Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 10

Поэтому ψ2 (x) может быть записана и втакой форме:xZ0Cp(x)ψ2 (x) = psin dx0 + γ ~p(x)x1илиxZ200Cp(x ) 0ψ2 (x) = psin dx + γ 0  .~p(x)xТочки поворотаДалее неизбежно возникает проблема: в окрестностях точек поворота x1 и x2~p(x) → 0 ⇒ λ = → ∞,pλто есть условие ¿ 1 нарушается. Таким образом в окрестности тоaчек поворота квазиклассическое приближение заведомо не применимо. Следовательно невозможно непосредственным образом связатьдруг с другом функции ψ1 и ψ2 в окрестности x1 , так же как ψ2 иψ3 в окрестности x2 .Для решения этой проблемы воспользуемся линейной апроксимацией U (x) в окрестностях точек x1 и x2 .

Например, в окрестности x2имеем:U (x) ' U (x2 ) + (x − x2 )U 0 (x2 ) = E + (x − x2 )F,92где F = U 0 (x2 ) > 0. Тогдаpppp = 2m(E − U ) = −2mF (x − x2 ) = −2mF y,где y = x − x2 . Уравнение Шредингера принимает вид:ψ 00 +p2ψ = 0,~d2 ψ 2mF− 2 yψ(y) = 0,dy 2~ψ 00 (ξ) − ξψ(ξ) = 0,µ¶12mF 3где ξ =y – безразмерная координата. Решением данного~2уравнения, затухающим при ξ → ∞, является функция Эйри.~p¿ a и оценки p0 ∼получаем формальноеИз условия λ =paопределение квазиклассического предела:¯ 0¯¯ ~p ¯¯¯¯ p2 ¯ ¿ 1.√Подставляя p(y) = −2mF y в это определение, находим:¯¯√¯~1 ¯¯¯¯ −2mF y −2mF 2√y ¯ ¿ 1,¯¯¯1 ¯¯¯ √~¯ 2 2mF y 3/2 ¯ ¿ 1,¯¯¯ 1 ¯¯¯¯ 2ξ 3/2 ¯ ¿ 1,или|ξ| À 1.Таким образом в области, где становится справедливым квазиклассическое приближение, можно воспользоваться асимптотикой функции Эйри.93Методом перевала (стационарной фазы) получаются следующиерезультаты для асимптотик функции Эйри: 12 3/2ξ → +∞,e− 3 ξ ,1/4 2ξψ(ξ) →¶µ12 3/2 πsin|ξ|+, ξ → −∞.34|ξ|1/4Исследуем поведение ψ2 (x) при x ∼ x2 (но x < x2 ):xZ2xp(x0 ) 0dx '~xZ2xp2mF (x2 − x0 ) 0dx =~r2mF~2xZ2px2 − x0 dx0 =x¯x 2rr¯2 2mF2mF 220 3/2 ¯=−(x2 − x ) ¯ =(x2 − x)3/2 ≡ |ξ|3/2 .¯~2 33~23xТаким образом, сравниваяxZ20C0p(x)dx0 + γ 0 ψ2 (x) = psin ~p(x)xв области, где x приближается к x2 (но x < x2 ), с асимптотикойфункции Эйри (ξ → −∞), получаемγ0 =т.е.π,4xZ20Cp(x ) 0 π sin .ψ2 (x) = pdx +~4p(x)0xВыполняя точно такой же анализ для области x ∼ x1 (но x > x1 ),находим:xZ0Cp(x ) 0 π .ψ2 (x) = pdx +sin ~4p(x)x194Энергии дискретных уровнейПонятно, что заданной энергии E должна соответствовать единственная функция ψ(x), т.е.

обе построенные нами функции ψ2 (x)должны тождественно совпадать на интервале от x1 до x2 . Запишемцепочку равенств:xZ20πp(x)dx0 +  ≡ψ2 ∼ sin ~4xxZ2Zx00p(x)p(x)π≡ sin dx0 −dx0 +  =~~4x1x1xxZZ200πp(x)p(x)dx0 −dx0 −  == − sin ~~4x1x1xxZZ20ππp(x)p(x)= − sin dx0 + − dx +  .~4~2x1x1Отсюда видно, что обе построенные нами функции ψ2 (x) совпадают,еслиxZ2πp(x)dx + = π(n + 1), n = 0, 1, .

. .~2x1илиxZ2x1¶µ1,p(x)dx = π~ n +2n = 0, 1, . . .Этот результат обычно называют условием Бора-Зоммерфельда; еготакже принято записывать в форме:¶µI x21.p(x)dx = 2π~ n +2x1Условие Бора-Зоммерфельда определяет уровни энергии E в потенциальной яме U (x). Подчеркнем, что оно получено в квазиклассическом приближении (т.е. при условии λ ¿ a).

Таким образом, строго95говоря, условие Бора-Зоммерфельда определяет энергии состояний,отвечающих n À 1.Проницаемость барьераИспользуя квазиклассическое приближение, можно также получить формулу для вероятности прохождения сквозь потенциальныйбарьер произвольной формы U (x) частицы с энергией E (E 6 U (x)при a 6 x 6 b):!T 'eгде|p(x)| =2−~Rbap|p(x)|dx,2m(U (x) − E).96ОГЛАВЛЕНИЕЛекция №1. Квантовое описание свободного движения .

. . . . . . . . . . . . . 3Лекция №2. Операторы физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Лекция №3. Постулаты квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Лекция №4. Одновременная измеримость физических величин . .

. . . 19Лекция №5. Квантовая динамика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23Лекция №6. Связь квантовой механики с классической. Линейный осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Лекция №7. Частица в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Лекция №8. Водородоподобный атом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Лекция №9. Теория представлений. Формализм Дирака .

. . . . . . . . . . . 51Лекция №10. Матричные представления. Еще раз о линейном осцилляторе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Лекция №11. Квантование свободного электромагнитного поля . . .

. 66Лекция №12. Симметрии и законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Лекция №13. Угловой момент. Спин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Лекция №14. Квазиклассическое приближение . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 8797.