Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 6

С этим предположениемсвязан особый формализм, который называется формализмом Дирака.Постулаты квантовой механики в формализме ДиракаI постулат. Квантовое состояние системы полностью определяется вектором состояния |ψi. Векторы |ψi и c|ψi (c 6= 0) определяютодно и то же состояние.Каждому вектору состояния |ψi можно сопоставить сопряженный вектор состояния hψ|.

Любой паре векторов |ψi и hϕ| можнопоставить в соответствие комплексное число, проекцию |ψi на hϕ|:hϕ|ψi. Проекции hϕ|ψi и hψ|ϕi связаны соотношением:hϕ|ψi ≡ hψ|ϕi∗ .Проекция вектора на собственный сопряженный вектор есть величина неотрицательная: hψ|ψi > 0.Замечание. Следуя Дираку, векторы hψ| иногда называют braвекторами, а сопряженные векторы |ψi – ket-векторами. Эти наименования Дирак построил из английского слова "bracket"("скобка")для hϕ|ψi.52II постулат. Пространство состояний линейно.Пусть |ψ1 i и |ψ2 i принадлежат пространству состояний, тогдавектор|ψi = c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i∀c1 , c2 ∈ Cтакже принадлежит пространству состояний.III постулат.

Любой физической величине F соответствует линейный эрмитовый оператор F̂ , действующий в пространстве состояний. Собственные векторы |f i и соответствующие им собственныезначения f определяются уравнениемF̂ |f i = f |f i.Измерение физической величины F приводит к одному из собственных значений f . Если |ψi = |f i, то измерение F в состоянии |ψiобязательно дает f .Собственные векторы могут быть выбраны так, что условия нормировки имеют вид:а) в случае дискретного спектра:hf |f 0 i = δf f 0 ,б) в случае непрерывного спектра:hf |f 0 i = δ(f − f 0 ).Если f относится к дискретному спектру, а f 0 – к непрерывному, то|f i и |f 0 i ортогональны.Совокупность всех собственных векторов |f i образует полный базис.

Разложение произвольного вектора |ψi по этому базису имеетвидZX|ψi =cn |fn i + c(f )|f idf,nгдеcn = hfn |ψi ≡ hn|ψi,c(f ) = hf |ψi.Выведем условие полноты базиса. Для этого подставим cn == hn|ψi и c(f ) = hf |ψi в разложение |ψi:ZX|ψi =|nihn|ψi + |f ihf |ψidf =nÃ=X!Z|nihn| + |f ihf |dfn53|ψi ≡ |ψi.Таким образом условие полноты базиса выглядит следующим образом:ZX|nihn| + |f ihf |df = 1.nДомножая слева на hψ| и справа на |ψi, получаемZXhψ|nihn|ψi + hψ|f ihf |ψidf = hψ|ψi,nилиXZ|cn |2 + |c(f )|2 df = hψ|ψi.nIV постулат.

Если состояние системы описывается вектором ψ,нормированным на единицу,hψ|ψi = 1,то cn и c(f ) – это амплитуды вероятности получить fn и f , соответственно, при измерении F в состоянии |ψi.Набор амплитуд hn|ψi ≡ hfn |ψi = ψ(n) и hf |ψi = ψ(f ) называетсяволновой функцией в f -представлении.Теорема. Пусть физической величине F соответствует операторF̂ (F̂ + = F̂ ) и пустьZX|ψi =cn |ni + c(f )|f idf,nгде амплитудыcn = hn|ψi,c(f ) = hf |ψiпредставляют собой волновую функцию в f -представлении. Тогдаhf |F̂ ψi = f hf |ψi,т.е.

в f -представлении результат действия оператора F̂ на произвольный вектор |ψi сводится к умножению вектора |ψi в f -представлениина f .Доказательство:hf |F̂ ψi = hψ|F̂ + f i∗ = hψ|F̂ f i∗ = f hψ|f i∗ = f hf |ψi.54Собственные векторы и собственные значения операторакоординатыРассмотрим задачу о собственных векторах и собственных значениях оператора координаты r̂:r̂|r0 i = r0 |r0 i,где r0 – действительный радиус-вектор, а |r0 i – собственный вектор, отвечающий собственному значению r0 . Домножая справа наhr|, получаемhr|r̂|r0 i = r0 hr|r0 i.В силу только что доказанной теоремыrhr|r0 i = r0 hr|r0 i,или, иначе,rψr0 (r) = r0 ψr0 (r).Здесь r – произвольный радиус-вектор, а r0 – фиксированныйрадиус-вектор (собственное значение).

