МУ Что такое математическая физика - Бурский, страница 5

Этопоразительно, поскольку, как я подчёркивал, стандартная квантовая теория поля делаетгравитацию невозможной. Это простая и наиболее важная причина для интенсивногоизучения струнных теорий последнего времени.2. Неабелева калибровочная симметрия. Второе общее предсказание – этонеабелева калибровочная симметрия (опять с малой добавкой, пропорциональной α′),которая является хлебом с маслом физики частиц.3. Суперсимметрия. Последнее общее предсказание – это "суперсимметрия",некоторый новый тонкий вид симметрии элементарных частиц. Мы не знаем ещё, являетсяли природа суперсимметричной, но есть основания думать, что это так (например,аккуратное измерение высокоэнергетического калибровочного взаимодействия).

У нассейчас есть шанс, что мы что-то узнаем об этом из экспериментов на ускорителях вближайшее десятилетие. Тот факт, что мы ещё не знаем о справедливости этого, означает,что суперсимметрия (которая исторически, по крайней мере отчасти, стала изучатьсяблагодаря её роли в теории струн) является настоящим предсказанием теории струн, в товремя как для гравитации и неабелевой калибровочной симметрии (которые уже былиизвестны перед тем, как они были выведены из теории струн) бльше подошло бы название"послесказание".

Чтобы лучше объяснить суперсимметрию, нужно предположить болееблизкое знакомство читателя с квантовой теорией поля, что мы не вправе допустить. Но, еслипользоваться грубой аналогией, то можно сказать, что суперсимметричная квантовая теориянаходится в таком же отношении к обычной квантовой теории, как дифференциальныеформы на многообразии к функциям на многообразии. Бoльшая часть приложений квантовойтеории поля к геометрии, разработанных в восьмидесятых и девяностых годах, основываетсяна суперсимметрии. (Примеры включают суперсимметрические доказательства теоремы оположительной энергии, теоремы Атья-Зингера об индексе, неравенств Морса, приложения кэллиптическим когомологиям и к теории Дональдсона.) Это, вместе с красотой построений иимпульсом, которые придают эти исследования самой теории струн, даёт ещё однооснование надеяться, что суперсимметрия в природе будет найдена.

Можно быть уверенным,что если суперсимметрия будет подтверждена на ускорителях, то внимание математиковбудет сфокусировано на этой плодотворной ветви так же, как исследования в общей теорииотносительности сфокусировали внимание на римановой геометрии.Кроме тех общих предсказаний, которые я указал, следует сказать, что теория струндостаточно просто ведёт к элегантным и качественно верным моделям объединенияквантовой гравитации и других известных сил в природе, получая основные свойствастандартной модели. Чтобы улучшить эти конструкции, крайне важным является пониманиеисчезновения (или экстремальной малости) космологической постоянной (энергетическойплотности вакуума) после нарушения суперсимметрии. Это пока не ясно.Хотя у физиков нет сколько-нибудь последовательного представления о новыхгеометрических идеях, которые могут помочь в связи с α′-деформацией, мощные методы,использующие двумерную конформную теорию поля, доступны для исследованиянекоторых феноменов.

В восьмидесятых годах большие усилия в теории струн былиприложены к описанию этих феноменов. Примером служит зеркальная симметрия,некоторая связь между двумя пространство-временами, которые различны в классическомгеометрическом смысле, но эквивалентны при α′≠0. Эта симметрия приковывала к себебольшое внимание, поскольку она имеет удивительные следствия, которые можно получить14из их естественной конформной постановки и которые ранее стояли изолированно. Близкимявляется феномен топологического заряда.

Вообще говоря, в теории струн вопрос: "Каковатопология пространства-времени?" не имеет смысла, поскольку в общем случае для α′≠0классические геометрические представления не годятся. Но в подходящем пределе привариации некоторого параметра классические представления могут быть хорошейаппроксимацией. Было выяснено, что мы вполне можем иметь некоторое семействотеоретико-струнных положений, зависящих от некоторого действительного параметра t,который интерполирует два различных пространства-времени в следующем смысле.

Приt→ + ∞ классические геометрические представления являются хорошим приближением, и мынаблюдаем некоторое пространство-время X. При t → – ∞ классическая геометрия опятьявляется хорошим приближением, но наблюдается некоторое другое пространство-время Y.Где-то между большими положительными t и большими отрицательными t находится"струнная" область, в которой классическая геометрия не является хорошим описанием, икоторая интерполирует пространства X и Y.M-теория.Хотя понимание новых геометрических представлений, отвечающих случаю α′≠0,остаётся по всей видимости задачей следующего столетия, обсуждаемая проблема получилав последнее время некоторый более широкий контекст.

