МУ Что такое математическая физика - Бурский, страница 9

Если на части поверхности дΩ заданы условия(2), а на остальной части -условия (3), краевая задача называется смешанной.Уравнения теории упругости в напряжениях для односвязной области Ω состоятиз трёх уравнений равновесия∂σ i1 ∂σ i 2 ∂σ i 3+++ Xi = 0∂x1∂x 2∂x31Математическая физика. Энциклопедия. М.1998(5)25и шести уравнений совместности в напряжениях − ν δ ij  ∂X 1 + ∂X 2 + ∂X 3 ,(6 ) 1 − ν  ∂x∂∂xx123к чему добавляются три граничные условия, например, (4), здесь Θ=σ11 +σ22+σ33 .∆σ ij + ∂X∂X j1 ∂ 2Θ= − i + ∂x1 + ν ∂xi ∂x j∂xi jЕсли уравнения (5) выполняются на границе тела дΩ, то они удовлетворяются ивнутри него.

Это позволяет сформулировать уравнения теории упругости в виде шестиобобщенных уравнений совместности относительно шести независимых компонент σijсимметрического тензора напряжений при удовлетворении шести граничным условиям,в число которых входят уравнения (5), снесённые на границу.Лит.: [1] Новацкий В., Теория упругости, пер. с польск., М., 1975; [2] Тимошенко С.П., История науки о сопротивленииматериалов, пер. с англ., М., 1957; [3] Победря Б. Е., Численные методы в теории упругости и пластичности, М., 1981.УРАВНЕНИЯ ГАЗО- и ГИДРОДИНАМИКИ 1В. В.

Пухначёв.Дифференциальные уравнения, описывающие движение жидкости или газа поддействием внешних и внутренних сил и источников тепла, называются уравнениямигидродинамики. Независимыми переменными в системе уравнений гидродинамикиявляются время t и совокупность х координат трехмерного евклидова пространства, аискомыми функциями — компоненты трехмерного вектора скорости г и дополнительныепеременные, характеризующие состояние жидкости (плотность ρ, температура Т,давление р и т.д.).

Система координат, используемая ниже для записи уравненийгидродинамики, предполагается инерциальной.Уравнения гидродинамики выводятся на основе общих законов сохранения вмеханике сплошной среды (см. [I], [2]). Предположим, что в некоторой трехмернойобласти Ω ⊂ R 3 (которая может изменяться со временем) имеется распределение масс собъемной плотностью ρ(х,t).

Закон сохранения массы приводит к уравнениюнеразрывностиdρ+ ρ divv = 0 ,dtгде(1)d= ∂ + v grad — оператор полного дифференцирования по времени.dt ∂tДля формулировки закона сохранения импульса следует ввести в рассмотрениесилы, действующие на жидкость. Они могут быть как внутренними (то есть действоватьна произвольную трехмерную подобласть ω области Ω со стороны дополнения ω до Ω),так и внешними. Поле внешних сил, отнесенных к единице массы, обозначим через f(х,t).Функция f, как правило, считается заданной.

Относительно внутренних сил будемпредполагать, что в каждой точке М границы дω области ω в каждый момент времени tони могут быть представлены поверхностной плотностью рn(х,t), зависящей отединичного вектора n внешней нормали к дω в точке M (поверхность дω считаетсягладкой).Из закона сохранения импульса вытекает, что поверхностные силы находятся влокальном равновесии.

Это влечет представление рn = Рп, где Р— некоторый тензор,называемый тензором напряжений. С его помощью уравнение движения записывается ввидеρdv= div P + ρ fdt(2)Далее постулируется симметричность тензора напряжений. Тогда из (2) будетвытекать закон сохранения момента количества движения. Уравнение (2) справедливо1Математическая физика. Энциклопедия.