Легко видеть, что функцияψr0 (r) = δ(r − r0 )является искомой собственной функцией оператора координаты r̂ вкоординатном представлении. Эта функция не может быть нормирована на единицу, поэтому состояние, описывающееся такой волновойфункцией, не может быть осуществлено.Условие полноты собственных векторов оператора координатыимеет вид:Z|rihr| d3 r = 1.Домножая слева на hϕ|, а справа – на |ψi, получаемZhϕ|rihr|ψi d3 r = hϕ|ψi,то естьZϕ∗ (r)ψ(r)d3 r = hϕ|ψi.55Лекция №10. Матричные представления. Еще разо линейном осциллятореОператоры-матрицы и векторы-столбцыВ случае, когда спектр оператора является дискретным, возникают матричные представления. ПустьĤ|ni = En |ni,|ni ≡ |ψn i,где n = 0, 1, 2 .

. . – индекс состояний дискретного спектра. Из условияполнотыX|nihn| = 1nследует, что произвольный вектор состояния |ψi может быть разложен по собственым векторам |ni следующим образомX|ψi =|nihn|ψi.nВолновая функция hn|ψi в данном n-представлении является столбцом°°° h1|ψi °°°°hn|ψi = °° h2|ψi °° ... °Операторы в n-представлении являются матрицамиXhn|Â|ψi =hn|Â|n0 ihn0 |ψi =n0=Xn0°° A11°Ann0 hn0 |ψi = °° A21° ...A12A22............°°°° ° h1|ψi °°°°° ° h2|ψi ° .°°°°° ...°Рассмотрим условие эрмитовости оператора F̂ .

По определению,hn|F̂ |n0 i = hF̂ + n|n0 i = hn0 |F̂ + |ni∗ .В матричных обозначениях это переписывается так:¡ ¢∗Fnn0 = F + n0 n ,56или¡F+¢nn0= (F ∗ )n0 n =³¡FT¢∗ ´nn0.Таким образом, если оператор эрмитов, то есть если F̂ = F̂ + , то¡ ¢∗F = F T ≡ F +.Следовательно эрмитовому оператору соответствует эрмитовая матрица.Найдем результат последовательного действия операторов  и B̂:XXhn|ÂB̂|n0 i =hn|Â|n00 ihn00 |B̂|n0 i =Ann00 Bn00 n0 .n00n00Таким образом матрица оператора, равного произведению операторов  и B̂, равна произведению матриц, соответствующих этим операторам.Унитарные преобразованияПосмотрим теперь, как изменяются матричные представленияпри переходе от одного дискретного базиса к другому.Пусть спектры операторов L̂ и M̂ дискретны:L̂|λi = λ|λi,M̂ |µi = µ|µi.Вектор состояния |ψi может быть разложен как по базисным векторам |λi, так и по базисным векторам |µi, то естьXX|ψi =|λihλ|ψi =|µihµ|ψi.µλОбозначимhµ|ψi = ψµ0 .hλ|ψi = ψλ ,Тогдаψµ0 = hµ|ψi =XXhµ|λihλ|ψi =Uµλ ψλ ,λλ57где Uµλ ≡ hµ|λi есть матрица перехода от волновой функции ψλ вλ-представлении к волновой функции ψµ0 в µ-представлении.

Эта жематрица связывает друг с другом базисные векторы:XXhµ| =hµ|λihλ| ≡Uµλ hλ|,λ|µi =λX|λihλ|µi ≡λX∗|λiUµλ.λИз условий нормировки имеем:hµ|µ0 i = δµµ0 ,hλ|λ0 i = δλλ0 .ПоэтомуÃδµµ0 = hµ|µ0 i =X!ÃUµλ hλ|XXλ!Uµ∗0 λ0 |λ0 i=λ0λ=XUµλ Uµ∗0 λ0 hλ|λ0 i =λ0XUµλ (U ∗ )µ0 λ =λXUµλ (U + )λµ0 .λОпределение: Оператор Û называется унитарным, если Û + == Û −1 , т.е. если Û Û + = Û + Û = 1.Почти очевидно, что унитарному оператору соответствует унитарная матрица. Действительно, если Û Û + = 1, тоX¡ ¢Unn0 U + n0 n00 = δnn00 ,n0таким образом U + = U −1 .Итак, мы доказали, что матрица (оператор) преобразования волновой функции из одного представления в другое представление является унитарной. Подчеркнем, что унитарность есть следствие сохранения нормы.

