Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 5

Поскольку волновая функция должна быть однозначной,тоB(ϕ + 2π) = B(ϕ),41то естьei2πm = 1.Следовательно m ∈ Z.ПодставляяYlm (θ, ϕ) = A(θ)eimϕв первое уравнение системы и сокращая eimϕ , получаем уравнениена A(θ):µµ¶¶1 ddm2−sin θ+A(θ) = λ(l)A(θ).sin θ dθdθsin2 θВыполним замену переменной:ξ = cos θ,−1 6 ξ 6 1,dd cos θ dd== − sin θ .dθdθ dξdξТогда1 d−sin θ d赶µ¶dddd2d2sin θ=(ξ − 1)= (ξ 2 − 1) 2 + 2ξ ,dθdξdξdξdξи уравнение для A(ξ) принимает вид:µ¶d2dm22(ξ − 1) 2 + 2ξ+A(ξ) = λ(l)A(ξ).dξdξ1 − ξ2Замечание. В общем случае решение A(ξ) расходится в точкахξ = ±1, то есть при θ = ±π или на оси Oz в декартовых координатах.С физической точки зрения расходимостей быть не должно.

Крометого, выбор оси (в нашем случае – оси Oz) не должен отражаться нарешении уравнения Шредингера.Из теории уравнений математической физики следует, что расходимостей (особенностей) при ξ = ±1 нет, только еслиλ(l) = l(l + 1),42где l = |m|, |m| + 1, . . . (l > |m|). То есть при любом l = 0, 1, 2 .

. .получаем уравнени嵶d2dm2(ξ 2 − 1) 2 + 2ξ+−l(l+1)A(ξ) = 0,dξdξ1 − ξ2где m = 0, ±1, ±2 . . . ± l. В таком случае Alm (ξ) – это функциябез особенностей при −1 6 ξ 6 1. Поскольку уравнение содержитm2 , то функции Alm (ξ) и Al −m (ξ) отличаются только постоянныммножителем.Рассмотрим два случаяа) m = 0,µ¶d2d2(ξ − 1) 2 + 2ξ− l(l + 1) A(ξ) = 0.dξdξТогда решением является A(ξ) = Pl (ξ) – полином Лежандра степениl. Его явный вид задается формулой Родрига:Pl (ξ) =1 dl 2(ξ − 1)l .2l l! dξ lб) m > 0. Тогда A(ξ) = Plm (ξ) – присоединенный полином Лежандра. Для него имеем:Plm (ξ) = (1 − ξ 2 )m/2dmPl (ξ).dξ mПолиномы Лежандра обладают свойством ортогональности:Z1Plm (ξ)Plm0 (ξ)dξ ∼ δll0 .−1Итак, сферические гармоники имеют вид (для неотрицательныхm):Ylm (θ, ϕ) = Clm Plm (θ)eimϕ ,l = 0, 1, 2 .

. . ,m = 0, 1, 2 . . . l.Константы Clm находятся из условия нормировкиZZ2|Ylm (θ, ϕ)| dΩ = 1.43Можно показать, чтоµClm =2l + 1 (l − m)!4π (l + m)!¶1/2.Сферические гармоники с отрицательными m = −1, −2 . . . − l поопределению принимают равнымиYlm (θ, ϕ) = (−1)m Yl∗−m (θ, ϕ).Сферические гармоники образуют полный ортонормированный базис на сфере (0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π):ZZ∗Ylm(θ, ϕ)Yl0 m0 (θ, ϕ)dΩ = δll0 δmm0 .Радиальное уравнение ШредингераВернемся теперь к задаче о нахождении ψ-функции частицы вцентральном поле. Ищем решение стационарного уравнения Шредингера в видеψ(r) = R(r)Ylm (θ, ϕ).Подставляя его в уравнение, получаемÃ!µ¶~21 ∂l̂22 ∂−r− 2 R(r)Ylm (θ, ϕ) +2m r2 ∂r∂rr+ U (r)R(r)Ylm (θ, ϕ) = ER(r)Ylm (θ, ϕ).Посколькуlˆ2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (θ, ϕ),то, сокращая Ylm (θ, ϕ), находим уравнение для радиальной функции:µµ¶¶~21 dl(l + 1)2 d−r−R(r) + U (r)R(r) = ER(r).2m r2 drdrr2Небольшая перегруппировка дает:µ¶~2 1 d2 d−rR(r) + Uэфф (r)R(r) = ER(r),2m r2 drdr44где введено:Uэфф (r) = U (r) +h2 l(l + 1).2mr2u(r), и, пользуясь тем, чтоrµ¶µ¶1 du(r)1 d 2 u0 (r) u(r)2 dr=r−=r2 drdrrr2 drrr2Далее примем R(r) ==1 du00(ru0 (r) − u(r)) =,2r drrполучимu(r)u(r)~2 u00 (r)+ Uэфф (r)=E.2m rrrДомножая на r, приходим к окончательному виду уравнения на радиальную функцию u(r):−−~2 d2 u(r)+ Uэфф (r)u(r) = Eu(r).2m dr2Этот результат называют радиальным уравнением Шредингера.Условие нормировкиZ|ψ(r)|2 d3 r = 1,d3 r = r2 drdΩс учетом подстановкиψ(r, θ, ϕ) =u(r)Ylm (θ, ϕ)rи нормировки функций Ylm (θ, ϕ), переходит в условие нормировкифункций u(r):∞µZ Z¶ ∞ZZ2|u(r)|2 2r dr|Ylm (θ, ϕ)| dΩ = |u(r)|2 dr = 1.r20045Лекция №8.

