МУ Что такое математическая физика - Бурский, страница 7

Инстантонные решения этого уравнения можноиспользовать для описания солитонных конфигураций в жидком гелии.Универсальные модели. В этих моделях проявляется одна из характерных черттеории М. ф. н. у.: среди огромного их многообразия можно выделить небольшое числоуравнений сравнительно простого вида, которые можно использовать какматематические модели различных по своей природе физических ситуаций.

Этиуравнения играют, в известном смысле, ту же роль, что и математической физикиклассические уравнения (уравнение Лапласа, уравнение диффузии, волновое уравнение).К числу таких универсальных моделей относятся уравнение Кортевега – деФриcа, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус – Гордона, уравнениеКадомцева – Петвиашвили, уравнение Бюргерса, уравнение Хохлова – Заболотской и др.Необходимо отметить еще систему уравнений “трех волн”:∂u 0+ (v0 , ∇)u 0 = iu1u 2 , ∂t∂u1* + (v1 , ∇)u1 = iu1u 2 , ∂t∂u 0* + (v 2 , ∇)u 2 = iu1u1 ,∂t(5)являющуюся универсальной моделью для описания параметрических взаимодействийволн в нелинейных средах. Система (5) допускает многочисленные обобщения.Большое разнообразие встречающихся в физике нелинейных уравненийзатрудняет развитие общих математических методов их исследования. Лишь длясравнительно немногих нелинейных уравнений математической физики доказанытеоремы существования и единственности, к таким относятся уравнения Янга – Миллса,уравнения Навье – Стокса в двумерном случае, уравнения газовой динамики.

Дляуравнений Навье – Стокса в трехмерном случае теорема единственности решения задачиКоши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации нелинейныхуравнений математической физики. Часть их попадает под классическое разделение наэллиптические, гиперболические и параболические уравнения, но значительное числоважных нелинейных уравнений математической физики (среди них уравнение Кортевега– де Фриса, уравнение Кадомцева – Петвиашвили) не могут быть отнесены ни к одному20из этих типов. Некоторую классификацию нелинейных уравнений математическойфизики можно осуществить на основе физических соображений. Прежде всего эторазделение на стационарные и эволюционные уравнения.

Большинство стационарныхуравнений относится к эллиптическому типу. Среди эволюционных уравнений, явносодержащих производные по времени, можно выделить консервативные нелинейныеуравнения математической физики, сохраняющие интеграл энергии, и диссипативныеуравнения, описывающие “открытые системы”, обменивающиеся энергией с “внешниммиром”. Одним из интересных достижений теории нелинейных уравненийматематической физики было обнаружение того факта, что консервативные уравнения,как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение каноническихпеременных зачастую оказывается трудной задачей.

Установлена гамильтонова природабольшинства консервативных обобщений уравнений Эйлера и даже системы уравненийВласова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких клинейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейныеэффекты и производить статистическое описание решений. Все перечисленные вышеуниверсальные нелинейные уравнения, за исключением уравнения Бюргерса и уравненияХохлова – Заболотской, являются гамильтоновыми.Точные решения. Для физики важно знать как можно больше точных решенийнелинейных уравнений математической физики, особенно существенно нелинейных.Простейшие из таких решений можно находить, используя очевидные свойствасимметрии нелинейных уравнений, а также отыскивая всевозможные автомодельныеподстановки. Более тонкие способы вычисления точных решений используют методытеории групп Ли. Пусть нелинейное уравнение для функции двух переменных имеет видu t = F (u, u1 ,..., u n ), u k = ∂ k u / ∂x k ,(6)Функция f (u , u1 ,..., u n , x, τ ) называется симметрией уравнения (6), если оносовместно с уравнениемuτ = f (u , u1 ,..., u n , x, τ ),где τ − новая переменная.

Симметрии образуют алгебру Ли относительно скобкиПуассона ∂f ∂ k h ∂h ∂ k f .{ f , h} = ∑k =0 −k∂u k ∂x k  ∂u k ∂xlПо алгебре симметрии нелинейного уравнения восстанавливают группу Ли –Беклунда непрерывных преобразований, оставляющих уравнения инвариантными.Точные решения уравнения находят как решения, остающиеся инвариантными придействии какой-либо подгруппы группы Ли – Беклунда. Группа Ли – Беклунда и алгебрасимметрии существуют у каждого нелинейного уравнения математической физики.

