Учебное пособие - УМФ - Боговский (1188242), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Дляпроверки начального условия (4.1.1) заметим, чтоPn(x, t) dx =e'24tdx = 1,t > 0, n > 1.RnПоэтому для всех x G Rn и t > 0 имеем1У [uo(x — y) — uo(x)]e '4t dy,u(x, t) — u0(x)(27nt)n Rnи делая замену y = z7t, находимu(x, t) — u0(x) = (2^jn)n / [uo(x — z7t) — uo(x)]e—|z|2dz,Rn(4.1.16)где допустимый рост uo на бесконечности оганичивается условием (4.1.12).А так как t+0, то значения t можно ограничить сколь угодно малыминтевалом (0, а).
Не ограничивая общности, будем считать, что 2Ма = 1.Пусть K С Rn — произвольный компакт в Rn. Покажем, чтоlim [u(x, t) — uo(x)] = 0(4.1.17)Глава 4.48Уравнение теплопроводностиравномерно по х G К. Повторяя рассуждения, использованные выше привыводе оценок (4.1.14)-(4.1.15), заметим, чтогдЛ)| + |'и0(^)|)еdz < е/2|г|>Я£(4.1.18)для всех х G К и t Е (0, а). Заметим теперь, что в силу непрерывности ионайдется такое У = У (К) G (0,ст), чтоИ наконец, подводя итог, заключаем, что в силу (4.1.16) из (4.1.18) и (4.1.19)следует (4.1.17).
В свою очередь, выполнение (4.1.17) равномерно по х Е Кна любом компакте К созначает, что построенное решение u Е С(Rn х□[О,Т]). Теорема доказана.При выполнении условияlim {|Ио(Д|е”"И} = 0Щ—>ооVm> О(4.1.20)из доказанной теоремы вытекает очевидноеСледствие. ПустьuqЕ C(Rn) удовлетворяет условию (4.1.20), n > 1. Тогда функция вида (4.1.11) имеет гладкостьи Е С°° (ПГ х (0, ос)) П С(Г х [0, ос))и является классическим решением задачи Коши (4.1.1), т. е. удовлетворяетуравнению на любом компакте в Rn х (0, ос), а начальному условию — налюбом компакте в КТ.Точность условий теоремы 4.1.1 и следствия подтверждается следующимпримером классического решения, разрушающегося за конечное время.49§1. Задача КошиПример. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводностиut = Au, x E Rn, t > 0,‘,2’’u|t=0 = e|x| , x E Rn, n > 1.(4.1.21)Подставляя начальные данные u0(x) = e|x| в формулу Пуассона (4.1.11),вычисляя интеграл стандартным выделением полного квадрат в показателеэкспоненты, находим классическое решение задачи Коши (4.1.21) видаx2e1-4tx E Rn, t E [0, 1/4)(4.1.22)u(x, t) =(1 - 4t)n/2с конечным временем существования T = 1 /4, гарантированным теоремой 4.1.1, что в точности соответствует значению параметра M = 1 .
Эторешение разрушается в момент времени t = 1/4 (претерпевает blowup).4.1.1. Принцип Дюамеля.Решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводностиutt = Au + f (x, t),u|t=0 = 0,xEE Rn, t > 0,(4.1.23)x E Rn, n > 1.легко строится с помощью формулы Пуассона (4.1.11) по принципу Дюамеля. А именно, рассмотрим однопараметрическое семейство вспомогательных задач Коши для однородного уравнения теплопроводностиvtt = Av,xEE Rn, t > т,v|t=T = f(x,T),(4.1.24)x E Rn, n > 1,с решениями v = v(x,t,T), зависящими от параметра тДля каждого значения параметра т0.0 решение задачи Коши (4.1.24)определяется по «сдвинутой» формуле Пуассона|x-y|2v(x, t, t) = (2^n(t - т))п / f (у,т )e" 4(t-T) dy,(4.1.25)Глава.
