Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 2

Набор всех значений {f } называется спектром оператора F̂ .Если спектр дискретен, т.е. {f } = f1 , f2 , . . . , fn , . . ., то пользуются обозначением Ψfn (q) = Ψn (q). ТогдаF̂ Ψn (q) = fn Ψn (q).12Однако спектр может быть и непрерывной величиной. В частности,спектром оператора импульса p̂ является вся действительная ось p ∈(−∞; +∞).Лекция №3. Постулаты квантовой механикиОбозначения и определенияВведем обозначения для описания произвольных квантовых систем.Пусть (q1 , q2 , · · · , qn ) ≡ q – конфигурационное пространство(пространство обобщенных координат физической системы), q —действительный вектор. ИнтегралZΦ∗ (q)Ψ(q)dq ≡ hΦ|Ψi = hΨ|Φi∗называется проекцией Ψ на Φ.

Если hΦ|Ψi = 0, то говорят, что Φ иΨ ортогональны.Тогда в новых обозначениях основные соотношения запишутсяследующим образом:hΨ|Ψi = 1−условие нормировки на единицу,hΨp0 |Ψp i = δ(p − p0 ) −условие нормировки на δ-функцию,hΨp |Ψi = C(p)−импульсная амплитуда вероятности,hpi = hΨ|p̂ Ψi−средний импульс,hxi = hΨ|x̂ Ψi−средняя координата.В общем случаеhΦ|F̂ Ψi =RΦ∗ (q)(F̂ Ψ(q))dq,RhĜΦ|Ψi = (ĜΦ(q))∗ Ψ(q)dq,где hΦ|F̂ Ψi ≡ hΦ|F̂ |Ψi – матричный элемент F̂ по Φ и Ψ. ВеличинаhΨ|F̂ Ψi называется диагональным матричным элементом.13Определение: F̂ + – оператор, эрмитово сопряженный по отношению к F̂ на множестве функций Ω, если∀Φ, Ψ ∈ Ω→hΦ|F̂ Ψi = hF̂ + Φ|Ψi.Определение: Если F̂ + = F̂ , то F̂ – самосопряженный или эрмитовый оператор.Если F̂ – эрмитовый оператор, тоhΨ|F̂ Ψi = hF̂ + Ψ|Ψi = hΨ|F̂ + Ψi∗ = hΨ|F̂ Ψi∗ ,то есть hΨ|F̂ Ψi – действителен.Определение: F̂ называют линейным на множестве функций Ω,еслиF̂ (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = c1 F̂ Ψ1 + c2 F̂ Ψ2∀Φ, Ψ ∈ Ω,∀c1 , c2 ∈ C.ПостулатыТеперь сформулируем 4 постулата квантовой механики и получим некоторые следствия из них.I постулат.

Пусть произвольной системе соответствует конфигурационное пространство q = (q1 , . . . , qn ). Система полностью описывается волновой функцией Ψ(q, t) такой, что |Ψ(q, t)|2 dq есть вероятность обнаружить систему в dq в момент времени t.Потребуем для волновой функции (условие нормировки)Z|Ψ(q, t)|2 dq = 1 ⇔ hΨ|Ψi = 1.II постулат.

Принцип суперпозицииа) Если Ψ1 (q, t) – волновая функция состояния 1, а Ψ2 (q, t) – волновая функция состояния 2, то c1 Ψ1 (q, t) + c2 Ψ2 (q, t) – это волноваяфункция некоторого нового состояния, где c1 и c2 – произвольные (сточностью до условия нормировки) комплексные числа.б) Если измерение в состоянии 1 дает результат 1, а измерениев состоянии 2 дает результат 2, то измерение в суперпозиции этихсостояний дает либо результат 1, либо результат 2.III постулат. Каждой физической величине F сопоставляетсялинейный и эрмитовый оператор F̂ . Измерение величины F дает14одно из собственных значений оператора F̂ .