М.199826для любой сплошной среды, независимо от вида тензора напряжений Р. Сплошная среданазывается жидкостью, если Р является функцией тензора скоростей деформаций D:Р=К(D) (значения функции К – симметрические тензоры 2-го ранга). Тензор скоростейдеформаций D, по определению, есть симметричная часть тензора gradv:D=1(grad v + (grad v ) γ ). Предположим, что функция К не зависит явно от х и t и,2сверх того, является изотропной функцией D (последнее означает, что ни в пространстве,ни в жидкости не существует выделенных направлений).

В этом случае зависимость Р отD имеет видР=К0 I + К1 D + К2,D2 ,(3)где I — единичный тензор, а К0 , К1 и К2, -- скалярные функции, зависящие от главныхинвариантов DI , DII , DIII и, возможно, термодинамических переменных состояния.Для замыкания системы уравнений гидродинамики следует присоединить к (1)—(3) уравнение энергии:ρdε= − div q + P : D.dtЗдесь ε — удельная (то есть отнесенная к единице массы) внутренняя энергия, q— вектор потока тепла, Р:D означает свертку тензоров Р и D.

Ниже ограничимся случаемдвупараметрической среды, в которой все термодинамические функции зависят от двухтермодинамических параметров состояния. Если эти два параметра -- температура Т иплотность ρ, то удельная внутренняя энергия должна выражаться через них:ε=E(T,ρ)(5)Относительно вектора потока тепла q предположим, что q является изотропнойфункцией от градиента температуры и термодинамических переменных. Это означает,чтоq = — κ grad T,(6)где κ — скалярная функция от |grad T|, Т и ρ, называемая коэффициентомтеплопроводности.

Уравнения (1) — (6) образуют замкнутую систему уравненийгидродинамики сжимаемой жидкости или газа.Важный частный случай жидкостей составляют классические, илиньютоновские, жидкости (и газы). В этом случае зависимость Р от D линейна,Р = (-р + λ div v )I + 2µD.(7)В соотношении (7) р — давление, λи µ — скалярные функциитермодинамических переменных; div v = DI — первый инвариант тензора D. Уравнениедвижения ньютоновской жидкости получается из (2), (7) и носит название уравненияНавье -Стокса:ρ∂v= grad(-p + λ divv ) + div (2µD) + ρ f .∂t(8 )В случае сжимаемой жидкости (газа) давление является термодинамическойпеременной и должно быть задано как функция T и ρ с помощью уравнения состояния.Для многих реальных газов указанная зависимость хорошо аппроксимируетсяуравнением Клапейрона:p=ρRТ,(9)где R -- положительная постоянная, определяемая молярным составом газа (газоваяпостоянная).

Газ, для выполнено уравнение состояния (9), называется совершенным.Внутренняя энергия совершенного газа зависит только от температуры, так что описаниеего термодинамики сводится к заданию функции ε= Е(Т). В общем случае это описаниехарактеризуется зависимостями (5) ир=h(Т, ρ).(10)Введем в рассмотрение еще одну термодинамическую переменную — удельнуюэнтропию S — с помощью равенства, выражающего первый закон термодинамики:TdS = dε + ρ d(1/р).(11)27Соотношения (1), (6) и (11) позволяют записать уравнение энергии (4) дляньютоновской жидкости в видеρTв которомdS= div( κ grad T ) + Φ,dt(12 )Φ =λ (div v)2 + 2µD:D(13)— диссипативная функция. Известно, что коэффициент теплопроводности κнеотрицателен (теплота всегда передается от тел с большей температурой к телам с ментемпературой). Из второго закона термодинамики следует, что в процессе движенияжидкости механическая энергия может перейти в тепловую, но не наоборот.

Это влечеттребование неотрицательности функции Ф для произвольных D. Последнее, в силу (13),выполнено в том и только в том случае, когда µ =0, 3λ +2µ=0.Рассмотрим теперь уравнения, описывающие движения идеальной жидкости.Жидкость называют идеальной, если поток тепла q и диссипативная функция Фтождественно равны нулю. Идеальную жидкость можно рассматривать как предельныйслучай вязкой сжимаемой жидкости, когда λ → 0, µ → 0, κ → 0 .

