Учебное пособие - УМФ - Боговский (1188242)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ(государственный университет)М.Е. БОГОВСКИЙУРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИУчебное пособиеМосква2019© Боговский М.Е., 2019iУДК 517.95ББКБ 74Б74М.Е. БоговскийУравнения математической физики. Учебное пособие.М.Е. Боговский. - Москва: МФТИ, 2019 - 1?? с.В учебном пособии представлен обновленный семестровый курс Уравнений математичес элементами современных функционально-аналитических подходов к решениюкраевых и начально-краевых задач математической физики для дифференциальных уравненийв частных производных.
Главное внимание уделяется простоте и ясности изложения материала,традиционно считавшегося доступным лишь для студентов математических специальностей.При этом студенты нематематических специальностей были фактически лишены возможностиполучить адекватное представление об имеющихся более эффективных подходах к решениюклассических задач математической физики, значительно расширяющих и усиливающих арсенал методики решения классических задач. Известный своей сложностью материал впервыеизлагается на уровне, доступном для студентов бакалавриата нематематических специальностей, что несомненно оценят студенты магистратуры, аспиранты, и даже научные работники,интересующиеся более современными и более эффективными подходами к старым и новымзадачам математической физики.Илл.
1. Библ. 18 назв.ской физикиУДК 517.95ББК© Боговский М.Е., 2019iiОглавлениеПредисловие5Список обозначений6Глава 1. Введение81.1. Постановка задач математической физики............................1.2. Классические и слабые решения краевых задач...................88Глава 2. Элементы анализа дифференциальных уравнений математической физики112.1. Общая классификация ДУЧП..................................................112.2. Канонический вид ДУЧП второго порядка............................112.3. Элементы спектральной теории дифференциальных операторов 132.4.
Разделение переменных методом Фурье..................................1928Глава 3. Волновое уравнение3.1. Классическое решение задачи Коши.........................................283.2. Слабое решение задачи Коши.....................................................313.3. Начально-краевые задачи на полуоси......................................363.4. Начально-краевые задачи на конечном отрезке......................41Глава 4.
Уравнение теплопроводности424.1. Задача Коши.................................................................................424.2. Классические и слабые решения начально-краевых задач . .5134Оглавление4.3. Принцип максимума для уравнениг теплопроводности ....Глава 5. Эллиптические краевые задачи51555.1. Метод Фурье для классических и слабых решений................555.2. Зональные сферические гармоники в методе Фурье для уравнения Пуассона..............................................................................765.3.
Свойства решений уравнений Лапласа и Пуассона................82Приложения:92А Некоторые справочные сведения92А.1. Лемма ДюБуа-Реймонда...............................................................92А.2. Операция усреднения..................................................................92А.З. Срезающие функции и разбиение единицы............................92А.4. Полезные неравенства..................................................................92A.
5. Другие примеры задач математической физики95...................В Некоторые методические рекомендации96B. 1. Метод интегральных преобразований......................................96В.2. Метод искусственного параметра в задаче Коши...................96В.З. Интегрирование ДУЧП первого порядка....................................97B.
4. Как найти класс единственности для краевой задачи ....97С Примеры решения задач методом Фурье98C. 1. Начально-краевые задачи............................................................98С.2. Краевые задачи..............................................................................100Интернет-ресурсы101Литература103Предметный указатель105ПредисловиеОсновной целью учебного пособия является подготовка студентов к письменному и устному экзаменам по учебному курсу « Уравнения математической физики» ...Курс состоит из пяти глав и трех приложений. В первой главе ...Во второй главе в рамках ...Третья глава посвящена решению ...Четвертая глава посвящена методам ...Пятая глава ...Список литературы ...Интернет ресурсы ...Приложения А ...Приложения В ...Приложения С ...Навигация по PDF файлу учебного пособия ...Список обозначенийR — вещественная ось;С — комплексная плоскость;КС — n-мерное вещественное евклидово пространство;Сп — n-мерное комплексное евклидово пространство (комплексной размерности п > 2 или вещественной 2п);KL™ = [х = (х', хп): х Е КС, хп > 0} — полупространство в Rn;Sn = {х: х Е КС, |.т| = 1} - единичная сфера вА х В — прямое (декартово) произведение множеств А и В, т.
