Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 7

. = fnk ≡ f,отвечающих различным векторам |n1 i, |n2 i . . . |nk i. Но тогда любая линейная комбинация векторов |n1 i, |n2 i . . . |nk i также являетсясобственным вектором оператора F̂ , отвечающим собственному значению f .61Пусть унитарная матрица U есть матрица перехода от одногоортонормированного набора векторов |n1 i, |n2 i . . . |nk i к другому|n01 i, |n02 i . . .

|n0k i, т.е.XX∗hn0i | =Uij hnj |, |n0i i =Uij|nj i.jjТогда в представлении векторов |n0i i оператор Ĝ имеет видG0 = U GU + .Но любая эрмитовая матрица может быть приведена к диагональному виду таким преобразованием (с помощью правильно подобраннойунитарной матрицы). После такого приведения имеем:G0ij = gi δij⇔Ĝ|n0i i = gi |n0i i.Таким образом, векторы |n01 i, |n02 i . . . |n0k i являются искомыми собственными векторами как для оператора F̂ , так и для оператора Ĝ.Теорема доказана.Линейный осцилляторСтационарное уравнение Шредингера для линейного осциллятора выглядит следующим образом:µ 2¶p̂mω 2 x̂2+|ni = En |ni, [p̂, x̂] = −i~.2m2Собственные векторы нормированы на единицу:hn|ni = 1.Обезразмерим уравнение, домножая его левую и правую части2на:~ωµ 2¶p̂mωx̂22En+|ni =|ni.m~ω~~ωВыполняем замену переменных:rmωp̂ˆξ=x̂, p̂ξ = √,~m~ω62εn =En,~ωпри этомˆ = −i.[p̂ξ , ξ]Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:³´p̂2ξ + ξˆ2 |ni = 2εn |ni.Введем новые операторыξˆ + ip̂ξâ = √ ,2ξˆ − ip̂ â+ = √ ξ .2Обезразмеренные операторы координаты ξˆ и импульса p̂ξ выражаются через эти новые операторы следующим образомâ + â+ ξˆ = √ ,2â − â+ p̂ξ = √ .i 2Вычислим коммутатор â и â+ :[â, â+ ] =то есть1 ˆ1[ξ + ip̂ξ , ξˆ − ip̂ξ ] = (i(−i) − i(i)) = 1,22ââ+ − â+ â = 1или ââ+ = â+ â + 1.Перепишем теперь стационарное уравнение Шредингера через операторы â и â+ :1(−(â − â+ )2 + (â + â+ )2 )|ni = 2εn |ni,2(ââ+ + â+ â)|ni = 2εn |ni,(â+ â + 1 + â+ â)|ni = 2εn |ni,1(â+ â + )|ni = εn |ni,2ĥ|ni = εn |ni,631где оператор ĥ = â+ â + есть, по существу, обезразмеренный опе2ратор Гамильтона.Вычислим коммутаторы операторов â+ и â с оператором ĥ.

Имеем:1[â+ , ĥ] = [â+ , â+ â + ] = â+ [â+ , â] = −â+ ,2то есть â+ ĥ − ĥâ+ = −â+ , илиâ+ ĥ = ĥâ+ − â+ .Аналогично [â, ĥ] = â, илиâĥ = ĥâ + â.Действуя на обезразмеренное стационарное уравнение Шредингера слева оператором â+ , получаем:â+ ĥ|ni = εn â+ |ni,илиĥâ+ |ni − â+ |ni = εn â+ |ni,ĥ(â+ |ni) = (εn + 1)(â+ |ni).Предположим, чтоâ+ |ni = c|n + 1i,εn+1 = εn + 1,при этом|c|2 = hc(n + 1)|c(n + 1)i = hâ+ n|â+ ni =11= hn|ââ+ |ni = hn|ĥ + |ni = εn + .22Аналогичным образом, действуя на то же уравнение слева оператором â, получаемâĥ|ni = εn â|ni,илиĥâ|ni + â|ni = εn â|ni,ĥ(â|ni) = (εn − 1)(â|ni).64Следовательноâ|ni = c0 |n − 1i,εn−1 = εn − 1,при этом11|c0 |2 = hc0 (n−1)|c0 (n−1)i = hân|âni = hn|â+ â|ni = hn|ĥ− |ni = εn − .22Но |c0 |2 > 0, поэтому εn >1или2min εn =n1.211+ n. Переходя к En , находимПолагаем ε0 = , тогда εn =22спектр оператора Гамильтона:1En = ~ω(n + ).2Кроме того, считая c и c0 действительными неотрицательными числами, получаем:√â+ |ni = n + 1|n + 1i,â|ni =√n|n − 1i.Покажем теперь, как найти волновые функции основного и возбужденных состояний в координатном представлении.

