Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 4

∆x ¿ L, где L – размерdxdUобласти существенного изменения), тоdx¯dUdU ¯¯hi'.dxdx ¯x'hximВ этом случае движение области локализации частицы определяетсявторым законом Ньютона¯d2 hxidU ¯¯m 2 '−.dtdx ¯x'hxiМы показали, что в пределе ∆x ¿ L классическая динамика выводится из квантовой динамики. Это утверждение называется теоремой Эренфеста.Замечание. Пусть L – масштаб неоднородности потенциалаU (x) (и его производной); частица движется в области размера ∼ L,31т.е. hxi ∼ L. Если в каждый момент времени неопределенность координаты ∆x мала по сравнению со средним значением hxi, т.е.∆x ¿ hxi ∼ L,то координата частицы, фактически, определена и равна hxi.

Естественно ожидать, что в этом пределе изменение hxi во времени определяется классическим законом движения – вторым законом Ньютона. Именно это и утверждает доказанная нами теорема Эренфеста.Замечание. Теорема Эренфеста позволяет понять, почему движение электрона в электронно-лучевой трубке описывается классическими уравнениями, тогда как движение этого же электрона в атоме – квантовыми уравнениями.Скобка Пуассона и коммутаторОбобщая, можно сказать, что всюду там, где неопределенность∆F физической величины F мала по сравнению с hF i, среднее значение hF i должно меняться по классическим законам. Напомним, что вклассической механике мы имеем дело с обобщенными координатамиq = (q1 , q2 , . .

.), обобщенными импульсами p = (p1 , p2 , . . .), а такжес функциями обобщенных координат и импульсов F = F (p, q, t).Полная производная по времени величины F определяется соотношениемdF∂F=+ {H, F },dt∂tгде {H, F } – это скобка Пуассона:¶X µ ∂H ∂F∂H ∂F{H, F } =−.∂pi ∂qi∂qi ∂piiЕсли неопределенность ∆F мала, то среднее значение hF i должноменяться по тому же закону, что и классическое значение F . Следо-32вательно должны существовать соответствия:F↔hF i,∂F∂t↔hΨ|{H, F }↔ihΨ|[Ĥ, F̂ ]|Ψi.~∂ F̂|Ψi,∂tПо этой причине коммутатор [Ĥ, F̂ ] иногда называют квантовойскобкой Пуассона. Указанное соответствие между коммутатором искобкой Пуассона может быть использовано для определения явноговида операторов физических величин.Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, где q →x̂ = x и p → p̂ =? В классической теории скобка Пуассона {p, x}легко вычисляется:{p, x} = 1.Для коммутатора операторов p̂ и x̂, следовательно, получаем:i[p̂, x̂] = 1~⇒[p̂, x̂] = −i~.Это верно, если оператор импульса выглядит следующим образом:p̂ = −i~d.dxВ случае n-мерного конфигурационного пространства имеем{pi , qj } = δij .Следовательноi[p̂i , q̂j ] = δij~⇒[p̂i , q̂j ] = −i~δij .В частности, оператор импульса частицы, движущейся в трехмерномпространстве, естьp̂ = −i~∇.33Плотность тока вероятностиНайдем теперь явный вид плотности тока вероятности в трехмерном координатном пространстве.

Оператор Гамильтона имеет видĤ =~2p̂2+ U (r) = −∆ + U (r).2m2mУравнение Шредингера (для волновой функции Ψ) и комплексносопряженное уравнение Шредингера (для функции Ψ∗ ) выглядятследующим образом:i~∂Ψ(r, t)~2=−∆Ψ(r, t) + U (r)Ψ(r, t),∂t2m−i~∂Ψ∗ (r, t)~2=−∆Ψ∗ (r, t) + U (r)Ψ∗ (r, t).∂t2mДомножим первое уравнение на Ψ∗ , а второе – на Ψ. Тогда, вычитаяиз первого уравнения второе, находим:µ¶∂Ψ∗~2∗ ∂Ψi~ Ψ+Ψ=−(Ψ∗ ∆Ψ − Ψ∆Ψ∗ ),dtdt2mили∂~2|Ψ(r, t)|2 = −∇(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ).∂t2mПусть ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2 – плотность вероятности. Тогда полученноесоотношение принимает вид уравнения непрерывностиi~∂ρ+ divj = 0,∂tгде~(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ )2miесть плотность тока вероятности.j=Линейный осцилляторГамильтониан линейного осциллятора имеет видĤ =p̂2mω 2 x2~2 d2mω 2 x2+=−+.2m22m dx2234Решаем стационарное уравнение ШредингераĤψ(x) = Eψ(x),−~2 00 mω 2 x2ψ +ψ = Eψ.2m2Обезразмериваем уравнение, домножая левую и правую части на2/~ω,mω 22E~ 00ψ (x) +x ψ(x) =ψ(x).−mω~~ωТеперь вводим безразмерную координату и безразмерную энергию:rmωx,ξ=~ε=E.~ωВ новых переменных стационарное уравнение Шредингера принимает вид−ψ 00 (ξ) + ξ 2 ψ(ξ) = 2εψ(ξ).Для начала исследуем асимптотику решений при ξ → ±∞.

