Учебное пособие - УМФ - Боговский (1188242), страница 9
Текст из файла (страница 9)
для краевой задачи в полуполосе класс единственности следуетискать как самый широкий класс вида{и: и(х,у) = о((д(.а;)) при х -д ос равномерно по у Е [0,7г/2]},(5.1.40)в котором линейная краевая задача (5.1.39) имеет единственное решение.При этом по определению под самым широким классом подразумеваетсятот из всех гарантирующих единственность вариантов выбора функции рв (5.1.40), при котором замена «о-маленького» на «О-болъшое» приводитк потере единственности, что тут же подтверждается примером нетривиального решения однородной задачи. Принятие такого определения классаединственности однозначно решит проблему наилучшего выбора функцииу? в условии (5.1.40) для краевой задачи (5.1.39), что будет означать кор15Такие краевые задачи используются для расчета планарных оптических волноводов.§1.
Метод Фурье для классических и слабых решений71ректность принятого определения класса единственности.Метод Фурье для классических решений.Метод Фурье для классических решений краевой задачи (5.1.39) опирается на задачу Штурма-ЛиувилляY" = XY,0 <y< n/2;(5.1.41)Y (0) = Y'(n/2) = 0.Поскольку краевые условия в (5.1.41) являются самосопряженными, то собственные функцииYn(y) = sin(2n + 1)y,(5.1.42)Xn = -(2n + 1)2, n > 0.задачи Штурма-Лиувилля (5.1.41) образуют ортогональный базис в пространстве L2(0,n/2) квадратично интегрируемых по Риману на (0,п/2)функций16 со скалярным произведениемп/2uvdy,(u, v) =0которое порождает нормуп/21/2|u|2dyu0Разложим искомое классическое решение краевой задачи (5.1.39) в рядФурье по ортогональному базису из найденных собственных функций {Yn}n=0ТОu(x, y) = £ Xn(x) sin(2n + 1)y(5.1.43)n=016Точнее, элеменами пространства L2(0, п/2) являются не сами функции, а классы эквивалентныхна (0, п/2) функций, т.е.
совпадающих на (0, п/2), за исключением подмножества меры Жордана ноль.Нулевым элементом в £2(0, п/2) служит класс функций, эквивалентых нулю на (0,п/2). Такое определение позволяет избежать нарушения одной из аксиом скалярного произведения и порождаемой имнормы.Глава. 5.72Эллиптические краевые задачис коэффициентами Фурьетг/2Хп{х) = —u(x,y) sin(2n + 1)т/ dy.о(5.1.44)Умножим теперь уравнение Гельмгольца (5.1.39) скалярно в /^(0,7г/2)на собственную функцию Yn с нормирующим коэффициентом 4/л, и пользуясь классической гладкостью искомого решения, вынесем производныепо х за знак одного интеграла по у и проинтегрируем дважды по частям поу в другом.
При этом получим обыкновенное дифференциальное уравнениеX" - [(2n + I)2 - 2]ХП = О,ж > 0, п > 0.(5.1.45)А переходя в (5.1.44) к пределу при х -Д 0, получим краевые условия длякоэффициетнов Фурье Хп искомого решениятг/2ХДО) = an d= — /а(т/) sin(2n + V)ydy,х > 0, п > 0.(5.1.46)оКлассединственности.Найдем класс единственности в краевой задаче (5.1.39). Для этого нужносначала при каждом п > 0 найти класс единственности в краевой задачеX" — [(2n + I)2 — 2]Х„. = 0,./•>().(5.1.47)ХДО) = о,с коэффициентом (2n + l)2 — 2 = 4n(n + l) — 1.Случаи п = 0 и n > 1 рассматриваются отдельно.
Случай n > 1 прощеиз-за разницы в характере поведения при х -д оо решений фундаментальной системы {еА‘пЖ, е~11г,х} для уравнения X" — рдХп = 0 с коэффициентомfin = y/4n(n + 1) — 1 > 0. Точнее, для краевой задачиX" — д2Х„. = 0,ХД0) = 0,х > 0,n > 1,(5.1.48)§1.73Метод Фурье для классических и слабых решенийс общим видом решенияХп(х) = Сп-(еФпХ -e~^x),для каждого пж>0, п>1,(5.1.49)1 искомое условие на бесконечности имеет видХп(х) = о(е^пХ) при ж(5.1.50)ос.Действительно, из (5.1.50) сразу же следует, что Сп = 0, т.е.
