Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf)

А.Л. БарабановКВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЧасть 1Москва 2005В этой книге представлен конспект лекций по курсу квантовой механики, прочитанных мной в весеннем (часть 1) и осеннем(часть 2) семестрах 2004 года студентам факультета физической иквантовой электроники Московского физико-технического института. По построению и кругу обсуждаемых вопросов этот курс примерно соответствует годовым курсам квантовой механики, читаемых надругих факультетах МФТИ.Идея создания конспекта принадлежит студенту группы 154А.В. Шелаеву. Он же, Артем Шелаев, выполнил основную часть работы по составлению конспекта (включая набор формул и созданиерисунков в пакете LATEX). Со своей стороны я не только внимательно прочел представленные Артемом тексты, но также исправил их,дополнил (стараясь не выходить за рамки заданного жанра – конспект) и отредактировал. Поэтому я несу полную ответственностьза все формулировки в этой книге и, разумеется, за все возможныеоплошности и опечатки.

Буду признателен всем, кто пришлет мнесвои замечания по адресу a_l_barabanov@mail.ru .Я очень благодарен Артему Шелаеву, без инициативы которогоэта книга не появилась бы, а также всем, кто ему помогал. Я такжеочень признателен всем своим коллегам по кафедре теоретическойфизики МФТИ за многочисленные обсуждения проблем квантовоймеханики и вопросов, связанных с ее изложением, в особенности,Б.В. Гешкенбейну, С.А. Гордюнину, Г.С.

Ирошникову, Э.П. Котовой,В.П. Кузнецову, В.И. Манько, Д.Л. Осипову, В.П. Смилге, А.И. Тернову, С.В. Толоконникову, С.В. Фомичеву. Отдельно хотелось бы выразить благодарность С.П. Аллилуеву и Ю.М. Белоусову – не толькоза поддержку и вдохновляющие дискуссии, но и за последовательное утверждение на кафедре творческой и доброжелательной атмосферы. Особая признательность – Н.Н. Пастушковой – за неоценимый вклад в образ и стиль жизни кафедры теоретической физикиМФТИ.А.Л.

Барабановc А.Л. Барабанов, 2005°Лекция №1. Квантовое описание свободногодвиженияВолна де БройляПопытки применить классическую механику к описанию движения микрочастиц, как правило, не приводят к успеху. Опыты по дифракции электронов указывают на необходимость отказа от траекторий. Следовательно мы не можем в любой момент t приписатьчастице определенное положение r. Вместо этого мы вводим волновую функцию Ψ(r, t).

По определению |Ψ(r, t)|2 d3 r – это вероятностьтого, что в момент t частица находится в объеме d3 r вблизи r.Функция |Ψ|2 тогда – плотность вероятности. Функция Ψ – амплитуда плотности вероятности или, просто, амплитуда вероятности.Условие нормировки волновой функции имеет видZ|Ψ(r, t)|2 d3 r = 1.R3Гипотеза де Бройля состоит в том, что свободной частице соответствует волновая функция вида (волна де Бройля)Ψ(r, t) = Ψ0 eipr−Et~.Но при таком описании свободной частицы возникают две трудности.1) ИнтегралZZ|Ψ(r, t)|2 d3 r = |Ψ0 |2R3d3 rR3не сходится.2) Пусть v – классическая скорость частицы.

Тогда фазовая скорость волны де Бройля (а никакой другой скорости у волны де Бройля нет)ωEvф = =kpне совпадает с v. Действительно, в нерелятивистском случаеE=p22m⇒vф =3pv= ,2m2тогда как в релятивистском случаеE=pp2 c2 + m2 c4sEvф ==p⇒c2 +m2 c4> c.p2Поэтому, не отказываясь от волны де Бройля, наметим иной (болееглубокий) подход к описанию свободной частицы.Суперпозиция волн де БройляПусть частица летит вдоль оси Ox, т.е.

p||Ox. Тогда одномернаяволна де Бройля имеет видΨ(x, t) = Ψ0 eipx−Et~,где p – импульс, E – энергия. Предположим, что уравнение дляволновой функции является линейным. Тогда суперпозиция волн деБройля также является волновой функцией. Складывая (интегрируя) волны де Бройля с весами C(p), получаем волновую функциювида:+∞Zpx−EtΨ(x, t) =C(p)Ψ0 ei ~ dp.−∞Такую волновую функцию называют волновым пакетом.Исследуем интеграл от квадрата модуля волнового пакета: +∞+∞+∞ZZZ00p x−E t|Ψ(x, t)|2 dx =C ∗ (p0 )Ψ∗0 e−i ~ dp0  ×−∞−∞−∞ +∞Zpx−Et×C(p)Ψ0 ei ~ dp dx =−∞+∞Z= |Ψ0 |2+∞Zdp−∞0∗0dp C (p )C(p)ei(E 0 −E)t~+∞Zei−∞−∞¯¯+∞¯¯Z¯¯(p−p0 )x= ¯¯т.