Пренебрегая 2εψ(ξ), имеющим второй порядок малости по отношению кξ 2 ψ при больших |ξ|, получаем упрощенное уравнениеψ 00 (ξ) ' ξ 2 ψ(ξ).Решением этого асимптотического уравнения является следующаяфункция2ψ(ξ) = Cξ n e−αξ ,где α > 0, чтобы выполнялось условие ψ(ξ) → 0 при |ξ| → ∞. Действительно, ограничиваясь учетом слагаемых, доминирующих при|ξ| → ∞, получаем:2ψ 0 (ξ) ' −2αCξ n+1 e−αξ ,2ψ 00 (ξ) ' 4α2 Cξ n+2 e−αξ = 4α2 ξ 2 ψ.35Подставляя ψ 00 в асимптотическое уравнение, находим: 4α2 = 1 или1α = .

Следовательно в асимптотике волновая функция выглядит2так:2ψ(ξ) = Cξ n e−ξ /2 .Теперь возвращаемся к обезразмеренному уравнению. Ищем егорешение в виде2ψ(ξ) = f (ξ)e−ξ /2 .Тогдаψ 0 = f 0 e−ξ2/2ψ 00 = f 00 e−ξ2− ξf e−ξ/22/2,− 2ξf 0 e−ξ2/2− f e−ξ2/2+ ξ 2 f e−ξПодставляя эти функции в уравнение и сокращая e−ξ000222/2/2., получаем2−f + 2ξf + f − ξ f + ξ f = 2εf,f 00 (ξ) − 2ξf 0 (ξ) + (2ε − 1)f (ξ) = 0.Предположим, что f (ξ) представляет собой ряд: f (ξ) =∞Xak ξ k .k=0Тогдаf0 =Xak kξ k−1 ,ξf 0 =k=0f 00 =XXak kξ k ,k=0ak (k − 1)k ξ k−2 =k=0Xak+2 (k + 1)(k + 2)ξ k .k=0Подстановка этих производных в уравнение дает:XXXak+2 (k + 1)(k + 2)ξ k − 2ak kξ k + (2ε − 1)ak ξ k = 0,k=0илиk=0Xk=0((k + 1)(k + 2)ak+2 − 2kak + (2ε − 1)ak ) ξ k = 0.k=0Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени ξесть ноль.

Отсюда получаем рекурентные соотношения для коэффициентов ak :2k − (2ε − 1)ak+2 = ak.(k + 1)(k + 2)36Задавая a0 и a1 , из рекурентных соотношений однозначно определяем все остальные члены ряда. Этот ряд должен обрываться, таккак функция f (ξ) должна быть полиномом конечной степени. Тогдапри |ξ| → ∞ выживает только старшая степень полинома и ψ(ξ)принимает асимптотическую форму. Обрыв возникает, если выполняется одно из следующих условий:11) a1 = 0 и ε = n + , n = 0, 2, 4 . .

.;2nXak ξ k представляет собой четный полив этом случае fn (ξ) =k=0,2...ном n-й степени;12) a0 = 0 и ε = n + , n = 1, 3, 5 . . .;2nXв этом случае fn (ξ) =ak ξ k представляет собой нечетный поk=1,3...лином n-й степени.Замечание. Функции fn (ξ) пропорциональны полиномам Эрмита Hn (ξ).Окончательно, в случае линейного осциллятора стационарноеуравнение Шредингера имеет следующие решения:µ¶21ψn (x) = Cn Hn (ξ)e−ξ /2 , En = ~ω n +, n = 0, 1, 2 .

. . ,2rmωгде ξ =x. Общее решение уравнения Шредингера имеет вид~XX~ω(n+1/2)tEn t~Ψ(x, t) ==cn ψn (x)e−i ~ =cn ψn (x)e−in= e−inωt2Xcn ψn (x)e−iωnt .nЗамечание. Из вида общего решения следует ,что|Ψ(x, t)| = |Ψ(x, t + T )|,где T =2π. То есть, каким бы ни было начальное условие, волноω37вая функция линейного осциллятора возвращается к своему перво2πначальному виду через отрезок времени T =.ωЛекция №7. Частица в центральном полеОператоры орбитального моментаВ центральном поле потенциальная энергия частицы зависиттолько от ее расстояния от центра, т.е.U (r) = U (|r|) ≡ U (r),|r| ≡ r.Силы, действующие на частицу в центральном поле, разумеется, являются центральными, посколькуrF = −∇U = −U 0 (r) .rПример: электрон в поле ядра. Потенциальная энергия элекZe2трона U (r) = −.rРассмотрим потенциал центрального поля самого общего видаU (r).

