Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 3

Это следует из цепочки равенствhi+ Ψ|Φi = hΨ|iΦi = h(−i)Ψ|Φi.Тогда из того, что[F̂ , Ĝ]+ = (F̂ Ĝ − ĜF̂ )+ = (Ĝ+ F̂ + − F̂ + Ĝ+ ) == (ĜF̂ − F̂ Ĝ) = −(F̂ Ĝ − ĜF̂ ) = −[F̂ , Ĝ],следует[F̂ , Ĝ] = iK̂,+где K̂ = K̂.в) Докажем соотношение неопределенностей.Рассмотрим оператор отклонения от среднего ∆F̂ = F̂ −hF i. Длянего имеемh∆F i = hΨ|(F̂ − hF i)Ψi = hΨ|F̂ Ψi − hF ihΨ|Ψi = hF i − hF i × 1 = 0,(∆F̂ )+ = (F̂ − hF i)+ = F̂ − hF i = ∆F̂ .21По определению, h(∆F )2 i = hΨ|(∆F̂ )2 Ψi. Аналогично для оператора∆Ĝ = Ĝ − hGi:h∆Gi = hΨ|(Ĝ − hGi)Ψi = hΨ|ĜΨi − hGihΨ|Ψi = hGi − hGi × 1 = 0,(∆Ĝ)+ = (Ĝ − hGi)+ = Ĝ − hGi = ∆Ĝ,h(∆G)2 i = hΨ|(∆Ĝ)2 Ψi.При этом справедливо[∆F̂ , ∆Ĝ] = iK̂.Рассмотрим новый оператор z∆F̂ + i∆Ĝ, где z – произвольноедействительное число.

Тогдаh(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψ|(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi = f (z) > 0.С другой стороныf (z) = hΨ|(z∆F̂ + i∆Ĝ)+ (z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi == hΨ|(z∆F̂ − i∆Ĝ)(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi == z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i + izhΨ|(∆F̂ ∆Ĝ − ∆Ĝ∆F̂ )Ψi == z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i + izhΨ|iK̂Ψi == z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i − zhKi.Но так какf (z) = z 2 h(∆F )2 i − zhKi + h(∆G)2 i > 0,то должно быть выполненноhKi2 − 4h(∆F )2 ih(∆G)2 i 6 0,илиh(∆F )2 ih(∆G)2 i >22hKi2.4∀z,Доказательство закончено.Пример: F̂ = x̂ = x, Ĝ = p̂ = −i~ ∂ .x∂xВычислим коммутатор:¶µ¶µdd[x̂, pˆx ]Ψ(x) = x −i~Ψ(x) − −i~xΨ(x) = i~Ψ(x) ⇒ K̂ = ~.dxdxТогда соотношение неопределенностей имеет видh(∆x)2 ih(∆px )2 i >~2.4Определение: Если Ψ0 (x) — волновая функция состояния, в котором~2h(∆x)2 ih(∆px )2 i =,4то Ψ0 – волновая функция когерентного состояния.Лекция №5.

Квантовая динамикаУравнение ШредингераПопробуем найти общий вид динамического уравнения для волновой функции Ψ(q, t). В соответствии с постулатом I система полностью описывается волновой функцией Ψ(q, t). В частности, волновая функция в момент t определяет состояние системы во все последующие моменты времени. Это означает, что искомое уравнениеможет содержать производные Ψ(q, t) по t не старше первой.

Следовательно уравнение должно иметь видi~∂Ψ(q, t)= ĤΨ(q, t),∂t∂Ψ(q, t)i= − ĤΨ(q, t).∂t~Левая часть линейна, поэтому линейна и правая часть (иначе нарушался бы принцип суперпозиции - постулат II). Следовательно Ĥ –линейный оператор.23Дифференцируя по t условие нормировкиZΨ∗ (q, t)Ψ(q, t)dq = 1,получаем серию равенствZZ∂Ψ∗∂ΨΨdq + Ψ∗dq = 0,∂t∂t¶µ¶ZµZii(ĤΨ)∗ Ψdq − Ψ∗(ĤΨ) dq = 0,~~iihĤΨ|Ψi − hΨ|ĤΨi = 0,~~hĤΨ|Ψi = hΨ|ĤΨi.Приходим к выводу, что Ĥ – эрмитовый оператор. Значит Ĥ – оператор некоторой физической величины.Установим вид оператора Ĥ. Для этого рассмотрим волну деБройляpx−Et1Ψp (x, t) = √ei ~ .2π~Подставляя ее в левую часть написанного нами общего уравнения,получае쵶∂Ψp (x, t)iEi~= i~ −Ψp (x, t) = EΨp (x, t).∂t~С другой стороны, волна де Бройля – это собственная функция опеdратора p̂ = −i~ , то естьdxp̂Ψp (x, t) = pΨp (x, t),p̂2 Ψp (x, t) = p2 Ψp (x, t),В нерелятивистском случае E =i~...p2.