Водородоподобный атомУравнение для радиальных функцийРассмотрим подробнее одну из важнейших задач, связанных сцентральным полем, а именно – кулоновское поле водородоподобногоатома. Потенциальная энергия электрона в этом поле имеет вид:U (r) = −Ze2.rНа прошлой лекции было показано, что волновая функция частицыв таком поле представима в видеψ(r) =u(r)Ylm (θ, ϕ).rПри этом u(r) – это решение радиального уравнения Шредингера,µ¶~2 00Ze2~2 l(l + 1)u (r) + −+u(r) = Eu(r),−2mer2me r2нормированное условием∞Z|u(r)|2 dr = 1.02~2me e4µ¶~4 002Z~2~4 l(l + 1)2E~2− 2 4 u (r) + −+u(r)=u(r),me em e e2 rm2e e4 r2m e e4Домножая обе части уравнения наи вводя следующие величиныa0 =~2' 0, 5 · 10−8 см,me e2Ea =e2me e4=' 27 эВ,a0~246находим−a20 u00 (r)µ¶2Za0a20 l(l + 1)2E+ −+u(r) =u(r).rr2EaВ новых безразмерных переменныхρ=rE, ε=,a0Eaполучаем уравнение−u00 (ρ) −l(l + 1)2Zu(ρ) +u(ρ) = 2εu(ρ).ρρ2Явный вид радиальных функцийБудем рассматривать только связанные состояния, такие чтоE < 0,Тогда−u00 (ρ) −ε < 0,−ε ≡α2> 0.22Zl(l + 1)u(ρ) +u(ρ) + α2 u(ρ) = 0.ρρ2Искать решение, как в задаче о линейном осцилляторе, будем поэтапно.Для начала найдем асимптотику решения при ρ → ∞.

Пренебрегая членами младших порядков, находимu00 (ρ) − α2 u(ρ) ' 0.Решением, как легко показать, является функцияu(ρ) = Cρn e−αρ .Действительно, удерживая только ведущие при ρ → ∞ слагаемые,получаемu0 (ρ) ' −αCρn e−αρ ,u00 (ρ) ' α2 Cρn e−αρ = α2 u(ρ).47Найдем также асимптотику u(ρ) при ρ → 0. В этом пределе уравнение принимает формуu00 (ρ) −l(l + 1)u(ρ) ' 0.ρ2Этому уравнению удовлетворяет степенная функцияu(ρ) = Cρk ,причем k определяется условиемk(k − 1) = l(l + 1).То есть, k = l + 1 или k = −l.

При отрицательном k функция u(ρ) неопределена в нуле, а нормировочный интеграл расходится. Следовательно в пределе ρ → 0 имеем u(ρ) ∼ ρl+1 .Подытоживая результаты, получаемu(ρ) ∼ ρn e−αρ ,приρ → ∞,u(ρ) ∼ ρl+1 ,приρ → 0.Решение u(ρ) ищем в видеu(ρ) = F (ρ)e−αρ ,тогдаu0 = F 0 e−αρ − αF e−αρ ;u00 = F 00 e−αρ − 2αF 0 e−αρ + α2 F e−αρ .Подставляя эти выражения в обезразмеренное уравнение и сокращаяe−αρ , получаем−F 00 + 2αF 0 − α2 F −или−F 00 + 2αF 0 −2Zl(l + 1)F+F + α2 F = 0,ρρ22Zl(l + 1)F+F = 0.ρρ2Ищем теперь F (ρ) в виде рядаXXβν ρν =βν ρν+l+1 ,F (ρ) = ρl+1ν=0ν=048β0 6= 0.Тогда, почленно дифференцируя, находимXF 0 (ρ) =(ν + l + 1)βν ρν+l ,ν=0F 00 (ρ) =X(ν + l)(ν + l + 1)βν ρν+l−1 .ν=0Подставляя ряды в уравнение и вынося ρl−1 из под знака сумм, получаемXXρl−1βν (ν + l)(ν + l + 1)ρν − 2αρl−1βν (ν + l + 1)ρν+1 +ν=0+2Zρl−1ν=0Xβν ρν+1 − l(l + 1)ρl−1ν=0Xβν ρν = 0.ν=0Общий множитель ρl−1 , конечно, сокращается.В левой части получившегося уравнения стоят четыре ряда.

