* фС сФ ди ,[ ди ,(1)J ^дх-,дх,J dvqq ' г=11aoгде v — единичная внешняя нормаль. Действительно, используя формулу[J.,Остроградского-Гаусса, находимdu du iQQ?=1''г.,.,, dx ='<=1Г СД ди ди ,[ ди 7= - / > паж + / и— ds.J ^dxidxiJ dvц ' 1aoМеняя местами функции и и и, получаем еще одну первую формулу ГринаГJn../*ди диJ ^дх.дх,q[диJ dvanВычитая из (2) из (1), получаем вторую формулу Грина(vku — и£лф dx = Уоаоds.(2)18Глава 2.2.3.3.Элементы анализа дифференциальных уравненийОператор Лапласа с краевыми условиями Дирихле и Ней­манаРассмотрим оператор Лапласа L = А с областью определенияDl " {«, е (ГД : и|,.« = 0} С СД)(4)с краевым условием Дирихле. Оператор Лапласа будем рассматривать как£ = Д : DlcC(Q)^C’(Q),т.е.

как действующий из C(Q) в C(Q). При этом пространство C(Q) непре­рывных в замыкании ограниченной области Q функций рассматриваетсякак предгильбертово пространство со скалярным произведением(■ид) =и(хф(х)(1х,огде черта означает комплексное сопряжение. Отметим, что скалярное про­изведение (...) порождает на С*(Й) норму(6)с которой пространство C(Q) не будет полным.

Пополнение пространстваO(Q) с этой нормой приводит к интегралу Лебега и пространству ЛебегаЬ‘2(Q). Однако рассматриваемые здесь свойства собственных чисел и соб­ственных функций оператора Лапласа не требуют полноты пространстваС(Й).Определение 2.3.4. Оператор L: DlсC(Q) -д C*(Q) называют симмет­ричным, если (Лидс) = (u,Lv) Vu,v G Dl-Из второй формулы Грина следует, что оператор Лапласа (5) являетсясимметричным.Определение 2.3.5. Нетривиальное решение u G Dl уравнения Lu = Хис некоторым числом A G С называют собственной функцией оператора L,а соответствующее А называют его собственным числом.§4.

Разделение переменных методом Фурье19Лемма 2.3.1. Собственное число оператора Лапласа (5) является веще­ственным.Доказательство. Действительно, пусть A G C — собственное число опе­ратора (5). Это означает существование нетривиального решения u G Dlуравнения Lu = Au. А тогдаA||u||2 = A(u, u) = (Au,u) = (Lu,u) = (u, Lu) = (u, Au) = A(u,u) = A||u||2,откуда в силу условия ||u|| =0 следует равенство A = A.□Лемма 2.3.2. Собственные функции оператора Лапласа (5), соответствущие разным собственным числам, ортогональны.Доказательство.

Действительно, пусть u1 ,u2 G DL — собственные функ­ции оператора Лапласа (5), соответствущие собственным числам A1 = A2.ТогдаA1(u1 , u2) = (A1u1 , u2) = (Lu1 , u2) = (u1 , Lu2) = (u1 , A2u2) = A2(u1 , u2),откуда сразу же находим находим (A1 - A2)(u1 , u2) = 0(u1 , u2) =□0.2.4.Разделение переменных методом ФурьеРазница между классической и современной схемами метода Фурье состоитв том, что классическая схема позволяет строить только классические реше­ния и только при завышенных требованиях к исходным данным, тогда каксовременная схема позволяет строить обобщенные (слабые) решения приминимально возможных (а точнее, необходимых и достаточных) требова­ниях к данным задачи.

В этом параграфе излагается вариант современной4схемы метода Фурье, наиболее удобный для применения на практике.4Точнее, образца второй половины XX века.Глава 2.20Элементы анализа дифференциальных уравненийРассмотрим начально-краевую задачуРп и(х,Г) = Cu{x,t) + f(x,t) х Е (О, Z), t Е (0,Г),(1)и(хЛ')ЕТ>с Vt Е (0,7),с начальными условиями8mu——= um(x), 0 < тп < п — 1.dtm t=ov(2)v 7Краевые условия неявно содержатся в (1), так как в область определениядифференциального оператора £ всегда входят краевые условия.

СимволомПу обозначим прямоугольник Пу = (0, Z) х (0,7) , где 7 — произвольноенаперед заданное положительное число. Предполагается, что в задаче (6),(2)/(.т, Z) G 72(Пт) , u,„(x) G 72(0, Z), 0 < тп < п - 1.В классической постановке задачи (1), (2) предполагается такая глад­кость решения и(хЛф что_(Гу£u(x,t) еС(Пг),_е С(ПТ).Чтобы получить обобщенную постановку задачи (1), (2) умножим уравне­ние (1) скалярно в Ь2(Пу) на функцию v(x,t} Е Vn, гдек = ДхЛ) :С(ВТ), £л> е С(Пг), v ePcVte (0,Т)}.В случае n = 1, интегрируя по частям, находим_I(а1^ + aouv^dxdt = оц f uq(x)v(x, 0)dx+Пт0(3)+ / u£vdxdt+ / fvdxdt \/v E Vi : v(x,T) = 0.nTnTПри n = 1 обобщенным решением задачи (1), (2) будем называть функ­цию u(x,t) Еудовлетворяющую тождеству (3).