Вбольшинстве случаев группа Ли – Беклунда является конечномерной. Существуют,однако, случаи, когда эта группа бесконечномерна, как у всех перечисленных вышеуниверсальных нелинейных уравнений математической физики.Если преобразование из группы Ли – Беклунда оставляет инвариантнымфункционал действия гамильтонова нелинейного уравнения, то оно имеет интегралдвижения – функционал, не зависящий от времени. Интегралы движения образуюталгебру Ли относительно скобок Пуассона, изоморфную некоторой подалгебре алгебрысимметрии.Перечисленные выше универсальные гамильтоновы нелинейные уравненияматематической физики обладают бесконечными наборами независимых интеграловдвижения.

Уравнения, обладающие этим свойством, несколько условно называютинтегрируемыми, хотя интегрируемость доказана лишь для немногих из них.Интегрируемыми являются, в частности, одномерные уравнения Эйлера (2).Обширный класс интегрируемых нелинейных уравнений математической физикисоставляют уравнения, к которым применим обратной задачи рассеяния метод. Для этихуравнений, к которым относятся, в частности, перечисленные выше универсальныегамильтоновы системы, возможно явное вычисление большого количества точных21решений, в том числе описывающих солитоны и их взаимодействия. При помощи методаобратной задачи удается вычислять инстантонные решения уравнений Янга – Миллса, атакже найти многочисленные точные решения уравнений Эйнштейна.Если нелинейное уравнение не обладает бесконечной группой Ли – Беклунда,возможности его аналитического исследования сильно ограничены.

В ряде случаевможно, используя разложение по набору заданных функций (метод Галеркина), свестиего к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно изучатькачественными методами, а также интегрировать при помощи ЭВМ. Таким способомудается моделировать не слишком развитую турбулентность, в том числе изучатьстранные аттракторы.

Наконец, если число независимых переменных, входящих внелинейное уравнение, не превышает трех, оказывается достаточно эффективным ихпрямое численное решение на ЭВМ.Литература: [1] Уизем Дж, Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977; [2] Теория солитонов Методобратной задачи, М., 1980; [3] АЫоvitz М.J., 5еgur N., Solitons and the inverse scattering transform, Рhi1., 1981; [4] ИбрагимовН.Х, Группы преобразований в математической физике, М. , 1983.МЕХАНИКАС.

М. ТаргМеханика − это наука о механическом движении материальных тел ипроисходящих при этом взаимодействиях между ними. Под механическим движениемпонимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частиц впространстве. В природе — это движение небесных тел, колебания земной коры,воздушные и морские течения и т. п., а в технике − движения различных летательныхаппаратов и транспортных средств, частей двигателей, машин и механизмов, деформацииэлементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и многоедругое. Рассматриваемые в М. взаимодействия представляют собой те действия тел другна друга, результатами которых являются изменения скоростей точек этих тел или ихдеформации, напр. притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давлениясоприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и надвижущиеся в них тела.Под механикой обычно понимают так называемую классическую механику, воснове которой лежат законы механики Ньютона, а предметом ее изучения являютсядвижения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемые соскоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

Движение тел со скоростямипорядка скорости света рассматриваются в теории относительности, а внутриатомныеявления и движение элементарных частиц изучаются в квантовой механике.При изучении движения материальных тел в механике вводят ряд абстрактныхпонятий, отражающих те или иные свойства реальных тел; ими являются:1) Материальная точка − объект пренебрежимо малых размеров, имеющий массу;это понятие применимо, когда тело движется поступательно или когда в изучаемомдвижении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс.2) Абсолютно твердое тело − тело, расстояние между двумя любыми точкамикоторого всегда остается неизменным; это понятие применимо, когда можно пренебречьдеформацией тела.3) Сплошная изменяемая среда; это понятие применимо, когда при изучениидвижения изменяемой среды (деформируемого твердого тела, жидкости, газа) можнопренебречь молекулярной структурой среды.

При изучении сплошных сред прибегают кследующим абстракциям, отражающим при данных условиях наиболее существенныесвойства соответствующих реальных тел: идеально упругое тело, пластичное тело,идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и др.В соответствии с этим механику разделяют на механику материальной точки,механику системы материальных точек, механику абсолютно твердого тела и механикусплошной среды; последняя в свою очередь подразделяется на теорию упругости, теорию22пластичности, гидродинамику, аэродинамику, газовую динамику и др. В каждом из этихподразделов в соответствии с характером решаемых задач выделяют: статику − учение оравновесии тел под действием сил, кинематику − учение о геометрических свойствахдвижения тел и динамику − учение о движении тел под действием сил.