однороднаякраевая задача (5.1.48) имеет в классе (5.1.50) только тривиальное решение.При этом замена в (5.1.50) о-маленъкого на О-болъшое приводит к потереединственности, в чем легко убедиться, полагая Сп = 1. Таким образом,условие (5.1.50) определяет класс единственности решений краевой задачи(5.1.48) для каждого п1.Случай п = 0 сложнее из-за одинакового характера поведения при х -дос решений фундаментальной системы {е’ф е~гх} для уравнения Xq +/1qXo =О с коэффициентом /то = 1, так как любое из двух условий{Хо = о(егж),х -д ос}или{Хо = о(е_гж),х -д ос}«обнуляет» значения сразу обеих констант общего вида решенияХ0(х) = aeix + (3e~ix(5.1.51)уравнения Xq + Хо = О, причем без участия однородного краевого условияХо(О) = 0, что приводит к потере разрешимости в общем случае неоднородных данных задачи.
В такой ситуации, во избежание потери разрешимости,в качестве условия на бесконечности для уравнения Xq + Хо = 0 обычноиспользуют одно из условий излученияXq — /Хо = о(1),х -д ос,Xq + /Хо = о(1),х -д ос.Чаще всего из этих двух условий выбирают17 первоеХ'-гХ0 = о(1),17Руководствуясь физическими соображениями.ж->оо,(5.1.52)74Глава 5.Эллиптические краевые задачикоторое «обнуляет» постоянную /3 в (5.1.51), не затрагивая а. При этом изкраевого условия Хо(О) = 0 будет следовать, что а = 0, т.
е. Xq = 0, тогдакак замена о-маленького на О-большое в условии (5.1.52) приведет к потереединственности, в чем легко убедиться, полагая а = 1 в общем решенииХ0(ж) = а ■ (eix - e~ix)уравнения Xq + Xq = 0 с краевым условием Хо(О) = 0.Замечая теперь, что на решениях уравнений ^1пХ,е~ЦпХ} при n > 1ограничения вида (5.1.52), т. е. условия излученияX'n — iXn = о(1),х -д ос,оказываются сильнее ограничений (5.1.50), заключаем, что искомым классом единственности в краевой задаче (5.1.39) будет классщ;(ж,7/) — iu(x,y) = о(1) при х -д ос равномерно по у Е [0,7г/2], (5.1.53)где при замене «о-маленького» на «О-большое», как и требуется, получается пример нетривиального решения u = sin ж sin?/ однородной краевойзадачи (5.1.39), т.
е. задачи (5.1.39) с краевым условием ?/|.г о = 0.Таким образом, решения неоднороднх краевых задачX" - ррХп = 0, х > 0,Хп (0) — an , п1,Xq + Xq = 0, х > 0,Хо(О) = пов уже найденных классах единственности (5.1.50) и (5.1.52) имеют вида„е /w, ж >0, n > 1,Хп(х) = <1аоем;, ж > 0, п = 0.(5.1.54)Подставляя коэффициенты (5.1.54) в ряд Фурье (5.1.43), получаем единственное в классе (5.1.53) искомое решение00а,„е~Мп‘г’ sin(2n + 1)т/,и(х,у) = аоегх +П=1х0.§1.Метод Фурье для классических и слабых решений75неоднородной краевой задачи (5.1.39), где рп = ^/4n(n + 1) — 1 и ап -коэффициенты Фурье (5.1.46) граничных данных задачи (5.1.39).Дополнение. Однородное уравнение Гельмгольцаобщеговида.Рассмотрим ту же краевую задачу в полуполосе для однородного уравнения Гельмгольца общего видаихх + иуу + [i2u = 0, (ж, у) Е П+ =f {(х,у) Е Ж2: х > 0, 0 <у < 7г/2};<П1у=0 — "Ф/|у=7г/2 —д0п|х=о = а(у),0; Ж0,7г/2;(5.1.55)с вещественным коэффициентом д > 0.