Заметим, что первый и четвертый ряды начинаются со слагаемого ∼ ρ0 ,тогда как второй и третий – со слагаемого ∼ ρ1 . Выделяя в первоми четвертом рядах "нулевые"слагаемые, находим:XXl(l + 1)β0 +βν (ν + l)(ν + l + 1)ρν − 2αβν (ν + l + 1)ρν+1 +ν=1+2ZXν=0βν ρν+1 − l(l + 1)β0 − l(l + 1)ν=0Xβν ρν = 0.ν=1Сокращая слагаемые l(l+1)β0 и меняя индексы суммирования в первом и последнем рядах так, чтобы суммирования вновь начиналисьс нулевого индекса, получаемX[ βν+1 (ν + l + 1)(ν + l + 2) − 2αβν (ν + l + 1) +ν=0+ 2Zβν − l(l + 1)βν+1 ] ρν+1 = 0.Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени равен нулю. Отсюда получаем рекурентные соотношения для коэффицентов βν :βν+1 = βν2α(ν + l + 1) − 2Z,(ν + l + 1)(ν + l + 2) − l(l + 1)49ν = 0, 1, 2 . .

.Задавая β0 , однозначно определяем все остальные члены ряда.Так как асимптотика функции u(ρ) при ρ → ∞ описывается произведением конечной степени ρ и e−αρ , то ряд F (ρ) должен обрываться.Пусть старшая степень ряда есть nr (т.е. βnr 6= 0, тогда как βnr +1 == βnr +2 = . . . = 0). Тогда условие обрыва принимает вид:α=Z.nr + l + 1СледовательноF (ρ) = ρl+1nrXβν ρν .ν=0Этот полином называется полиномом Лагера (при подходящем выборе β0 ); nr – это число узлов радиальной функции.

Таким образомε=−α2Z2=−.22(nr + l + 1)2В то же время волновая функция состояния с такой энергией определяется формулойÃn!rXu(r)lνψnr lm (ρ, θ, ϕ) =Ylm (θ, ϕ) = Cnr l ρβν ρ e−αρ Ylm (θ, ϕ).rν=0Тройка (nr , l, m) – это квантовые числа, задающие состояние.Спектр водородоподобного атомаПередем к другой тройке квантовых чисел (n, l, m), где n ≡ nr ++ l + 1 – главное квантовое число. ТогдаÃn−l−1!X βνZρlνψnlm (ρ, θ, ϕ) = Cnl ρ( )ρ e− n Ylm (θ, ϕ).β0ν=0В этом случае энергии состояний определяются только главнымквантовым числом n:En = Ea εn = −Z 2 e4Z 2 me e4=−.22a0 n2~2 n250Уровень с энергией En вырожден по квантовым числам l и m. Кратность вырождения n-го уровня, как легко сосчитать, равна n2 .

Отметим также, что в спектроскопии используются специальные обозначения для орбитального квантового числа l:l=0, 1, 2, 3,s, p, d, f,......Лекция №9. Теория представлений. ФормализмДиракаВолновая функция в f -представленииВ соответствии с постулатом I ψ(r) – это функция, дающая полное описание квантового состояния частицы. В частности, это амплитуда вероятности найти частицу в точке r.Теперь рассмотрим некоторую физическую величину F и соответствующий ей оператор F̂ . Задача на собственные функции этогооператора имеет видF̂ ψf (r) = f ψf (r).Амплитуда вероятности получить величину f при измерении F всостоянии, которое описывается волновой функцией ψ(r), естьZc(f ) = hψf |ψi ≡ ψf∗ (r)ψ(r)d3 r.Напомним, что собственное значение f часто называют квантовымчислом, которое однозначно фиксирует собственную функцию.

Поэтому удобно пользоваться следующим обозначением:c(f ) = hψf |ψi ≡ hf |ψi.Заметим, что разложение ψ(r) по ψf (r) имеет видZXψ(r) =cn ψn (r) + c(f )ψf df, ψn ≡ ψfn , cn ≡ c(fn ).nЯсно, что набор коэффициентов c(f ) столь же информативен, как исама исходная волновая функция ψ(r).51Итак, если c(f ) = hf |ψi есть амплитуда вероятности получить fпри измерении F , то амплитуду вероятности ψ(r) получить r приизмерении координаты естественно записать в видеψ(r) ≡ hr|ψi.С другой стороны, если волновая функция ψ(r) имеет смысл амплитуды hr|ψi, то набор амплитуд c(f ), несущих всю полноту информации о квантовом состоянии системы, естественно назвать волновойфункцией, альтернативной ψ(r).

Соответственно вводят обозначение:c(f ) = hf |ψi ≡ ψ(f ).Таким образом считают, чтоhr|ψi = ψ(r) – это волновая функция в r-представлении,hf |ψi = ψ(f ) – это волновая функция в f -представлении.Замечание. Дирак высказал предположение, что любая волновая функция – это набор проекций вектора состояния на собственныевекторы какого-либо эрмитового оператора.