Следовательно,2mp̂2∂Ψp (x, t)=Ψp (x, t),∂t2mто есть в данном случае Ĥ =p̂2– оператор кинетической энергии.2m24Если движение происходит в потенциальном поле U (x), то естественно предположить, чтоĤ =p̂2+ U (x̂)2mесть оператор полной энергии. В общем случае в классической теории функция Гамильтона H = H(p, q, t) – это полная энергия, выраженая через координаты и импульсы. ОператорĤ =p̂2+ U (q̂)2mназывается оператором полной энергии или оператором Гамильтона(гамильтонианом).В общем случае динамика квантовой системы полностью определяется уравнением Шредингера с начальным условием:∂Ψ(q, t) i~= ĤΨ(q, t),∂tΨ(q, 0) = Ψ0 (q).Условие на Ψ0 (q)Z|Ψ0 (q)|2 dq = 1задает нормировку Ψ(q, t) для всех t.Замечание.

Уравнение Шредингера можно постулировать (считать пятым постулатом).Стационарные состоянияЕсли Ĥ не зависит явно от t, то можно искать решение в видеΨ(q, t) = ψ(q)A(t).Подстановка в уравнение Шредингера даетi~ ψ(q)dA(t)= A(t)Ĥψ(q).dt25Разделяя переменные, находимi~Ȧ(t)Ĥψ(q)== E,A(t)ψ(q)где E – некоторая константа. Решение для A(t) имеет видA(t) = Ce−iEt~.ЗадачаĤψ(q) = Eψ(q)есть задача на собственные функции оператора Ĥ. Решением являются собственные функции оператора Ĥ. Согласно постулату IIIизмерение энергии в состоянии с волновой функцией ψ(q) с вероятностью 1 дает величину E.Уравнение Шредингера имеет частные решенияΨE (q, t) = ψE (q)e−iEt~,ĤψE (q) = EψE (q).Каждое такое решение ΨE – это волновая функция состояния с определенной энергией E.

УравнениеĤψ(q) = Eψ(q)называется стационарным уравнением Шредингера. В данном случае плотность вероятностиρ(q, t) = |ψ(q, t)|2 = |ψ(q)|2не зависит от t. Поэтому Ψ(q, t) называют волновой функцией стационарного состояния.Общее решение уравнения ШредингераВ общем случае спектр Ĥ имеет дискретную и непрерывную части:Ĥψn = En ψn , ĤψE = EψE .Тогда вид общего решения уравнения Шредингера таковZXEn tEtΨ(q, t) =cn ψn (q)e−i ~ + c(E)ψE (q)e−i ~ dE.n26Докажем это.Пусть мы ищем Ψ(q, t) с начальным условиемΨ(q, 0) = Ψ0 (q).Разложим Ψ0 (q) по полному базису, составленному из собственныхфункций оператора Гамильтона,ZXΨ0 (q) =cn ψn (q) + c(E)ψE (q)dE,ncn = hψn |Ψ0 i,c(E) = hψE |Ψ0 i.Воспользовавшись этими амплитудами, построим решение следующего видаZXEn tEtcn ψn (q)e−i ~ + c(E)ψE (q)e−i ~ dE.Ψ(q, t) =nЭто и есть искомое решение, так какΨ(q, 0) = Ψ0 (q).Замечание. Если оператор Ĥ вырожден, то следует позаботиться о построении полного набора операторов (включающего в себяĤ) данной физической системы.

Собственные функции этого набора операторов формируют полный базис. Общее решение уравненияШредингера, записанное выше, представляет собой разложение поэтому базису. То есть индексы n и E, по которым ведется суммирование и интегрирование, нужно понимать как наборы квантовых чисел (включающих в себя энергию), однозначно определяющих квантовые состояния системы.Пример: одномерное свободное движение. В данном случаеĤ =p̂2,2mp̂ = −i~d.dxУравнение Шредингера с начальным условием:∂Ψ(x, t) i~= ĤΨ(x, t),∂tΨ(x, 0) = Ψ0 (x).27Ищем решения стационарного уравнения ШредингераĤψ(x) = Eψ(x),E=p2.2mТак как Ĥ и p̂ коммутируют ([Ĥ, p̂] = 0), то Ĥ и p̂ имеют общуюсистему собственных функций.