Оператор Гамильтона имеет видĤ =p̂2+ U (r).2mИщем решение стационарного уравнения ШредингераĤψn = Eψn ,ψn = ψn (r).Для решения введем оператор орбитального (углового) моментаL̂ = [r̂ × p̂] = −i~[r × ∇].По определению¯¯ ex¯¯¯L̂¯ xl̂ = = −i[r × ∇] = −i ¯¯~¯ ∂¯¯∂x38eyy∂∂y¯ez ¯¯¯¯z ¯¯¯∂ ¯¯¯∂zесть безразмерный оператор орбитального момента.Оператор l̂ коммутирует с оператором Ĥ, то есть[Ĥ, ˆlα ] = 0,гдеα = 1, 2, 3,¶µˆl1 ≡ ˆlx = −i y ∂ − z ∂ ,∂y ¶µ ∂zˆl2 ≡ ˆly = −i z ∂ − x ∂ ,∂z ¶µ ∂xˆl3 ≡ ˆlz = −i x ∂ − y ∂ ,∂y∂xилиˆlα = −ieαβγ rβ ∇γ = 1 eαβγ rβ p̂γ .~Действительно, воспользовавшись тем, чтоĤ =p̂λ p̂λ+ U (r)2mи[p̂α , rβ ] = −i~δαβ ,нетрудно показать, что[p̂λ p̂λ , ˆlα ] = 0,и[U (r), ˆlα ] = 0.Далее, вычисляя коммутаторы опрераторов ˆlα , находимhiˆlx , ˆly = iˆlz ,hiˆly , ˆlz = iˆlx ,hiˆlz , ˆlx = iˆly ,или[ˆlα , ˆlβ ] = ieαβγ ˆlγ .39Так как операторы проекций вектора орбитального момента на осидекартовой системы координат не коммутируют друг с другом, тотолько одна компонента вектора l может быть точно определена.Введем оператор квадрата орбитального момента:l̂2 ≡ ˆlx2 + ˆly2 + ˆlz2 .Нетрудно показать, что он коммутирует с операторами проекций орбитального момента, т.е.[l̂2 , ˆlα ] = 0.Следовательно квадрат длины и одна из компонент вектора l одновременно измеримы.

То есть операторы Ĥ, l̂2 и ˆlα коммутируют другс другом. А это означает, что они имеют общую систему собственныхфункций.Перейдем от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, ϕ):x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.В сферических координатах операторы ˆlα имеют ви䶵ˆlx = −i − sin ϕ ∂ − cos ϕ ctg θ ∂ ,∂θ∂ϕµ¶ˆly = −i cos ϕ ∂ − sin ϕ ctg θ ∂ ,∂θ∂ϕˆlz = −i ∂ .∂ϕДля оператора квадрата орбитального момента получаем:µ¶1 ∂∂1 ∂2l̂2 = −sin θ−≡ −∆θ, ϕ .sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2Легко видеть, что наиболее просто выглядит тройка коммутирующих операторов Ĥ, l̂2 и ˆlz .Рассмотрим вид оператора Гамильтона в сферических координатах:p̂2~2Ĥ =+ U (r) = −∆r, θ, ϕ + U (r).2m2m40Лапласиан в сферических координатах выглядит следующим образо쵶∆θ, ϕ1 ∂2 ∂∆r, θ, ϕ = 2r+ 2 ,r ∂r∂rrпоэтому оператор Гамильтона можно записать так:Ã!µ¶~21 ∂l̂22 ∂Ĥ = −r− 2 + U (r).2m r2 ∂r∂rrСферические гармоникиСобственными функциями операторов l̂2 и ˆlz являются сферические гармоники Ylm (θ, ϕ):l̂2 Ylm (θ, ϕ) = λ(l)Ylm (θ, ϕ),ˆlz Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ).Подставим в эти уравнения явные выражения для операторов в сферических координатах:µ¶¶ µ∂1 ∂21 ∂−sinθ−Ylm (θ, ϕ) = λ(l)Ylm (θ, ϕ),sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2 −i ∂ Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ).∂ϕРешим эту систему дифференциальных уравнений методом разделения переменных:Y (θ, ϕ) = A(θ)B(ϕ).Из второго уравнения получаем−idB(ϕ)= mB(ϕ)dϕ⇒B(ϕ) = eimϕ .При изменении угла ϕ на 2π мы возвращаемся в исходную точку пространства.