4.50Уравнение теплопроводностии нетрудно убедиться, что искомым решением задачи (4.1.24) будет функция(4.1.26)Действительно, дифференцируя интеграл (4.1.26), находимт— Ат) dr = f(x, Г).Выполнение начального условия гф=о = 0 очевидно. Из (4.1.25)-(4.1.26)получаем представление искомого решения задачи Коши_ Ц-у|2g4(t-r)(2у/тг(^-т))пf(y,T) dydr.4.1.2. Условие на бесконечности и класс единственности растущих решений.Рассмотрим однородную задачу КошиUt = Лад,х е В". о < t < г,гф=о = 0,ж 6 В".
n > 1.(4.1.27)в классической постановке. Обозначим г;(ж) = шах |п(ж,Н|. Предполагаоущтется, что растущее на бесконечности классическое решение задачи Коши(4.1.27) удовлетворяет условию:ЗМ > 0 :sup |ф(ж)|е_м1ж12| < оо.(4.1.28)Теорема 4.1.2 (А.Н. Тихонов - без доказательства). Классическое решение задачи Коши (4.1.27), удовлетворяющее условию на, бесконечности(4.1.28) , единственно, т. е.
тривиально.Классические и слабые решения начально-краевых задач§2.4.2.51Классические и слабые решения начально-краевыхзадач на конечном отрезкеДля однородных линейных дифференциальных уравнений в частных производных4.3.Принцип максимумаДля ограниченной области Q с В" и заданного числа Т обозначим через Qt = Q х (0,Т] цилиндр с «основанием» Sq =f {(ж,£) G Rn+1 : х GQ, t = 0}, «боковой поверхностью» S = <9Q х (0,Т] и «верхней крышкой» St == {(ж, t) G Rn+1: х Е Q, t = Т] . Через Г =f S U Sq обозначим такназываемую «параболическую границу» цилиндра Qt и заметим, что замыкание цилиндра Qt = QrUr. Символом C^(Qt) обозначим анизотропноепространство непрерывно дифференцируемых функций, которые определены на замыкании QT и непрерывно дифференцируемы во всех внутреннихточках Qt ■> причем дважды по х и один раз по t.Классическим решением уравнения теплопроводности в цилиндре Qtбудем называть функцию u(x,t) G Cxj(Qt) Пудовлетворяющуюуравнениюut — Ku = 0,(ж, t) G Qt .Теорема 4.3.1.
Классическое решение уравнения 'теплопроводности в цилиндре Qt не принимает в Qt значений как больших его наибольшегозначения на Г; так и меньших его наименьшего значение на Г; т. е.min и < и(хЛ) < max иггV (жД) G Qt ■Доказательство. Введем обозначения для минимума и максимума по параболической границе Г:defт = minmгМ = шахтг(4.3.1)52Уравнение теплопроводностиГлава 4.Предположим, что найдется такая точка (жд, td) G Qt,чтоu(x6,t6) = М + 6(4.3.2)с некоторым положительным 6. Вводя параметр е g (0, 5), обозначим черезтр однопараметрическую функцию видаО,£М+е(4.3.3)(4 - М - Д,с неотрицательной первой производнойО,£ < М + £,2(£ — М — е),(4.3.4)£>М + е,и неотрицательной кусочно-постоянной второй производнойУ М У с,(4.3.5)£ > М 4“ Ии заметим, что тр G CX(R) для каждого значения параметраэтом для каждогоееG (0, 5).
