МУ Что такое математическая физика - Бурский, страница 8

Изучениеосновных законов и принципов, которым подчиняется механическое движение тел, ивытекающих из этих законов и принципов общих теорем и уравнений составляетсодержание так называемой общей, или теоретической, механики. Разделами механику,имеющими самостоятельное значение, являются также теория колебаний и волн, теорияустойчивости равновесия и устойчивости движения, математическая теория гироскопа,механика тел переменной массы, теория автоматического регулирования, теория удара идр. Важное место в механике, особенно в механике сплошных сред, занимаютэкспериментальные исследования, проводимые с помощью разнообразных механических,оптических, электрических и других физических методов и приборов.Механика тесно связана со многими другими разделами физики.

Ряд понятий иметодов механики при соответствующих обобщениях находит приложение в оптике,статистической физике, квантовой механике, электродинамике, теории относительностии др. Кроме того, при решении ряда задач газовой динамики, теории взрыва, теплообменав движущихся жидкостях и газах, динамики разреженных газов, магнитнойгидродинамики и др. одновременно используются методы и уравнения как теоретическоймеханике, так и термодинамики, молекулярной физики, теории электричества и др.Важное значение механика имеет для многих разделов астрономии, особенно длянебесной механики.Часть механики, непосредственно связанную с техникой, составляютмногочисленные общетехнические и специальные дисциплины, такие как гидравлика,сопротивление материалов, строительная механика, кинематика механизмов, динамикамашин и механизмов, теория гироскопических устройств, внешняя баллистика, динамикаракет, теория движения наземных, морских и воздушных транспортных средств, теориярегулирования и управления движением различных объектов и др.

Все эти дисциплиныпользуются уравнениями и методами теоретической механики. Таким образом, механикаявляется одной из научных основ многих областей современной техники.Основные понятия и методы механики. Основными кинематическими мерамидвижения в механике являются: для точки — ее скорость и ускорение, а для твердоготела — скорость и ускорение поступательного движения и угловая скорость и угловоеускорение вращательного движения.

Кинематическое состояние деформируемоготвердого тела характеризуется относительными удлинениями и сдвигами его частиц;совокупность этих величин определяет так называемый тензор деформаций. Дляжидкостей и газов кинематическое состояние характеризуется тензором скоростейдеформаций; при изучении поля скоростей движущейся жидкости пользуются такжепонятием вихря, характеризующего вращение частицы.Основной мерой механического взаимодействия материальных тел в механикеявляется сила. Одновременно в механике пользуются понятием момента силыотносительно точки и относительно оси.

В механике сплошной среды силы задаются ихповерхностным или объемным распределением, то есть отношением величины силы кплощади поверхности (для поверхностных сил) или к объему (для массовых сил), накоторые соответствующая сила действует. Возникающие в сплошной среде внутренниенапряжения характеризуются в каждой точке среды касательными и нормальныминапряжениями, совокупность которых представляет собой величину, называемуютензором напряжений. Среднее арифметическое трех нормальных напряжений, взятое собратным знаком, определяет величину, называемую давлением в данной точке среды.На движение тела помимо действующих сил оказывает влияние степень егоинертности.

Для материальной точки мерой инертности является ее масса. Инертностьматериального тела зависит от его общей массы и от распределения масс в теле, котороехарактеризуется положением центра масс и величинами, называемыми осевыми ицентробежными моментами инерции; совокупность этих величин определяет такназываемый тензор инерции. Инертность жидкости или газа характеризуется ихплотностью.В основе механики лежат три закона Ньютона. Первые два справедливы по23отношению к так называемой инерциальной системе отсчета. Второй закон даетосновные уравнения для решения задач динамики точки, а вместе с третьим − для решения задач динамики системы материальных точек.

В механике сплошной среды кромезаконов Ньютона используются еще законы, отражающие свойства данной среды и устанавливающие для нее связь между тензором напряжений и тензорами деформаций илискоростей деформаций. Важное значение для решения задач механики имеют понятия одинамических мерах движения, которыми являются количество движения, моментколичества движения (или кинетический момент) и кинетическая энергия, и о мерахдействия силы, каковыми служат импульс силы и работа. Соотношение между мерамидвижения и мерами действия силы дают так называемые общие теоремы динамики.

Этитеоремы и вытекающие из них законы сохранения количества движения, моментаколичества движения и механической энергии выражают свойства движения любойсистемы материальных точек и сплошной среды.Эффективные методы изучения равновесия и движения несвободноймеханической системы дают вариационные принципы классической механики.При решении задач механику широко используются вытекающие из ее законовили принципов дифференциальные уравнения движения материальной точки, твердоготела и системы материальных точек, в частности уравнения Лагранжа, каноническиеуравнения, уравнение Гамильтона − Якоби, а в механике сплошной среды −соответствующие уравнения равновесия или движения этой среды, уравнениенеразрывности (сплошности) среды и уравнение энергии.Современные проблемы механики.