к.ei ~ dx = 2π~ δ(p − p0 )¯¯ =¯¯−∞4(p−p0 )x~dx =+∞Z= 2π~ |Ψ0 |2+∞Zdp0−∞dp C ∗ (p0 )C(p)ei(E 0 −E)t~δ(p − p0 ) =−∞+∞Z= 2π~ |Ψ0 |2|C(p)|2 dp.−∞Пусть Ψ0 = √1, тогда условие нормировки приобретает вид2π~+∞Z+∞Z2|C(p)|2 dp = 1.|Ψ(x, t)| dx =−∞−∞Итак, пусть волна де Бройля – этоΨp (x, t) = √px−Et1ei ~ .2π~Тогда волновой пакет имеет вид+∞ZΨ(x, t) =C(p)Ψp (x, t)dp.−∞Мы доказали, что при любой весовой функции C(p) такой, что+∞R|C(p)|2 dp = 1, волновой пакет нормирован на единицу. Естествен−∞но предположить, что C(p) – это амплитуда вероятности того, чточастица, волновая функция которой задана волновым пакетом, обладает импульсом p.

Тогда |C(p)|2 dp – это вероятность того, что приизмерении импульса частицы будет получено значение от p до p+dp.Модельный волновой пакетИсследуем теперь скорость движения волнового пакета. Для этого воспользуемся следующей моделью. Пусть функция C(p) такова,чтоp ∈ (p0 − ∆p; p0 + ∆p), C0 ,C(p) =T0,p ∈ (−∞; p0 − ∆p) (p0 + ∆p; +∞).5И пусть ∆p ¿ p0 (неопределенность импульса мала). Тогда в окрестности p0 справедлив¯dE ¯¯E(p) ≈ E0 + (p − p0 ).dp ¯0Запишем Ψ-функцию, отвечающую такой C(p):p0 +∆pZ√Ψ(x, t) = C0p0 −∆pC0=√2π~p0 +∆pZeipx−Et1ei ~ dp =2π~px−E0 t−(p−p0 )~t( dEdp )0dp =p0 −∆pC0 i p0 x−E0 t~=√e2π~¯p − p0¯¯ ξ==¯~¯ dp = ~ dξp0 +∆pZeit( ( dEdp )0 )(p−p0 ) x−~dp =p0 −∆p∆p¯Z~¯dEC0 ~ i p0 x−E0 t¯~√eiξ(x−( dp )0 t) dξ =e¯=¯2π~− ∆p~C0 ~ i p0 x−E0 t~ef (x −=√2π~µdEdp¶t),0где∆p~Zeiξx̃ dξ =f (x̃) =− ∆p~¯ ∆p2 sin ∆px̃1 iξx̃ ¯¯ ~~=e ¯.∆pix̃x̃−~График функции f (x̃) представлен на рисунке.

Найдем отношение высот двух первых максимумов |f (x̃)|:¡ ¢ ¯¯ µ¶¯ ¯¯µ ¶¯¯ ¯ 2 sin 23 π ¯¯ 4∆p2∆p 2f (0)3π~¯f¯=¯=≈.¯=¯2∆p ¯ ¯ (3π~)/(2∆p) ¯3π~~3π56f (x̃)6 2∆p~- 3π~∆p- 2π~∆pπ~- ∆p0π~∆p2π~∆p3π~∆px̃Лекция №2. Операторы физических величинГрупповая скоростьКак было показано на прошлой лекции, модельный волновой пакет может быть записан в следующей форм嵶C0 ~ i p0 x−E0 tdE~Ψ(x, t) = √ef (x −t).dp 02π~6Re (Ψ(x, 0))- ∆x2∆x2x¾λ-7График функции Re (Ψ(x, 0)) представлен на рисунке. Для длины волны имеем:λ=2π~2π~¿,p0∆pт.к.

p0 À ∆p.∆x; x0 +Частица локализована преимущественно в области [x0 −2µ¶∆xdE2π~+] шириной ∆x, где x0 =. То есть спраt и ∆x =2dp 0∆pведливо∆x∆p ' 2π~.Групповая скорость волны (скорость движения области локализации частицы) естьµ¶dEvгр =.dp 0Как в нерелятивистском случаеE=p22m⇒vгр =p= vчаст ,mтак и в релятивистском случаеE=pp2 c2 + m2 c4⇒c2 pvгр = pp2 c2 + m2 c4=c2 p= vчаст ,Eгрупповая скорость совпадает со скоростью частицы.Замечание. В области локализации частицы волновая функцияхорошо апроксимируется волной де-Бройля.Свойства волн де БройляВ процессе вычисления интеграла от квадрата модуля |Ψ(x, t)|2волнового пакета мы получили+∞ZΨ∗p0 (x,−∞1 i (E0 −E)t~t)Ψp (x, t)dx =e2π~8+∞Zei−∞(p−p0 )x~dx =¯¯+∞¯¯µ¶Z0¯¯(p−p0 )xp−pi0¯= ¯т. к.e ~ dx = 2πδ= 2π~ δ(p − p )¯¯ =~¯¯−∞= ei(E 0 −E)t~δ(p − p0 ) = δ(p − p0 ).Этот результат называется условием нормировки волн де Бройля наδ-функцию+∞ZΨ∗p0 (x, t)Ψp (x, t)dx = δ(p − p0 ).−∞Замечание. Если p = p0 , то правая часть обращается в бесконечность.