ПриG (0, 5) функция rp(u) будет тождественно равна, нулюв некоторой окрестности параболической границы Г в силу определения(4.3.1) числа М.Умножив равенство гр —Au = 0 на tf£(u), после интегрировава.ния по цилиндру QT при произвольном т G (О, Г] с использованием первой формулыГрина в интеграле по х G Q, получим(т]£(и))tdxdt + j p"(u(x,t))\Vxu(x,r)\2dxdt = 0 Vtg(0,T] ,Qt(4.3.6)Qtгде интеграл по части боковой поверхностих (0, г) С S цилиндра Qtотсутствует поскольку равен нулю при любом значении е G (0,5) из-затого, что функция тр(и) тождественно равна, нулю в некоторой окрестностипараболической границы Г. По той же причине имеем53§3.так как основание Sq цилиндра Qt является частью параболической границы Г.Замечая, что функция I) и ее вторая производная т)” принимают лишьнеотрицательные значения, из (4.3.6)-(4.3.7) находимtj£(u(x,t))= 0 V(x,t)gQt,откуда и из явного вида (5.3.3) функции т)£ следует неравенствои(х, t) < М + вV (ж, £) G Qt V£ G (0,5),что противоречит предположению (5.3.12).
Таким образом, неравенствоu(x,t)^maxu \/(x,t)tQT(4.3.8)доказано. Для доказательства неравенстваmin w < u(x,t)V (ж,£) G QT(4.3.9)достаточно заметить, что справедливость неравенства (5.3.7) вытекает изуже доказанного неравенства (5.3.6) при замене и на —и. Теорема доказана.□Из доказанной теоремы вытекают следующие три следствия.Следствие 4.3.1.
Классическое решение уравнения теплопроводности и =и(х, t) в цилиндре Qtсограниченным основанием удовлетворяет неравенствуmax\и\Qt 1 1maxЫГ 1 1(4.3.10)V7Следствие 4.3.2. Классическое решение и(х, t) G CjJ(Qr)riC(Qr) первойначально-краевой задачи для уравнения теплопроводности единственно.Доказательство. Пусть имеется два решения щ и щ с одинаковыми данными задачи. Тогда их разность v = щ — in удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности с нулевыми условиями на параболическойгранице Г. В силу следствия 5.3.1 эта разность будет тождественным нулемв QT , т. е. щ = м2 в QT.□54Глава 4. Уравнение теплопроводностиСледствие 4.3.3. Классическое решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности непрерывно зависит от начальных играничных данных задачи.Доказательство.
Действительно, пусть и1 и и2 — какие-либо два решениязадачи Q. Согласно следствию 5.3.1 максимум |u1 — u2| по Qt не превышаетсоответствующих максимумов по Г для разностей данных задачи.□Глава 5Эллиптические краевые задачи5.1.Метод Фурье для классических и слабых решений5.1.1. Метод Фурье решения краевых задач для оператора Лапласа в полосе. Условие на бесконечности и класс единственности решений.Классическим решением задачи Дирихле для оператора Лапласа в полосе|Uxx + Uyy = f(x,y), (x,y) G П =f {(x,y) G R2: x G R, 0 < y < n/2};u|y=0Uy |y=n/20 xG(5.1.1)называют функцию u G C2(П) П C 1(П), удовлетворяющую уравнению икраевым условиям (5.1.39).
Требуется также, чтобы классическое решениеудовлетворяло еще и некоторым условиям на бесконечности, которые ограничивают поведение решения при |x|х, гарантируя единственностьрешения. Чем сильнее такие ограничения, тем «лучше» для единственности, но «хуже» для разрешимости, так как усиление ограничений можетпривести к потере существования решения. Корректная постановка краевой задачи требует отыскания некоторого идеального баланса требованийк решению, гарантирующих единственность решения, но не препятствующих его существованию.
Именно по этой причине важно найти самый «широкий» класс, гарантирующий единственность. Такой класс и называют«классом единственности». Для эллиптической краевой задачи в неограни5556Глава 5.Эллиптические краевые задачиченной области, помимо уравнения и краевых условий, искомый класс единственности зависит, как правило, еще и от геометрии области в окрестностибесконечности. Отличительной особенностью рассматриваемой краевой задачи является наличие у неограниченной области Пей2 двух выходов набесконечность, что приводит к возникновению двух независимых условийна бесконечности: «условие на +оо» и «условие на — сю».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