Вектор |ψ0 i ≡|0i основного состояния, т.е. состояния с минимальной энергией ε0 ,удовлетворяет соотношению:â|0i = 0.В ξ-представлении получаем:ξˆ + ip̂ξ√ ψ0 (ξ) = 0,2или(ξ +d)ψ0 (ξ) = 0.dξ65Решением, нормированным на единицу, является функцияψ0 (ξ) =1π 1/4e−ξ2/2.Волновые функции возбужденых состояний можно найти, воспользовавшись соотношениями:â+ |0i = 1|1i,â+ |1i =â+ |2i =√√|1i = â+ |0i,2|2i,11|2i = √ â+ |1i = √ (â+ )2 |0i,223|3i,11|3i = √ â+ |2i = √ (â+ )3 |0i, .

. .33!Легко видеть, что1|ni = √ (â+ )n |0i.n!В координатном представлени赶n µµ¶¶n11d√ψn (ξ) = √ξ − i −iψ0 (ξ)dξ2n!ил赶n2d1−ξ 2 /2ψn (ξ) = pξ−e−ξ /2 = p,√√ Hn (ξ)enndξ2 n! π2 n! π1гдеµHn (ξ) = eξ2/2ξ−ddξ¶ne−ξ2/2есть полином Эрмита n-й степени.Лекция №11. Квантование свободногоэлектромагнитного поляСвободное электромагнитное полеЭлектромагнитное поле в любой точке r в любой момент t задается напряженностями E(r, t) и H(r, t).

Динамика поля определяется66уравнениями Максвелла. Первая пара уравнений Максвелла имеетвид: div H = 0, rot E = − 1 ∂H .c ∂tСегодня мы обсуждаем свободное электромагнитное поле, т.е. зарядов и токов нет. Поэтому вторая пара уравнений Максвелла выглядит так: div E = 0, rot H = 1 ∂E .c ∂tСуществует более экономный способ задания электромагнитногополя – с помощью скалярного ϕ(r, t) и векторного A(r, t) потенциалов:1 ∂AE = −∇ϕ −,c ∂tH = rot A.Напряженности E и H, взятые в такой форме, тождественно удовлетворяют первой паре уравнений Максвелла. Калибровочной инвариантностью называют тот факт, что преобразованиеϕ → ϕ0 = ϕ −1 ∂f (r, t),c∂tA → A0 = A + ∇f (r, t),где f (r, t) – произвольная функция, не меняет напряженностей E иH.Выберем f (r, t) так, чтобы1 ∂ϕ+ div A = 0.c ∂tЭто калибровка Лоренца. Тогда вторая пара уравнений Максвеллаприводится к форме: ¤ ϕ = 0,¤ A = 0,67где1 ∂2− ∇2 .c2 ∂t2Примем ϕ = 0 (дополнительное калибровочное условие).

Тогда свободное электромагнитное поле описывается системой уравнений:ϕ = 0,div A = 0,¤ A = 0.¤=Частным решением этой системы является векторный потенциал,взятый в виде плоской волны:A(r, t) = b e eikr−iωt + k.c.Здесь введены следующие обозначения:b – комплексная амплитуда,e – единичный вектор поляризации (ee∗ = 1),k.c. – комплексно сопряженная величина.Частота ω и волновой вектор k связаны условием:ω2− k2 = 0c2⇒ω = |k|c,причемek = 0⇒e⊥ k.Таким образом ортогональный базис в пространстве векторов поляризации, перпендикулярных k, состоит из двух векторов e1 и e2 :e1 ⊥ k,e2 ⊥ k,e1 e∗2 = 0.Совокупность значений (k, eα ) ≡ λ задает моду электромагнитногополя, а λ называется индексом моды.Пусть поле заключено в ящик с размерами (Lx , Ly , Lz ).

Еслиящик велик, то электромагнитное поле внутри него не отличимо отсвободного поля. С другой стороны, граничные условия приводят к68дискретизации мод. В самом деле, запишем условие периодичностипо направлению Ox:A(x = 0, y, z, t) = A(x = Lx , y, z, t)⇔1 = eikx Lx ,т.е. kx Lx = 2πnx . Проделывая то же самое для других направлений,получаем:2πnxkx =,nx ∈ Z,Lxky =2πny,Lyny ∈ Z,kz =2πnz,Lznz ∈ Z.Тогда индекс моды λ = (kx , ky , kz , eα ) – это дискретный индекс.Общее решение – суперпозиция частных решений, отвечающихвсем модам:X¡¢ X¡¢bλ (t)eα eikr + k.c. ,bλ eα eikr−iωt + k.c. =A(r, t) =λλгде bλ (t) = bλ e−iωt .