В этом смысле, как уже ранее было указано, интеграл отквадрата модуля волны де Бройля не сходится.Замечание. Волна де Бройля Ψp – это волновая функция состояния, которое не может быть осуществлено (состояние свободногодвижения частицы со строго определенным импульсом p). Поэтомунет причин беспокоиться по поводу того, что волна де Бройля неможет быть нормирована на единицу.Аналогично, в силу того, что p и x входят в волну де Бройлясимметрично, справедливо+∞ZΨ∗p (x0 , t)Ψp (x, t)dp = δ(x − x0 ).−∞Это условие называется "условие полноты". Смысл названия будетясен из дальнейшего.Амплитуда C(p)По известной C(p) можно построить волновую функцию Ψ(x, t)+∞ZΨ(x, t) =C(p)Ψp (x, t)dp.−∞9Легко понять, что, зная Ψ(x, t), можно найти соответствующую ейC(p), так как C(p) – это, по существу, фурье-образ волновой функцииΨ(x, t).

Действительно, +∞+∞+∞ZZZΨ∗p0 (x, t)Ψ(x, t)dx =C(p) Ψ∗p0 (x, t)Ψp (x, t)dp = C(p0 ).−∞−∞Таким образом−∞+∞ZΨ∗p (x, t)Ψ(x, t)dx.C(p) =−∞Вычисление средних значенийПо определению волновой функции, |Ψ(x, t)|2 dx – это вероятность найти частицу в интервале от x до x + dx. Тогда среднее значение координаты есть+∞Zx|Ψ(x, t)|2 dx.hxi =−∞Аналогично+∞Zp|C(p)|2 dp.hpi =−∞Преобразуем это выражение:+∞Z+∞Z2hpi =−∞+∞Z=−∞p C ∗ (p)C(p)dp =p |C(p)| dp =−∞ +∞Zp C ∗ (p) Ψ∗p (x, t)Ψ(x, t)dx dp =−∞10¯¯¯¯d= ¯¯т. к.

p Ψ∗p (x, t) = i~ Ψ∗p (x, t)¯¯ =dx+∞Z+∞ZC ∗ (p) i~=−∞−∞dΨ∗p (x, t)Ψ(x, t)dx dp.dxПроинтегрируем выражение в скобках по частям:+∞Zi~−∞¯+∞¯dΨ∗p (x, t)∗Ψ(x, t)dx = i~ Ψp (x, t)Ψ(x, t)¯¯−dx−∞+∞ZΨ∗p (x, t)−i~−∞dΨ(x, t)dx,dxи учтем, что Ψ(−∞, t) = Ψ(+∞, t) = 0 в силу того, что инте+∞Rграл|Ψ(x, t)|dx конечен. Продолжаем преобразовывать выраже−∞ние для hpi:+∞Z+∞ZC ∗ (p) i~hpi =−∞−∞+∞Z+∞ZC ∗ (p) −i~=−∞−∞dΨ∗p (x, t)Ψ(x, t)dx dp =dxdΨ(x,t)Ψ∗p (x, t)dx dp =dx +∞+∞ZZdΨ(x, t)=(−i~) dx =C ∗ (p)Ψ∗p (x, t)dpdx−∞−∞+∞ZdΨ(x, t)dx =Ψ (x, t)dx+∞Z= −i~−∞µ¶dΨ (x, t) −i~Ψ(x, t)dx.dx∗∗−∞11Таким образом мы получили формулу для определения hpi, в которую входит непосредственно волновая функция Ψ(x, t).Выпишем полученные соотношения:+∞Zhxi =Ψ∗ (x, t)(x̂ Ψ(x, t))dx,x̂ = x,Ψ∗ (x, t)(p̂ Ψ(x, t))dx,p̂ = −i~−∞+∞Zhpi =−∞d.dxТаким образом мы получили вид оператора координаты x̂ и оператора импульса p̂.Замечание.

При переходе от классической к квантовой механикемы теряем однозначность определения x, p, . . ., но приобретаем взаимосвязи между этими физическими величинами. В классическойфизике траектория и импульс точно определены и не связаны другс другом. В квантовой механике как траектория, так и импульс точно не определены, но их распределения (амплитуды вероятностей –Ψ(x, t) и C(p)) связаны друг с другом.Постановка задачи на собственные функции и собственные значения операторовДля волны де Бройля справедливоp̂Ψp (x, t) = pΨp (x, t).Задача о поиске функций Ψf (q), удовлетворяющих уравнению общего видаF̂ Ψf (q) = f Ψf (q),называется задачей о нахождении собственных функций Ψf (q) и отвечающих им собственных значений f оператора F̂ .