Легко проверить, что собственныефункции оператора p̂ψp (x) = √px1ei ~2π~являются собственными функциями оператора Ĥ. Следовательнофункции ψp (x) являются решениями стационарного уравнения Шредингера. Тогда частные решения уравнения Шредингера – это волновые функции стационарных состоянийΨp (x, t) = ψp (x)e−iEt~=√px−Et1ei ~ .2π~Это и есть волны де Бройля.Общее решение – суперпозиция частных решений:ZΨ(x, t) = C(p)Ψp (x, t)dp.Таким образом, волновая функция свободной частицы есть не чтоиное, как волновой пакет.Зависимость физических величин от времениВ общем случае оператор физической величины может явно за∂ F̂ (t)висеть от времени: F̂ = F̂ (t).

Пусть– производная по явной∂tзависимости оператора от t. Среднее значение физической величиныF в общем случае также зависит от t:hF i = hΨ(t)|F̂ (t)|Ψ(t)i.Найдем производную hF i по t, пользуясь тем, что∂Ψi= − ĤΨ.∂t~28Получаем:dhF i∂Ψ∂ F̂∂Ψ=h|F̂ |Ψi + hΨ||Ψi + hΨ|F̂ |i=dt∂t∂t∂t=i∂ F̂ihĤΨ|F̂ Ψi + hΨ||Ψi − hΨ|F̂ |ĤΨi =~∂t~= hΨ|∂ F̂ii|Ψi + (hΨ|Ĥ F̂ |Ψi − hΨ|F̂ Ĥ|Ψi) =∂t~~= hΨ|∂ F̂idF̂+ [Ĥ, F̂ ]|Ψi ≡ hΨ||Ψi.∂t~dtЗдесь введен оператор изменения физической величины во времени∂ F̂idF̂=+ [Ĥ, F̂ ].dt∂t~dF̂Если= 0, то hF i = const.

В таком случае говорят, что F –dtэто сохраняющаяся величина, интеграл движения.Если∂ F̂= 0,1) F̂ не зависит от t явно, то есть∂t2) [Ĥ, F̂ ] = 0,то F – интеграл движения.Примеры:1. F̂ = Ĥ и Ĥ не зависит от t (гамильтониан замкнутой системы)– полная энергия замкнутой системы сохраняется.p̂2d(свободное движение), то импульс p2. p̂ = −i~ .

Если Ĥ =dx2mсохраняется.dp̂23. p̂ = −i~ , Ĥ =+ U (x). Оператор p̂ не зависит от t. Выdx2mчислим коммутатор[Ĥ, p̂] = [U (x), p̂].29Для этого рассмотрим[U (x), p̂]f (x) = −i~ U (x)f 0 (x) + i~(U 0 (x)f (x) + U (x)f 0 (x)) == i~ U 0 (x)f (x).Следовательно[U (x), p̂] = i~U 0 (x).Мы получаем, чтоdp̂iidUdU= [Ĥ, p̂] = (i~)=−.dt~~dxdx4. Аналогично найдемdx̂. В данном случаеdtii[Ĥ, x] =[p̂2 , x].~2m~Вычислим коммутатор [p̂2 , x] либо непосредственноd2, x]f (x) = −~2 (2f 0 (x) + xf 00 (x) − xf 00 (x)) =dx2¶µd2 0f (x) = −2i~p̂f (x),= −2~ f (x) = −2i~ −i~dx[p̂2 , x]f (x) = −~2 [либо через вспомогательное соотношение[p̂2 , x] = p̂[p̂, x] + [p̂, x]p̂ = −2i~p̂.Тогда для искомой производной получаемdx̂iiip̂= [Ĥ, x] =[p̂2 , x] =(−2i~p̂) = ,dt~2m~2m~mто естьdx̂p̂= .dtm30Лекция №6.

Связь квантовой механики склассической. Линейный осцилляторТеорема Эренфестаdx̂ dp̂иопределяют скорости изменения средних знаdt dtчений координаты hxi и импульса hpi, соответственно. Воспользовавшись соотношениями, полученными на прошлой лекции, получаемОператорыdhxidx̂p̂hpi= hΨ| |Ψi = hΨ| |Ψi =,dtdtmmdp̂dUdhpi= hΨ| |Ψi = −hΨ||Ψi ≡ −dtdtdxZdUdU|Ψ|2 dx = −hi.dxdxСледовательноd2 hxidU= −hi.dt2dxПусть ∆x – размер области локализации частицы (размер области, где плотность вероятности |Ψ|2 существенно отлична от нуля).dUЕслислабо меняется в этой области (т.е.