е. множествовсех упорядоченных пар {{a, b}: а Е A, b Е В};А + В = {а + b: а Е A, b Е В} — алгебраическая сумма множеств А и В:А — замыкание множества А;Int А — подмножество всех внутренних точек множества А;дА — множество всех граничных точек множества А;supp/ ~ носитель функции /, т. е. замыкание множества {х : /(ж) ф 0};Q — область в КС, т. е.
открытое связное множество в КС;Qt = Q х (0, В) — цилиндр в КС+1 высоты Т > 0 с основанием Q С КС;X х Y — линейное пространство упорядоченных пар {w,v}, u Е X, v Е Yс покомпонентным сложением и умножением на скаляры;X(Q) — пространство функций f: Q —> R с нормой (полунормой) Ц/ЦхдуX(Q;KC) — пространство вектор-функций v = (щ,... , щ):мой (полунормой) 11V11 X(Q;R") = 52 \\Vj ILv(Q)5j=lX((0,T); У) — пространство функций и: (0,Т)ния в линейном пространстве У;6КС с норY, принимающих значеОбозначения7С1 (О) — пространство I раз непрерывно дифференцируемых в Q с R”функций;Ст(О) — пространство т раз непрерывно дифференцируемви в областиQ С R" функций, обращающихся в ноли на границе дО вместе со всемисвоими производивши до порядка т включительно;С°°(О) — пространство бесконечно дифференцируемых и финитных в области Q С В" функций.Глава 1Введение1.1.Постановка задач математической физики1.1.1.
Вывод уравнение теплопроводности.1.1.2. Постановки задач для уравнения теплопроводности.1.2.Классические и слабые решения краевых задачКлассическим решением краевой задачи, а также задачи Коши, начальнокраевой и прочих задач для дифференциальных уравнений, принято называть решения, обладающие минимальной классической гладкостью, достаточной для проверки выполнения уравнений, а также краевых и прочихзаданных условий.
Например, для краевой задачиu"(x) = f (x), x G (0,n),(1.2.1)u(0) = u(n) = 0,при заданной f G C[0, п] классической будет гладкость решения u G C2[0, n]с оператором классического дифференцирования L = -Х : DL q L2(0,n)L2(0, п), имеющим область определенияDl = {ф G C2[0,n] :8(0) = ^(п) = 0},§2.Классические и слабые решения9всюду плотную в £2(0,7г). Краевая задача (1.2.1) имеет единственное решение7Г^(ж) =(ж - y)f(y)dyy)f(y)dyодля любой части f G С'[0,7г].На примере этой простой краевой задачи поясним теперь в чем заключается понятие обобщенного (слабого) решения краевой задачи. Умножаяуравнение (1-2.1) скалярно в £2(0, Z) на v Е Dl и интегрируя два раза, почастям, получаем(и, £v) = (/щ) Vi; Е Dl.(1.2.2)Равенство (1.2.2) является интегральным тождеством, т.
е.[ uv"dx = [ fvdx Vv Е Dl(1.2.3)JoJoПри этом функцию u Е £р(0,7г), удовлетворяющую тождеству (1.2.2) или(1.2.3), называют обобщенным (слабым) решением краевой задачи (1.2.1)класса £р(0,7г), 1 < р < оо. Подчеркнем, что от обобщенного (слабого)решения класса £р(0,7г) не требуется никакой дифференцируемости, тогдакак решение задачи (1.2.1) в классическом смысле должно быть, по определению, дважды непрерывно дифференцируемой [0, я] функцией, т. е. в обобщенной (слабой) постановке (1.2.3) задачи (1.2.1) принципиально ослабленытребования к гладкости решения по сравнению с классической постановкойзадачи (1.2.1).Тождество (1.2.3) было получено из (1.2.1), поэтому всякое классическое решение (1.2.1) будет обобщенным (слабым) решением в смысле (1.2.3).Обратное, вообще говоря неверно.
