МУ Что такое математическая физика - Бурский, страница 10

Если ее решение известно, функция Т находится из линейного уравнения (22) присоответствующих начальных и краевых условиях. Система (18), (21) представляетнаиболее изученную и широко используемую в приложениях модель динамики вязкойнесжимаемой жидкости. Теория начально-краевых задач для этой системы изложена в[б], [7].Если на движение жидкости факторы сжимаемости и вязкости не оказываютсущественного влияния, то такое движение можно описывать с помощью уравнений (14),(17), (18), называемых уравнениями идеальной несжимаемой жидкости.

Система (14),(17), (18) и ее специализация при ρ=const лежат в основе многих рассмотренийклассической и современной гидродинамики (см. [2], [8]), в частности теории волновыхдвижений жидкости (см. [9]).Лит.: [1] Жермен П., Курс механики сплошных сред, пер. с франц., М., 1983; [2] Седов Л.И., Механикасплошной среды, 4 изд., М., 1983; [3] Овсянников Л. В., Лекции по основам газовой динамики, М., 1981; [4]Рождественский Б.Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, 2 изд , М.,1978; [5] Антонцев С.Н, Кажихов А.В., Монахов В.Н., Краевые задачи механики неоднородных жидкостей, Новосиб., 1983;[6] Ладыженская О А, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изд., М., 1970; [7] Темам Р.,Уравнения Навье-Стокса.

Теория и численный анализ, пер с англ., М., 1981; [8] Бэтчелор Дж., Введение в динамикужидкости, пер. с англ , М , 1973; [9] Овсянников Л В. [и др.]. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутреннихволн, Новосиб. , 1985.29УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 1А. И. КирилловУравнения электродинамики – это система нелинейных уравнений дляопределения напряженностей электромагнитного поля и траекторий его источников. Вэлектродинамике X.

Лоренца (1892) каждому источнику (частице) сопоставляетсяплотность массы µ , заряда ρ, тока J, поле скоростей v и так наз. микроскопического поляe (электрическое) и h (магнитное). Предполагается, что эти величины связаныследующими уравнениями (здесь k — номер источника, с — скорость света в вакууме).1) Уравнения микроскопических полей:∂hk4π J k ∂ek+, rot hk =, div ek = 4πρ k , div hk = 0.c∂tcc∂tdv2) Уравнения движения источников:µ k k = ∑l ( ρ k el + J k × h l / c).dt∂ρ∂µ k+ div µ k v k = 0, J k = ρ k v k , µ k / mk = ρ k / q k ,3) Связи: k + div J k = 0,∂t∂trot ek = −где тk и qk -- массы и заряды источников. Эти уравнения релятивистски инвариантны(А.

Пуанкаре, 1906). Для точечных источников:∞J µ = {− J / c, ρ} = q ∫ u µ (τ )δ ( x − x(τ ))δ ( y − y (τ ))δ ( z − z (τ ))δ (t − t (τ )) dτ ,−∞2 −1 / 2где uµ = (1 − v / c ){−v.c} — 4-скорость источника, τ — собственное время, х=х(τ),y=y(τ), z=z(τ), t=t(τ) — траектория в пространстве Минковского. В этом приближениирешалась задача Коши для уравнений поля при заданных траекториях его источников идля уравнений движения частиц в заданных электромагнитных полях. Полученныерезультаты позволили объяснить многочисленные эффекты в процессах излучения ипоглощения электромагнитных волн, развить теорию ускорителей и антенн.

Однакомодель точечных источников приводит к бесконечной энергии микроскопических полей.Этот недостаток устранен в моделях протяженных источников, например, вдинамической коллективной модели ядра. В таких моделях движение источников определяется уравнениями гидродинамики, в которых с помощью давления учтеновзаимодействие, обеспечивающее стабильность источников. Альтернативный подходсостоит в использовании в качестве уравнений микроскопических полей уравненийБорна — Инфельда или уравнений Боппа — Подольского. В обоих случаях энергия поляточечного источника оказывается конечной, причем энергия и импульс поля образуют 4вектор, который можно принять в качестве 4-вектора энергии-импульса источника (такназываемая гипотеза полевой массы).

Таким образом, отпадает необходимость в сомнительном тождестве µ / m = ρ / q, которое служит исходным пунктом моделейпротяженных источников. С другой стороны, обобщения уравнений микроскопическихполей сводятся к постулированию тех или иных материальных уравнений для вакуума.Такие уравнения в принципе оправданы возможностью поляризации вакуума в силуналичия в нем электрон-позитронных пар, но конкретный их вид пока составляет предметпроизвольных гипотез.2Литература: [1] Беккер Р.

, Теория электричества, т. 2. Электронная теория, пер с нем., М— Л, 1936; [2] Соколов А.А.,Тернов И. М., Релятивистский электрон, М., 1983; [3] Айзенберг И., Гренер В., Модели ядер, коллективные и одночастичные явления, пер с англ., М., 1975; [4] Гриб А.А., МамаевС.Г., Мостепаненко В.М , Вакуумные квантовые эффекты всильных полях, М , 1988.1Математическая физика. Энциклопедия. М.199830УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ1Д.Д Соколов.Уравнения гравитационного поля – это уравнения, описывающие свойства полятяготения, то есть универсального притяжения между любыми телами, определяемогомассой этих тел Впервые уравнение, описывающее гравитационное взаимодействие двухточечных тел, было предложено И.