Тензор напряжений видеальной жидкости является шаровым: Р = — рI . Полагая в (8), (12) λ = 0, µ = 0, κ = 0,получаемρdv= −grad p + ρ f ,dtdS= 0.dt(14 )(15 )Система (1), (14), (15) становится замкнутой, если к добавить термодинамическоеуравнение состояния. Для случая идеальной жидкости это уравнение удобно выбрать вформер=f(ρ,S).(16)Систему (1), (14)-(16) называют также системой уравнений газовой динамики.Она широко используется для описания быстропротекающих процессов в сжимаемыхсредах, когда характерные времена изменения состояния среды под действием вязкости итеплопроводно много больше времен изменений, обусловленных фактов сжимаемости(см.

[З], [4]). Важной особенностью системы (1), (14)—(16) является наличие у нееразрывных решений, описывающих такие явления, как распространение ударных волн.Математическая модель газовой динамики, основанная уравнениях (1), (14)-(16),изучена весьма подробно (см. [3],[4]). Что касается вопросов корректности начальнокраевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа, то к настоящему времениздесь имеются лишь отдельные результаты. Исключение составляет теория одномерныхдвижений с постоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности, развитая сдостаточной полнотой (см. [5]).Система соотношений (1)-(6) в равной мере применима к описанию движений какжидкости, так и газа.

Однако если для газов свойство сжимаемости (то есть способностьлегко изменять плотность под действием изменений давления или температуры) являетсяопределяющим, то для собственно жидкостей это свойство выражено очень слабо. Так,если давление возрастает от одной до 100 атм при комнатной температуре, то плотностьводы увеличивается всего на 0,5%. Поэтому большое распространение получила модельнесжимаемой жидкости, основанная на предположении div v = 0. Формально уравненияэтой модели могут быть получены из (1)-(6).

Однако следует подчеркнуть, что длянесжимаемой жидкости давление р уже не является термодинамической переменной,хотя и остается динамической переменной. В частности, для ньютоновской несжимаемойжидкости вследствие (1), (7) давление может быть выражено через первый инвариант SрР тензора напряжений по формуле р=.-SрР/3. С точки зрения термодинамикинесжимаемая жидкость является однопараметрической средой, в которой естественнымпараметром состояния является температура Т, соотношение (11) принимает вид TdS=dε,а зависимость (5) — вид ε=E(T).В несжимаемой жидкости плотность ρ, согласно (1), удовлетворяет уравнению28dρ= 0.dt(17 )Это уравнение всегда имеет решение ρ = const, что соответствует случаю однороднойжидкости.

(Об исследовании уравнений неоднородной вязкой несжимаемой жидкости см.[5].) Уравнения динамики однородной несжимаемой жидкости в предположениях олинейной зависимости (7) между тензорами Р и D и о независимости коэффициента κ вформуле (6) от |grad Т| имеют вид:ρρcdivv = 0.(18 )∂v= −grad p + div (2µD) + ρ f ,∂t(19 )dT= div( κ grad T ) + 2µD : D,dt( 20 )Здесь µ (динамический коэффициент вязкости), с=Е’T (удельная теплоемкость) и к(коэффициент теплопроводности) — параметры, характеризующие данную жидкость.Они, вообще говоря, зависят от температуры.С математической точки зрения система (18)-(20) мало изучена. При постоянныхµ, с и к, с уравнения (19), (20) принимают более простой вид и записываются так:∂v= −ρ −1grad p + ν∆v + f ,∂tdT= κ∆T + 2c −1νD : D,dt( 21 )( 22 )Здесь введены обозначения: ν=µ/ρ – кинематический коэффициент вязкости, χ=κ/ρc –коэффициент температуропроводности, ∆ – оператор Лапласа по переменным x.Уравнения (18), (21) образуют замкнутую систему для определения функций ν ир.