МУ Что такое математическая физика - Бурский, страница 6

В простейших случаях физически осмысленные граничные условия дляуравнений (1), (3), (4) описываются соотношениемk∂u+ hu | S = v( x, t ), t > 0,∂nгде k и h — заданные неотрицательные функции, не обращающиеся в нуль одновременно,n — внешняя нормаль к поверхности S, v - заданная функция.

Например, для струныусловиеu | x =x = 0.0означает, что конец струны x 0 закреплен, а условие∂u| =0∂x x = x0означает, что конец струны x 0 свободен. Для теплопроводности условиеu | S = v 0 ( x, t )означает, что на границе S области G поддерживается заданный температурный режим, аусловие∂u|S = v1 ( x, t )∂nзадает поток тепла через S. В случае неограниченных областей, например, внешностиограниченной области, кроме условия на границе задается также условие набесконечности.

Так, для уравнения Пуассона (5) в пространстве (n=3) таким условиемявляется условие(7)u ( x) = o(1), | x |→ ∞,а на плоскости (n = 2) — условие(8)u ( x) = O(1), | x |→ ∞,Для уравнения Гельмгольца (6) на бесконечности задаются условия излучения:u ( x) = O(| x | −1 ),∂u iku ( x) = o(| x | −1 ),∂|x|| x |→ ∞,причем знак - соответствует расходящимся, а знак + -- сходящимся волнам.Краевая задача, которая содержит только начальные условия (и, стало быть, несодержит граничных условий, так что область G — все пространство Rn ), называетсязадачей Коши. Если в краевой задаче присутствуют и начальные, и граничные условия,то такая задача называется смешанной задачей.

Для уравнения (4) краевая задача сграничным условиемu | S = v0 ( x),называется задачей Дирихле, а с граничным условием∂u|S = v1 ( x)∂n— задачей Неймана. Различают внешние и внутренние задачи Дирихле и Неймана. Длявнешних задач кроме граничных условий необходимо задавать условия на бесконечноститипа (7), (8), (9).17Перечисленные краевые задачи далеко не исчерпывают все многообразиекраевых задач математической физики — это есть простейшие классические примерыкраевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физические процессы, могутбыть весьма сложными: это могут быть системы уравнений высших порядков,нелинейные уравнения. Сюда в первую очередь относятся: уравнение Шредингера,уравнения гидродинамики, уравнения Максвелла, уравнение Кортевега — де Фриса,уравнения теории упругости и пластичности и др.Литература: [1] ТихоновА.Н., Самарский А.

А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [2] ВладимировВ.С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1987; [3] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частныхпроизводных, 2 изд., М., 1983; [4] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979.НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1В.Е. Захаров.Нелинейные уравнения математической физики – это уравнения, не обладающиесвойством линейности, которые применяются в физике как математические моделинелинейных явлений в различных сплошных средах.

Нелинейные уравненияматематической физики – важная часть математического аппарата, используемого вфундаментальных физических теориях: теории тяготения и квантовой теории поля.Строго говоря, все сплошные среды описываются нелинейными уравнениями.Выбор для описания среды линейных или нелинейных уравнений зависит от роли,которую играют нелинейные эффекты, и определяется конкретной физическойситуацией. Напр., при описании распространения лазерных импульсов необходимоучитывать зависимость показателя преломления среды от интенсивности электромагнитного поля.

Возникающие при этом нелинейные уравнения являются основойматематического аппарата нелинейной оптики.Линейные уравнения, используемые в физике, являются результатомлинеаризации более точных нелинейных уравнений на фоне их простейших (фоновых)решений. Исторически первым примером нелинейных уравнений математической физикибыли найденные в 18 в. уравнения Эйлера для идеальной жидкости:∂ρ+ divρ v = 0∂t∂v −1+ (v ∇)v + ρ ∇P = 0.∂t(1)Здесь ρ , P, v − плотность, давление и скорость жидкости. Для баротропнойжидкости, когда Р=Р(ρ), уравнения Эйлера можно линеаризовать на фоне тривиальногорешения ρ = ρ 0 , v0 = 0 в предположении потенциальности поля скоростей: v = ∇ϕ .Полагая ρ = ρ 0 + δρ , δρ << ρ 0 , получаем из (1) волновое уравнение для звуковыхволн. Однако при рассмотрении вихревых движений жидкости, когда ее можно считатьнесжимаемой, ρ = ρ 0 , div v = 0, уравнения Эйлера (1) становятся существеннонелинейными.

Их линеаризация на фоне решения v0 = 0 приводит к тривиальномууравнению ∂v / ∂t = 0.Таким образом, линеаризация нелинейных уравнений не всегда ведет ксодержательному результату. Может оказаться, что линеаризация имеет смысл, нолинейные уравнения сохраняют применимость лишь конечное время. Эта ситуациятипична, если фоновое решение неустойчиво, но может иметь место и при устойчивомфоновом решении. Так, одномерные уравнения Эйлера∂ρ ∂ρ v∂v∂v∂P+=0= 0,+ v + ρ −1∂t∂x∂t∂x∂x1Математическая физика.