Ньютоном, строго говоря, вне рамок теории поляСогласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила, действующая со стороны первоготела на второе для точечных тел, равнаF12 = −γm1 m2 r12r122(1)где r12 -- радиус-вектор, исходящий из точки, в которой расположено первое тело, вточку расположения второго тела, т1 и т2 — массы тел. Коэффициент γ не зависит отмассы тел и расстояния между ними и является универсальной гравитационнойпостоянной, равной приблизительно 6,67⋅10-8 см3 г-1 сек-2 .

Представив (1) в виде(2)F = −γ m1∇ϕ ,можно ввести в теорию гравитационный потенциал ϕ точечного тела, равныйϕ = −γmr(3)где т — масса тела, создающего гравитационное поле, r — расстояние до этого тела.Используя принцип суперпозиции, согласно которому гравитационный потенциалнескольких тел равен сумме гравитационных потенциалов, создаваемых каждым из этихтел по отдельности, и некоторые другие естественные предположения, из (3) можнополучить уравнение Пуассона(4)∆ϕ = 4π γ ρ (r ) ,которому подчиняется гравитационный потенциал ϕ, создаваемый распределениемвещества с плотностью ρ(r).Уравнение Пуассона является одним из основных уравнений математическойфизики, на опыте изучения которого в значительной степени сформировался аппаратэтой науки.

При исследовании уравнения (4) можно показать, в частности, чтопотенциал вне центрально симметричного распределения вещества совпадает спотенциалом точечного тела, помещенного в центре распределения и имеющего массу,равную суммарной массе распределения.Силы тяготения играют тем большую роль, чем больше масштабырассматриваемых объектов. Так, гравитационная сила, действующая между двумяэлектронами, в 5-10 раз меньше электростатических сил, действующих между ними. Однако в мире небесных тел, для которых электрические заряды с высокой точностьюкомпенсируют друг друга, сила тяготения является главной силой, поскольку силытяготения являются исключительно силами притяжения и не могут компенсировать другдруга.Закон всемирного тяготения и вся ньютоновская теория гравитации с огромнойточностью согласуются с экспериментами, лабораторными и космическиминаблюдениями.

Учет поправок к этому закону необходим лишь в сравнительноспециальных случаях, например, при исследовании движения планеты Меркурий илипри решении тех задач космической навигации, где необходима особо высокая точностьрасчета.Однако внимательное исследование уравнения Пуассона вскрывает определенныевнутренние трудности. Например, не вполне ясно, как следует ставить задачи дляуравнения (4) в бесконечном пространстве в том случае, когда распределение плотностиρ не убывает на бесконечности (так называемый гравитационный парадокс).

Уравнение1Математическая физика. Энциклопедия. М.,1998, с.151-152.31Пуассона, являясь уравнением эллиптического типа, описывает распространениевзаимодействий с бесконечной скоростью (дальнодействие) и не вписывается в рамкипредставлений специальной теории относительности. Ординарным способом решенияэтих трудностей было бы создание релятивистской теории тяготения в плоскомпространстве по образцу электродинамики. Уравнения такой теории можно записать ввиде฀ γ ik =16πγτ ik ,c4(5)где ฀ — оператор Д'Аламбера, γ ik — тензор, описывающий гравитационное поле, τ ik— тензор источников гравитационного поля, с — скорость света. Необходимостьтензорной релятивистской теории тяготения является наблюдательным фактом: попыткаввести векторный потенциал гравитационного поля, одна из координат которого внерелятивистском пределе совпадает с потенциалом ϕ, дает количественно неправильноепредсказание для аномалий движения Меркурия.Фактически развитие науки пошло по другому пути и А.Эйнштейн, отталкиваясьот равенства гравитационной и инертной массы (принцип эквивалентности), создалобщую теорию относительности, в которой гравитационное взаимодействие описываетсяна языке геометрии искривленного пространства-времени.

В рамках этой теорииуравнения типа (5) получаются в так называемых постньютоновских приближенияхслабого гравитационного поля, учитывающих, однако, релятивистские эффекты. В рамкипостньютоновских приближений можно уложить основные наблюдательные данные,количественно фиксирующие отклонения от предсказаний ньютоновской теориитяготения, например, в уже упоминавшиеся аномалии в движении Меркурия, а такжемногие гравитационные эффекты, которые еще лежат за гранью наблюдательныхвозможностей, но существование которых представляется несомненным, напр.гравитационное излучение.

Однако мощное идейное воздействие общей теории относительности на все развитие современной космологии и астрофизики, а также теорияэлементарных частиц позволило связать в единую систему многие явления, не имеющиегравитационной природы в узком смысле этого слова: реликтовое космологическоеизлучение, красное смещение в спектрах далеких астрономических объектов и др.Поэтому сейчас можно в определенном смысле говорить о наблюдательномподтверждении релятивистских представлений в теории тяготения именно в формеобщей теории относительности.Строго говоря, общая теория относительности не содержит самого понятиягравитационного поля и, следовательно, его уравнений.