Длительное существование пятиструнных теорий, хотя оно представляет собой резкое сужение возможностей дальнейшегоразвития дострунной физики, само по себе является загадкой. То, что уже имеется некоеновое основание физики, на котором базируются и квантовая механика, и гравитация, и что вэтом основании есть пять возможных теорий - это было бы слишком сильно сказано. Ведьесли одна из этих теорий описывает нашу вселенную, то кто тогда живёт в других четырёхмирах? Только изучая то, что может случиться когда и α′, и  – ненулевые обе, мы сможемполучить удовлетворительный ответ на этот вопрос. При  = 0 эти теории действительноразные, но с ≠0 и α′≠0 можно провести интерполяцию между ними. Связи между нимипохожи на связь между пространство-временами X и Y, упомянутую в предыдущем разделе.Две связанные интерполяцией теории (связи таковы : тип I – тип IIB; тип IIB – тип IIА; типIIА – 11-мерная супергравитация; 11-мерная супергравитация – E8×E8-гетеротическая; E8×E8гетеротическая – SO(32)-гетеротическая; SO(32)-гетеротическая – тип I) различны в смыслеклассической геометрии, т.е.

при α′=0, но при α′≠0 они представляют собой два разныхпредельных класса некоторой более тонкой структуры.Более богатую теорию, имеющую своими предельными случаями пять теорий струн,изучаемых в последнее время, можно было бы назвать М-теорией, где М годится для словмагия, мистерия и матрица в зависимости от вкуса. Почему магия и мистерия – понятно, аслово матрица указывает на некую новую некоммутативность, похожую на [p,x]= – i  , нонесколько иную, что представляется началом теории. Физики и математики потратят,вероятно, немало сил, пытаясь построить эту общую теорию.Предложения читателю.Введением в квантовую теорию поля и теорию струн может служить книга "Quantum Fields and Strings: A Course formathematicians" , P.Deligne, P.Etinghof, D.Freed, L.Jeffrey, D.Kazhdan, D.Morrison, and E.Witten, eds.(American MathematicalSociety, 1999). Последнее изложение теории струн (для физиков) имеется в книгах: String Theory, Vols.

I and II. J.Polchinski(Cambridge University Press, 1998).15КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1В. С. ВладимировЭто — уравнения, описывающие математические модели физических явлений.Классические уравнения математической физики — часть предмета математическойфизики. Многие явления физики и механики (гидро- и газодинамики, упругости,электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой физики, теориигравитации и т.

п.) описываются краевыми задачами для дифференциальных уравнений.Эти задачи составляют весьма широкий класс классических уравнений математическойфизики.Для полного описания эволюции физического процесса помимо уравнений,необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный моментвремени (н а ч а л ь н ы е у с л о в и я) и, во-вторых, задать режим на границе той среды,где протекает этот процесс ( г р а н и ч н ы еу с л о в и я). Начальные и граничныеусловия вместе образуют к р а е в ы е у с л о в и я, а дифференциальные уравнениявместе с соответствующими краевыми условиями — к р а е в ы ез а д а ч иматематической физики.Ниже приведены некоторые примеры уравнений и соответствующих краевыхзадач.Уравнение колебаний (волновое уравнение)ρ∂ 2u= div( p grad u ) − qu + f ( x, t )∂t 2(1 )описывает малые колебания струн, стержней, мембран, акустические иэлектромагнитные колебания.

В уравнении (1) пространственные переменные x=(x1,…, xn)изменяются в области G ⊂ Rn, n = 1, 2, 3, где развивается рассматриваемый физическийпроцесс; при этом в соответствии с физическим смыслом входящих величин должно бытьρ>0, р>0, q>0. При ρ =1, р = a2 = const, q = 0 уравнение (1) превращается в волновоеуравнениегде ∆ — оператор Лапласа.Уравнение диффузииρ∂ 2uρ 2 = a 2 ∆u + f ( x, t )∂t( 2)∂u= div( p grad u ) − qu + f ( x, t )∂t(3 )описывает процессы диффузии частиц и распространения тепла в среде.

При ρ =1,р = a2 = const, q = 0 уравнение (3) превращается в уравнение теплопроводностиρ∂u= a 2 ∆u + f ( x, t )∂tДля стационарных процессов, когда отсутствует зависимость от времени t,уравнения колебаний (1) и диффузии (3) принимают вид:− div( p grad u ) + qu = f ( x, t ).( 4)При р = 1 и q = 0 уравнение (4) называется уравнением Пуассона:∆u = − f (x),(5)а при f = 0 — уравнением Лапласа:∆u = 0.Уравнениям Лапласа и Пуассона удовлетворяют различного рода потенциалы:ньютонов (кулонов) потенциал, потенциал течения несжимаемой жидкости и т. п.Если при волновом уравнении (2) внешнее возмущение f— периодическое счастотой ω: f ( x, t ) = a 2 f ( x)e iωt , то амплитуда u(х) периодических решений с той же1Математическая физика.

Энциклопедия. М.199816частотой ω: u ( x, t ) = a 2 u ( x)e iωt удовлетворяет уравнению Гельмгольца:∆u + k 2 u = − f ( x), k 2 = ω 2 / a 2(6)К уравнению Гельмгольца приводят задачи на рассеяние (дифракцию).Для полного описания процесса колебаний необходимо задать начальноевозмущение и начальную скоростьu |t =0 = u 0 ( x),∂u∂t|t =0 = u1 ( x),а для процесса диффузии — только начальное возмущениеu |t =0 = u 0 ( x).Кроме того, на границе S области G необходимо удовлетворить заданномурежиму.