Уравнение (5.1.39) является частным случаем значения д = д/2- Без каких-либо изменений изложеннаявыше схема решения методом Фурье задачи (5.1.39) применима к задаче(5.1.55) для любых других значений д Е (0, 3). При этом случаи 0 < д < 1,д = 1, 1 < д < 3 должны рассматриваться отдельно.Случай 0 < д < 1.Во всех трех случаях решение задачи (5.1.55) раскладывается в ряд (5.1.43)с коэффициентами Фурье (5.1.44), удовлетворяющих обыкновенным дифференциальным уравнениямX" — р„Хп = 0,х > 0, п0,(5.1.56)с вещественными коэффициентами дп = у/(2n + I)2 — д2 > 0. Класс единственности в задаче (5.1.55) задается условиеми(х,у) = о(еА‘0Ж) при х —> ос равномерно по у Е [0,7г/2],(5.1.57)с коэффициентом д0 = -\/1 — д2 > 0.
Решение задачи (5.1.55) в классе(5.1.57) имеет вид00ane~>JnX sin(2n + 1)д,и(х, у) =п=0х > О, 0 < у < л/2.Глава 5. Эллиптические краевые задачи76Случай [i = 1.В обозначениях случая 0 < [1 < 1 имеем [10 = 0 и [in = 2^/n(n + 1) > 0,n1. Классом единственности в задаче для коэффициента Фурье Xn приn > 1 будет класс (5.1.50), тогда как классом единственности в задачеJX0 = 0,x > 0,|х (0) = 0,будет классXn(x) = o(x) при xгс.(5.1.58)Пересечением всех классов (5.1.50) с классом (5.1.58) будет класс (5.1.58)как самое сильное из всех ограничений (5.1.50),(5.1.58). Поэтому в рассматриваемом случае у, =1 классом единственности в задаче (5.1.55) будетклассu(x,y) = o(x) при x > гс равномерно по y Е [0,п/2].(5.1.59)Решение задачи (5.1.55) в классе (5.1.59) имеет видгсu(x,y) = a0 + ^2 ane-MnX sin(2n + 1)y, x > 0, 0 < y < n/2.n=1Случай 1 < у < 3.Для задачи (5.1.55) при любых значениях у Е (1, 3) класс единственности ирешение в нем будут теми же, что и в подробно разобранном выше частномслучае у = д/2.5.2.Зональные сферические гарсмоники в методе Фурье для уравнения ПуассонаУравнение Пуассона A u = f в сферических координатахx =r cossin 0, y = r sinr Е [0, гс),sin B, z = r cos B,Е [0, 2n], B Е [0,n]§2.Зональные сферические гарсмоники77в случае азимутальной симметрии принимает видш+=Rtf.Sill 6*(5.2.1)где решение и = и(г, 0) и правая часть / = /(г, 9) не зависят от р.
В такомслучае метод Фурье основывается на использовании базиса из собственныхфункций дифференциального оператора18т1 d . nd= ^0dOSm3dO(5.2.2)для построения которого решается задача Штурма-ЛиувилляLw = Хир0 Е (0,7г),(5.2.3)w(9) = (9(1), 9 —> 0,7г,в классической постановке, т.е.
в классе решений w Е С2(0,7г). При этомусловие ограниченности w = w(0) в окрестности концов интервала (0,7г)объясняется тем, что уравнение Пуассона Au = f считается изначальнозаписанным в декартовых координатах для решений класса С2 в области,содержащей интервалы полуосей 9 = 0 и 0 = 7Г. Поэтому можно уточнитьобласть определения Dl дифференциального оператра (5.2.2), заметив, чтоаде = их cos 0 cos р + иу cos 0 sin р — uz sin 9иво =uxx cos2 9 cos2 p + Uyy cos2 9 sin2 p + uzz sin2 9++uxy cos2 9 sin 2y — uxz sin 29 cos p — uxz sin 29 sin pА именно, исходя из классической С2-гладкости решения в декартовых координатах во всех внутренних точках области, содержащей, в частности,интервалы полуосей 9 = 0 и 9 = тр можно выбрать область определенияРь = С2[0,тг].Заменой переменной £ = cos О дифференциальное уравнение (5.2.3) сводится к уравнению Лежандра, поэтому ограниченные на [0,7г] нетривиальные решения w Е С2{0,л) уравнения (5.2.3) существуют тогда и только18Оператор (5.2.2) является зональной составляющей оператора Лапласа-Бельтрами, который, всвою очередь, определяется как сферическая составляющая оператора Лапласа на единичной сферев R3.78Глава 5.Эллиптические краевые задачитогда, когда А = —п(п + 1) при целых п Д 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