Однако, если обобщенное (слабое) решение (1.2.3) окажется дважды непрерывно дифференцируемым, точнее, еслиu Е С'2[0,7г], то это обобщенное (слабое) решение и(х) будет классическимрешением краевой задачи (1.2.1). Действительно, из тождества (1.2.3) находим, интегрируя по частям,(£w,v)+w(7r)T'(7r) — п(0)т'(0) = (/,ж) Vn G Dl-(1-2.4)10Глава 1.ВВЕДЕНИЕВ частности,= (/,«) V«6 C°°(0,Z)cDl,откуда, и из леммы ДюБуа-Реймонда1 следует, чтоLu(x) = f(x) Vх е (0,7г).Осталось выяснить, удовлетворяет ли такая и Е С2[0, Д краевым условиям7/(0) = Д'/?) = 0.Так как Lu = /, из (4) получаем7/(7r)v,(7r) — 7/(0)v'(0) = 0 \/v Е Dl-(1.2.5)Выбирая v Е Dl в (5) таким образом, что т/Д) = 1, /ДО) = 0, находимДл) = 0.
А выбирая v Е Dl так, чтобы /Д-Д = 0, 7Д0) = 1, находимДО) = 0. Следовательно, ДО) = 7/(7г) = 0. Это означает, что обобщеннаяпостановка (1.2.3) краевой задачи (1.2.1) неявно содержит в себе краевыеусловия на обобщенное решение, если обобщенное решение является достаточно гладкой функцией. Нетрудно убедиться, что обобщенное (слабое)решение (1.2.3) будет классическим решением краевой задачи (1.2.1), еслиправая часть / G С[0,Д.Отметим, что слабые решения составляют регулярную часть широкогокласса обобщенных решений, формально представленных функционаламина пространствах соответствующих основных функций, например, £ДВП) и5ДКП).
Однако, в отличие от собственно обобщенных функций, слабые решения уже сами по себе являются элементами пространств интегрируемыхфункций.1см. §5.6 учебника: Владимиров В.С. Уравнения математичской физики. — М.: Наука, 1981.Глава 2Элементы анализа дифференциальныхуравнений математической физикиКлассическая альтернативная схема включена в список литературы, обязательной для чтения, и предлагается студентам для самостоятельного изучения.2.1.Общая классификация ДУ ЧП2.1.1.Эллиптические уравнения.2.1.2.Гиперболические уравнения.2.1.3.Параболиические уравнения.Технически решение краевой задачи2.2.Канонический вид ДУ ЧП второго порядкаРаздел посвящен классификации и приведению к каноническому виду ДУ ЧПвторого порядка с вещественными коэффициентами. Для переменных коэффициентов задача приведения уравнения к каноническому виду решаетсятолько в случае двух переменных, а в случае п > 3 переменных рассматриваются только уравнения с постоянными коэффициентами.И12Элементы анализа дифференциальных уравненийГлава 2.2.2.1.Гиперболические уравнения с переменными коэффициентами в случе двух переменных.2.2.2.Эллиптичпеские уравнения с переменными коэффициентами в случе двух переменных.2.2.3.Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае // д 3 переменных.Квадратичная характеристическая форма уравнения выделением полныхквадратов приводится к каноническому виду некоторым невырожденнымпреобразованием, с помощью которого строится замена переменных, приводящая к каноническому виду само уравнение.Поскольку к каноническому виду приводится только главная часть уравнения, без какой бы то ни было потери общности рассмотрим невырожденное линейное уравнение второго порядка с вещественными постояннымикоэффициентамипakmuXkXJx} =жеГ, n > 3.(2.2.1)fc.m=lПо определению, каноническим видом уравнения (2.2.1) называют его невырожденный видп^XjUx.x.(x) = f(x),l=iжбГ,(2.2.2)с коэффициентами Aj принимающими только три допустимых значения:Xj = О И Xj = il.Для приведения уравнения (2.2.1) к каноническому виду (2.2.2) рассмотрим характеристическую форму уравнения (2.2.1), т.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