В самом деле, пусть hψ|ψi = 1, тогдаXhψ|λihλ|ψi = 1,λ58так чтоXhλ|ψi∗ hλ|ψi =Xλψλ∗ ψλ = 1,λесть условие нормировки волновой функции в λ-представлении.Опуская индексы, мы можем записать это так:ψ + ψ = 1.Аналогичноψ 0+ ψ 0 = 1есть условие нормировки волновой функции в µ-представлении.

Подставляя в это равенство разложенияψ 0 = U ψ,ψ 0+ = ψ + U + ,получаем(ψ + U + )(U ψ) = 1.Это и означает, что U + U = 1, то есть что матрица U – унитарная.Среднее значение hAi, получаемое при измерении физической величины A, определяется матричным элементом:XXhψ|λihλ|Â|λ0 ihλ0 |ψi =ψλ∗ Aλλ0 ψλ0 = ψ + Aψ,hAi = hψ|Â|ψi =λ,λ0λ,λ0где Aλλ0 (A) – матрица оператора Â в λ-представлении. АналогичноXhAi =ψµ0∗ Aµµ0 ψµ0 0 = ψ 0+ A0 ψ 0 ,µ,µ0где Aµµ0 (A0 ) – матрица оператора Â в µ-представлении. Но так каксреднее значение физической величины не зависит от выбора базисных векторов, тоhAi = ψ + Aψ = ψ 0+ A0 ψ 0 .Посколькутоψ 0+ = ψ + U + ,ψ 0 = U ψ,hAi = ψ + Aψ = ψ + U + A0 U ψ.59Следовательно матрицы A и A0 одного и того же оператора Â в λ- иµ-представлениях связаны друг с другом следующим образом:A = U + A0 U,A0 = U AU + .Исследуем свойства коммутатора при унитарном преобразованиивсех входящих в него операторов.

Пусть [Â, B̂] = Ĉ, или в некоторомматричном представлении:[A, B] = C⇒AB − BA = C.Тогда, домножая слева на U и справа на U + , а также используяU + U = 1, получаем:(U AU + )(U BU + ) − (U BU + )(U AU + ) = U CU + .Но это есть не что иное, как запись коммутатора для операторов вновом базисе:A0 B 0 − B 0 A0 = C 0⇒[A0 , B 0 ] = C 0 .Таким образом, унитарные преобразования сохраняют коммутаторынеизменными.Возьмем теперь задачу на собственные векторы и собственныезначения некоторого оператора F̂ :F̂ |f i = f |f i.В некотором матричном n-представлении эта задача приобретаетследующий вид:XFnn0 hn0 |f i = f hn|f i.n0Условие разрешимости этой системы линейных алгебраических уравнений выглядит так:det kFnn0 − δnn0 f k = 0.Это есть не что иное, как алгебраическое уравнение на собственныезначения f .60Одновременная измеримость величинВернемся к теореме об одновременной измеримости величин (лекция 4).Теорема. Если [F̂ , Ĝ] = 0, то F и G одновременно измеримы.

Тоесть существует общая система собственных векторов операторов F̂и Ĝ:F̂ |ni = Fn |ni,Ĝ|ni = Gn |ni.Доказательство. Пусть |ni – собственные векторы оператора F̂ ,отвечающие собственным значениям fn , то естьF̂ |ni = fn |ni.Условие коммутативности операторов F̂ и ĜF̂ Ĝ = ĜF̂в n-представлении принимает вид:fn Gnn0 = Gnn0 fn0⇔(fn − fn0 )Gnn0 = 0.Если спектр оператора F̂ невырожден, то fn 6= fn0 при n 6= n0 ,т.е. Gnn0 = 0 при n 6= n0 и, следовательно,Gnn0 = gn δnn0⇔Ĝ|ni = gn |niв соответствии с утверждением теоремы. Именно этот случай невырожденности спектра оператора F̂ и был рассмотрен ранее.Пусть спектр оператора F̂ вырожден, т.е. среди собственных значений имеются k совпадающих:fn1 = fn2 = . .