К числу этих проблем относятся ужеотмечавшиеся задачи теории колебаний (особенно нелинейных), динамики твердого тела,теории устойчивости движения, а также механики тел переменной массы и динамикикосмических полетов. Все большее значение приобретают задачи, требующиеприменения вероятностных методов расчета, то есть задачи, в которых, напр., длядействующих сил известна лишь вероятность того, какие значения они могут иметь.

Вмеханике непрерывной среды весьма актуальны проблемы: изучения поведениямакрочастиц при изменении их формы, что связано с разработкой более строгой теориитурбулентного течения жидкости; решения задач теории пластичности и ползучести;создания обоснованной теории прочности и разрушения твердых тел.Большой круг задач механики связан с изучением движения плазмы в магнитномполе, то есть с решением одной из самых актуальных проблем современной физики осуществлением управляемого термоядерного синтеза.

В гидродинамике ряд важнейшихзадач связан с проблемами больших скоростей в авиации, баллистике, турбиностроении идвигателестроении. Много новых задач возникает на стыке механики с другимиобластями наук. Сюда относятся проблемы гидротермохимии, то есть исследованиямеханических процессов в жидкостях и газах, вступающих в химические реакции,изучение сил, вызывающих деление клеток, механизма образования мускульной силы идр.При решении многих задач механики используются электронно-вычислительныеи аналоговые машины; разработка методов решения новых задач механики с помощьюэтих машин (особенно механики сплошной среды) − также весьма актуальная проблема.Лит.:\\\ Галилей Г., Соч., т. 1, М.-Л., 1934; [2] Ньютон И.

Математические начала натуральной философии, пер. с лат.,М. 1989; [3] Эйлер Л., Основы динамики точки, пер. с лат., М.-Л. 1938; [4] Д'Аламбер Ж., Динамика, пер. с франц , М.-Л.,1950 [5] Л а гран ж Ж., Аналитическая механика, пер. с франц , 2 изд. т. 1—2, М.—Л., 1950; [6] Жуковский Н Е.,Теоретическая механика, 2 изд., М.-Л., 1952; [7] Суслов Г. К , Теоретическая механика, 3 изд, М—Л., 1946; [8] Бухгольц НН, Основной курс теоретической механики, 9 изд., ч. 1, 6 изд , ч.

2, М., 1972; [9] Моисеев Н.Д., Очерки развития механики,М., 1961; [10] Космодемьянский А А., Очерки по истории механики, 2 изд., М., 1964; [11] История механики с древнейшихвремен до конца XVIII в., М., 1971; [12] Веселовский И. Н., Очерки по истории теоретической механики, М., 1974.24УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1Б. Е. ПобедряУравнения теории упругости – это система дифференциальных уравнений дляопределения напряженно-деформированного состояния упругого тела.

Существуют двеклассические формы таких уравнений: в перемещениях и напряжениях.В перемещениях для описания равновесия изотропной линейной упругой средыони представляют собой систему трех дифференциальных уравнений относительно трехкомпонент иi , (i =1, 2, 3) вектора перемещений u:(λ + µ )∂θ+ µ∆u i + X i = 0,∂xiгде θ − относительное изменение объема: θ = div u =(1)∂u1 ∂u 2 ∂u 3++,∂x1 ∂x 2 ∂x3хj — компоненты вектора заданных объемных сил (например, сил тяжести).Уравнения (1) установил Г. Ламе (G. Lаmе, 1852); “упругие постоянные” λ,µназываются постоянными Ламе.

Впервые уравнения (1) получил Л. Навье (L. Nаvier,1821), который полагал, что в изотропном теле существует только одна постоянная (λ=µ).Если на границе ∂Ω , представляющей собой поверхность Ляпунова, компакта Ω ⊂ R 3заданы перемещенияu i | ∂Ω = u i0 ,( 2)то первая краевая задача теории упругости (1), (2) при− 1 < ν < 1 / 2, ν =имеет единственное решениеλ2(λ + µ)(3)u i ∈ C 2 (Ω) ∩ C ( Ω ), ( X i ∈ C ( Ω ), u i0 ∈ C (∂Ω)), причёмуравнения теории упругости (1) образуют эллиптическую систему уравнений приусловии (3).По найденному вектору перемещений u находятся компоненты тензорадеформаций εij , из соотношений Коши:ε ij =1  ∂u i ∂u j+2  ∂x j ∂xi, а затем и напряжения σijпо закону Гука: σij=λθδij +2µεij, где δij — символ Кронекера.Если на границе ∂Ω с единичным вектором внешней нормали, имеющимкомпоненты пi , заданы нагрузкиS 0 ∈ C (∂Ω),iσ ij n j = S , λθni + µ(u ij + u ji )n j = S i0 , j = 1,2,3,0i( 4)то вторая краевая задача (1), (4) разрешима при условиях∫Ω00X dΩ + ∫∂Ω S dΣ = 0; ∫Ω r × X dΩ + ∫∂Ω r × S dΣ = 0,причём имеет единственное решение только при дополнительных условиях∫Ωu d Ω = 0, ∫ r × u d Ω = 0, ,Ωгде r — радиус-вектор точек области Ω.