МУ Что такое математическая физика - Бурский, страница 3

Sиmmег Scоо1 in Рhуs. Еttoге Маgоrаnа. Еriсе (Sicily), 1973 // Егiсе Subnucl. Рhуs. 1973.[17] 't Нооft. G.When was asymptotic freedom discovered ? Rehabilitation of quantum field thеогу: Ргерrint, 1998. hер-th/9808154.[18] Gross D. Тwеntу уеагs оf asymptotic freedom : Ргергint, 1998. Hер-th / 9809080.НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ БОГОЛЮБОВ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ 1В. С.

ВладимировОрганическое слияние математики и физики в творчестве Н.Н. Боголюбовапозволило ему внести решающий вклад в развитие теоретической физики и фактическизаложить основы современной математической физики. Уже в 1963 г. Н.Н. Боголюбовимел полное основание опубликовать такое утверждение: "Основные понятия и методыквантовой теории поля становятся все более математическими".

Назрела настоятельнаянеобходимость в новом журнале по теоретической и современной математическойфизике, и такой журнал был создан по инициативе Н.Н. Боголюбова в 1969 г. — это"Теоретическая и математическая физика", в настоящее время всемирно известныйжурнал. Вскоре назрела также необходимость в создании регулярно действующеймеждународной конференции по современным проблемам теоретической иматематической физики, и по инициативе Н.Н.

Боголюбова первая такая конференциябыла проведена в декабре 1972 г. в Москве. Далее — Варшава (1974), Киото (1975), Рим(1977), Лозанна (1979), Западный Берлин (1981), Боулдер (1983), Марсель (1986), Сванси(1988), Лейпциг (1991), Париж (1994), Брисбен (1997). В программном выступлении наоткрытии Международного совещания по проблемам квантовой теории поля (Алушта,май 1981) Н.Н. Боголюбов так оценивал положение в современной математическойфизике:"У нас на глазах за последние годы оформилась совершенно новая область науки,которую уместнее всего назвать современной математической физикой.Она имеет то же генетическое происхождение, что и классическаяматематическая физика.

Но если теория дифференциальных уравнений в частныхпроизводных порождалась задачами классической физики: теорией потенциала, теориейраспространения магнитных волн и т.п., то оказывается, что современная теоретическаяфизика — квантовая теория систем с бесконечным числом степеней свободы — требуетиных, более абстрактных и современных математических средств. Это в первую очередьтеория обобщенных функций, функциональный анализ и теория операторов, теорияпредставлений групп и алгебр, топологическая алгебра и т.п.Решение новых физических задач квантовой теории поля сначала искали на путяхусовершенствования обычных методов квантовой механики.

В это время физики успелиубедиться, что для получения разумных ответов на свои вопросы они должны глубжепонять математическую природу объектов исследования таких, как обобщенные функцииили неограниченные операторы, повысить принятый стандарт доказательной силыаргументации.Фрагмент статьи: В. С.

Владимиров “Николай Николаевич Боголюбов и математика”,Труды Математического Института им. В.А. Стеклова, 2000, т. 22819В дальнейшем для того, чтобы освободиться от чрезмерной и иногдабессмысленной детализации, стали изыскивать аксиоматические пути построения теории.Тогда стало очевидно, что современные математические методы позволяют получатьиногда очень сильные результаты. По существу в этом и состояло различие междушколами Боголюбова и Ландау в 40-50-е годы. Время рассудило спор — уже давнофизики-теоретики широко используют самые абстрактные разделы математики — отмашины Тьюринга до p-адических чисел.

Теперь можно сказать больше: "Теоретическаяфизика все в большей степени становится математической физикой". Были случаи, когдаЖЭТФ отклонял работы сотрудников школы Боголюбова на том основании, что онислишком "математичны". Так, один аспирант просил меня "испортить" работы,выбрасывая из них такие "крамольные" слова, как "теорема", "доказательство","необходимо и достаточно" и др.

Например, на Рочестерской конференции по физикевысоких энергий (Чикаго, сентябрь 1972) некоторые доклады по математической физикене принимались, как слишком математизированные результаты. Вспомним в этой связи отеории многих комплексных переменных или о понятии слабой эквивалентностипредставлений. Вспомним, наконец, что ряд специфических квантовых явлений являетсяпрямой физической иллюстрацией знаменитой теоремы фон Неймана о существованиинеэквивалентных представлений в случае бесконечного числа степеней свободы.Упомянутые примеры относятся и к квантовой электродинамике, и к теории сильныхвзаимодействий при высоких энергиях, и к задачам статистической физики. В частности,в физике сильных взаимодействий ввиду сложности динамической картины особеннополезны оказались дисперсионные методы, основанные на общих аналитическихсвойствах амплитуды процесса.