Энциклопедия. М.199818при произвольном начальном условии ρ → ρ 0 , v → 0 при x → ±∞ описываютобразование ударных волн. При этом за достаточно большое время теряют применимостьне только линейное приближение, но и сами уравнения (2), решения которых при t → ∞становятся неоднозначными.Даже если линеаризация нелинейных уравнений возможна, с точки зрения физикиисключительно важны “существенно нелинейные” решения, качественно отличающиесяот решений линейных уравнений. Такими могут быть стационарные решениясолитонного типа, локализованные в одном или нескольких измерениях, или решениятипа волновых коллапсов, описывающие самопроизвольную концентрацию энергии внебольших областях пространства. Существенно нелинейными являются и стационарныерешения уравнений гидродинамики.

Весьма важен вопрос об устойчивости существеннонелинейных решений, в том числе гидродинамических течений и солитонов, которыйрешается либо при помощи линеаризации нелинейных уравнений на фоне изучаемыхрешений, либо при помощи вариационных оценок.Решения нелинейных уравнений математической физики во многих случаяхобнаруживают тенденцию к стохастизации.

В этом случае они требуют статистическогоописания, что составляет предмет теории турбулентности. Турбулентность часторазвивается как результат неустойчивости фонового состояния.Если уровеньнелинейности решения остается малым, то говорят о слабой турбулентности, впротивном случае – о сильной турбулентности. Сильная турбулентность можетсопровождаться волновыми коллапсами, целиком или частично состоять извзаимодействующих солитонов.Нелинейные уравнения в физике. Нелинейные уравнения, встречающиеся вфизике, отличаются большим разнообразием. Их значительная часть представляет собойобобщения гидродинамических уравнений Эйлера, например, уравнения Навье – Стоксадля описания движений вязкой несжимаемой жидкости.

Описываемая имигидродинамическая турбулентность является предельно сильной.В метеорологии были выведены уравнения Буссинеска, описывающие движениянесжимаемой жидкости в поле тяжести и сил Кориолиса и используемые в океанологии ифизике атмосферы. Уравнения магнитной гидродинамики описывают движениепроводящей жидкости в магнитном поле и применяются в астрофизике и физике плазмы.Классическим примером нелинейных уравнений математической физикиявляются уравнения теории упругости. Развитие микроскопической теории кристалловдополнило их уравнениями равновесия и динамики дислокации, также существеннонелинейными.Многие нелинейные уравнения возникли в физике в связи с развитием теорииконденсированныхсред,ониописываютмакроскопическиепроявленияквантовомеханических эффектов; неизвестной функцией в них является плотностьпараметра порядка.

Если параметр порядка скалярный, это двухжидкостные уравнениягидродинамики сверхтекучего гелия, уравнения Ландау – Гинзбурга и их обобщения,описывающие магнитостатику и электродинамику сверхпроводников. Если параметрпорядка векторный или тензорный, это уравнения Ландау - Лифшица, описывающиеферромагнетики и антиферромагнетики, уравнения обобщенной гидродинамикисверхтекучего гелия, макроскопические модели жидких кристаллов.

Для всех этихуравнений наибольший интерес представляют их существенно нелинейные решения,часто описывающие локализованные (хотя бы частично) объекты: вихри в жидком гелиии в сверхпроводниках, доменные стенки в ферромагнетиках и антиферромагнетиках,дисклинации в жидких кристаллах и солитоны, которые в том или ином виде существуютво всех упомянутых средах.Нелинейные уравнения возникают также как результат применения приближенияХартри — Фока к многочастичным квантовомеханическим системам и имеют в этомкачестве применения в атомной и ядерной физике.

Еще одним источником нелинейныхуравнений математической физики является химическая физика. Это – нелинейные уравнения диффузии, описывающие волны горения и детонации, а также колебательныехимические реакции. К ним примыкают возникшие в биофизике уравнения,описывающие распространение импульса по нервному волокну. Уравнения этих типов19возникают в задачах о самоорганизации и диссипативных структурах.Нелинейные уравнения математической физики играют важную роль и вфундаментальной физике, например, уравнения Эйнштейна для гравитационного поля.Уравнения Эйнштейна в вакууме имеют ясный геометрический смысл, описываяримановы пространства, тензор Риччи которых равен нулю.

Геометрическуюинтерпретацию имеют и многие нелинейные уравнения в квантовой теории поля, вчастности, поля Янга – Милса.Локализованные решения нелинейных уравнений квантовой теории поля можнорассматривать как точки стационарной фазы при квазиклассическом вычислениифункциональных интегралов, для Грина функций, содержащих информацию о спектремасс и сечениях взаимодействия элементарных частиц.

Если точкам стационарной фазысоответствуюттраекторииподбарьерныхпереходовмеждутопологическинеэквивалентными вырожденными состояниями вакуума, классические нелинейныеуравнения следует рассматривать в мнимом времени, то есть не в пространствеМинковского, а в четырехмерном евклидовом пространстве. Локализованные решениятаких уравнений – четырехмерные солитоны – получили название инстантонов.Уравнения Янга – Миллса описывают частицы, обладающие асимптотическойсвободой.

В двумерном пространстве-времени этим же свойством обладает уравнение nполя:n ξη +n (n ξ, n η) = 0(3)(здесь ξ = x + t , η = x − t — “конусные” переменные). Это уравнение является частнымслучаем более общего уравнения “главного кирального поля”:gξη +(gξ g -1 gη+ gη g -1 gξ )/2= 0(4)(здесь g – элемент некоторой группы Ли).