Подставляя A в выражения для E и H, получаем:E(r, t) = −X1 ∂A X=(ikbλ (t)eα eikr + k.c.) ≡Eλ (r, t),c ∂tλH(r, t) = rot A =Xλ(ibλ (t)[k × eα ]eikr + k.c.) ≡XHλ (r, t).λλЭнергия поля определяется интегралом по объему ящика:Z(E2 + H2 )εf =dV.8πУчитывая, чтоиeα e∗α0 = δαα0 ,Z0eikr e−ik r dV = V δk k0 ,V69находим:εf =Xεf λ ,λгдеZεf λ =E2λ + H2λ1V k2dV =4k 2 |bλ (t)|2 V =|bλ |2 .8π8π2πVПереход от классических величин к операторамПримем за обобщенную координату действительную величинуQλ = ℵ(bλ (t) + b∗λ (t)).Предположим, что обобщенный импульс, отвечающий координатеQλ , это производная Qλ по времени:Pλ = Q̇λ = −iωℵ(bλ (t) − b∗λ (t)).Выполняя вычисления, нетрудно убедиться в том, чтоPλ2 + ω 2 Q2λ = −ω 2 ℵ2 (bλ − b∗λ )2 + ω 2 ℵ2 (bλ + b∗λ )2 == 4ω 2 ℵ2 bλ b∗λ = 4ω 2 ℵ2 |bλ |2 ∼ εf λ =V k2|bλ |2 .2πЕсли коэффициент ℵ выбрать так, чтоℵ2 =V,4πc2тоPλ2 + ω 2 Q2λ= Hf λ .2Здесь Hf λ – это функция Гамильтона моды λ свободного электромагнитного поля (энергия, выраженная через обобщенные координатыи импульсы).В самом деле, в классической теории функция Гамильтона H системы с одной степенью свободы, обобщенная координата q этой системы и обобщенный импульс p связаны уравнениями Гамильтона:εf λ =∂H= q̇,∂p∂H= −ṗ.∂q70В случае H = Hf λ , q = Qλ и p = Pλ первое уравнение принимаетвид:Pλ = Q̇λ .Это верно, поскольку именно так был определен импульс Pλ .

Второеуравнение (с учетом первого) может быть записано так:∂ 2 Qλ.∂t2Легко проверить, что введенная нами обобщенная координата Qλудовлетворяет этому уравнению.Далее переходим от классических величин к линейным эрмитовым операторам:ω 2 Qλ = −Pλ→P̂λ ,Qλ→Q̂λ ,P̂λ2 + ω 2 Q̂2λ.2Воспользовавшись ранее установленным соответствием между скобкой Пуассона и коммутатором, находим:Hf λ→Ĥf λ ={Pλ , Qλ } = 1⇒[P̂λ , Q̂λ ] = −i~.Состояние поля с определенной энергией в моде λ определяетсястационарным уравнением Шредингера:Ĥf λ |ψλ i = Ef λ |ψλ i,илиÃP̂λ2 + ω 2 Q̂2λ2!|ψλ i = Ef λ |ψλ i.Поскольку [P̂λ , Q̂λ ] = −i~, то мы получили задачу на нахождениеэнергетических уровней и векторов состояний линейного осциллятора.Ранее мы установили, что энергетические уровни линейного осциллятора отстоят друг от друга на одну и ту же величину ~ω(спектр эквидистантен), т.е.µ¶1Ef λ = ~ω nλ +, nλ = 0, 1, 2 .

. .271Для решения задачи о линейном осцилляторе вводят обезразмеренные операторыr ξˆλ = ω Q̂λ ,~r1 p̂ξλ =P̂λ ,~ωи, затем, операторы повышения и пониженияξˆλ + ip̂ξλ√âλ =,2ξˆλ − ip̂ξλ â+√.=λ2Напомним теперь, что обобщенная координата и обобщенный импульс для моды λ были определены так: Qλ = ℵ(bλ + b∗λ ),Pλ = −iωℵ(bλ − b∗λ ).Отсюда для bλ получаем:bλ =Qλ + ωi Pλ2ℵТаким образомq√ i~ˆ~ω ω p̂ξλQ̂λ + ωi P̂λω ξλ +bλ → b̂λ ===2ℵ2ℵrr~ 1 ˆ~1=(ξλ + ip̂ξλ ) =âλ .ω 2ℵℵ 2ωТо естьr2π~c2âλ ,ωVr2π~c2 +=âλ .ωVbλ→b̂λ =b∗λ→b̂+ λ72Итак, мы показали, что в случае свободного электромагнитногополя переход от действительных классических величин к линейнымэрмитовым операторам происходит следующим образом:rX 2π~c2 ¡¢∗ −ikrA(r, t) → Â(r) =âλ eα eikr + â+,λ eα eωVλ rX 2π~c2 ¡¢∗ −ikrE(r, t) → Ê(r) =ik âλ eα eikr − ik â+,λ eα eωVλ rX 2π~c2 ¡¢−ikr.H(r, t) → Ĥ(r) =i[k × eα ]âλ eikr − i[k × e∗α ]â+λeωVλГамильтонианом поля является операторµ¶XX1+Ĥf λ =~ω âλ âλ +Ĥf =.2λλПусть |nλ i – собственный вектор гамильтониана Ĥf λ моды λ.