Они имеют уже сейчас непосредственные приложения кпотребностям экспериментальных исследований.Мы находимся в самом начале пути. Достаточно вспомнить, что вне теориивозмущений еще не построено ни одного нетривиального примера квантовой теорииполя, достаточно близкого к реальному физическому миру в четырех измерениях.Обращение физиков к методам современной математики, интерес математиков кзадачам квантовой физики взаимно плодотворны.”МАГИЯ, МИСТЕРИЯ и МАТРИЦА 1Э. Виттен.Гиббсовская лекция. Балтимор.

Январь 1998.В двадцатом столетии поиск лучшего понимания законов природы по большейчасти проводился в направлении двух больших теорий, а именно, общей теорииотносительности и квантовой механики. Общая теория относительности – это, конечно,эйнштейновская теория вместе с некоторыми результатами о кривизне пространствавремени, имеющими гравитационную интерпретацию; математическим каркасом еёявляется риманова геометрия. Если ранее пространство-время понималось как некаянеизменная изначально данная арена, в которой разворачиваются физические события, тов общей теории относительности пространство-время развивается динамично, всоответствии с уравнениями Эйнштейна, физические задачи, относящиеся к этой теории,решаются заданием начальных условий, определяющих развитие пространства-времени вбудущем.

Влияние общей теории относительности на математику двадцатого столетиявесьма широко. Тот факт, что риманова геометрия является центральной в физике, далмощный импульс росту математических исследований в этой области, которая развиласьв одну из наиболее плодотворных ветвей математики с приложениями во многих другихобластях.Если общая теория относительности в естествознании используется для1П е р е в о д с т а т ь и : E . W I T T E N " M A G IC , M Y S T E R Y AN D M A T R IX . " N o t i c e s o f AM S , V . 4 5 , N O . 9 ,P.1124-1128, перевод выполнил Бурский В.П.10изучения поведения астрономических тел и вселенной как целого, то квантовая механикаявляется основой понимания поведения атомов, молекул, субатомных частиц. Уквантовой теории более сложная биография, чем у общей теории относительности, и внекотором смысле наибольшее её влияние на математику принадлежит ХХI веку.Квантовая теория частиц, которая обычно называется нерелятивистской квантовоймеханикой, была создана в её современном виде где-то в 1925 году и сильно повлияла наразвитие функционального анализа и других областей математики.

Но более глубокойчастью квантовой теории является квантовая теория поля, которая возникла какнекоторая комбинация квантовой механики и специальной теории относительности(предшественницы общей теории относительности, в которой скорость света одна и та жев каждой инерциальной системе отсчета, но пространство-время ещё плоское и заданоизначально). Эта более сложная теория развивается начиная с 1920 года по настоящеевремя, охватывая бoльшую часть того, что нам известно о законах физики, исключаягравитацию. Это развитие отмечено рядом вех : теорией антиматерии, появившейся около1930 года; более точным описанием атома, которое нам дала квантовая теория поля около1950 года; стандартной моделью физики частиц (управляющей законами сильного,слабого и электромагнитного взаимодействий), возникшей около 1979 года; новымипредсказаниями нашего времени, которые надеются проверить в современных илибудущих экспериментах на ускорителях.Kвантовая теория поля – очень богатый объект для математики, равно как идля физики.

Однако её развитие осуществлялось преимущественно физиками, и сейчасеще трудно назвать её строгой математической теорией, несмотря на важныепродвижения в конструктивной теории поля. Воздействие этой теории на математику ещёвпереди. Во многих активно развивающихся областях математики изучаются задачи,имеющие естественную квантово-полевую постановку.

Примерами этого являютсятеория Дональдсона о 4-мерных многообразиях, полиномы Джонса узлов и ихобобщения, зеркальная симметрия комплексных многообразий, эллиптическиекогомологии, многие аспекты теории аффинных алгебр Ли. В значительной степени этинаправления развиваются медленно, с трудностями в понимании связей между ними,поскольку их естественная среда в квантовой теории поля не является ещё частьюматематической теории. Проводя образную аналогию, мы как бы видим горную цепь,находящуюся в тумане, и лишь несколько изолированных вершин видно достаточно ясно.Не видна бoльшая часть каждой горы, не видимо ещё квантово-полевое основание иогромное количество математических сокровищ внизу. Имеет хождение сейчас надёжное,хотя, возможно, несколько вызывающе звучащее предсказание о математике ХХI века:попытки найти точки соприкосновения с квантовой теорией поля и взаимопроникновениев различных частях будут одной из её главных тем.1/r2-СингулярностьЧтобы иметь возможность двигаться дальше, обсудим глубже квантовую механику.Её начальный период и последующее развитие во многом были связаны с законом обратногоквадрата в гравитации и электричестве.