Если состояние системыописывается собственной функцией Ψf (q) оператора F̂ , то измерениеF обязательно приводит к собственному значению f .Замечание. Пусть состояние системы описывается волновойфункцией Ψf (q) – собственной функцией оператора F̂ . Тогда собственное значение f называют квантовым числом, характеризующим данное состояние.Следствие из II и III постулатов:Пусть Ψf1 – волновая функция состояния 1, а Ψf2 – волноваяфункция состояния 2, где Ψf2 и Ψf2 — собственные функции оператора F̂ , т.е.F̂ Ψf1 (q) = f1 Ψf1 (q),F̂ Ψf2 (q) = f2 Ψf2 (q).Тогда измерение величины F в состоянии, которое описывается волновой функцией c1 Ψf1 (q, t)+c2 Ψf2 (q, t), дает значение либо f1 , либоf2 .Обратно, поскольку измерение F обязательно приводит к одномуиз собственных значений, то любая волновая функция Ψ(q) представима в виде суперпозицииXΨ(q) =cn Ψn (q),nесли спектр F̂ дискретен, илиZΨ(q) =c(f )Ψf (q)df,если спектр F̂ непрерывен.Следовательно, Ψf – полный базис, порожденный оператором F̂ .В общем случае, когда спектр оператора F̂ содержит как дискретную, так и непрерывную части, имеемZXΨ(q) =cn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df.n15IV постулат.

Пусть Ψ(q) — волновая функция и имеется разложениеZXΨ(q) =cn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df.nТогда:1o измерение F дает fn с вероятностью |cn |2 ,2o измерение F дает значение в интервале (f ; f + df ) с вероятностью |c(f )|2 df .Условие нормировки имеет видZX2|cn | + |c(f )|2 df = 1.nВеличины cn и c(f ) называют амплитудами вероятности.Теперь рассмотрим некоторые следствия этих постулатов.Следствие 1. Явные выражения для амплитудПусть имеетсяΨ(q) =XZcn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df,nпри этом в силу условий нормировкиZZX|Ψ|2 dq = 1 =|cn |2 + |c(f )|2 df.nС другой стороны, подставляя выписанное разложение для Ψ((q)) внормировочный интеграл, получимZZX∗∗Ψ Ψdq =cn hΨn |Ψi + c∗ (f )hΨf |Ψidf.nСледовательноcn = hΨn |Ψi,c(f ) = hΨf |Ψi.16Следствие 2. Условия нормировкиИз предыдущего следствияZXcn = hΨn |Ψi = hΨn |cn0 Ψn0 (q) + c(f 0 )Ψf 0 (q)df 0 i =n0=XZc hΨn |Ψ i + c(f 0 )hΨn |Ψf 0 idf 0 ,n0n0n0c(f ) = hΨf |Ψi = hΨf |XZcn0 Ψn0 (q) + c(f 0 )Ψf 0 (q)df 0 i =n0=XZcn0 hΨf |Ψn0 i + c(f 0 )hΨf |Ψf 0 idf 0 .n0СледовательноhΨn |Ψn0 i = δnn0 ,hΨf |Ψf 0 i = δ(f − f 0 ),hΨn |Ψf i = 0.Следствие 3.

Условие полнотыПодставляя в разложение волновой функции Ψ(q) по полномубазису явные выражения для амплитуд, находимZXΨ(q) =cn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df =n=XZhΨn |ΨiΨn (q) + hΨf |ΨiΨf (q)df =n=Z ÃX!ZΨ∗n (q0 )Ψn (q)+Ψ∗f (q0 )Ψf (q)dfΨ(q0 )dq0 .nОтсюда получаем условие полноты базисаZXΨ∗n (q0 )Ψn (q) + Ψ∗f (q0 )Ψf (q)df = δ(q − q0 ).n17Следствие 4.

Средние значения физических величинПусть заданы волновая функция Ψ(q) и оператор F̂ , соответствующий физической величине F . По 1-му следствию cn = hΨn |Ψiи cf = hΨf |Ψi – амлитуды вероятности получить fn и f в измеренииF , соответственно. Тогда справедливоZX2fn |cn | + f |c(f )|2 df.hF i =nДокажем, что среднее значение hF i определяется также диагональным матричным элементомhF i = hΨ|F̂ Ψi ≡ hΨ|F̂ |Ψi.Действительно,hΨ|F̂ Ψi = hΨ|F̂ÃX!Zcn Ψn + c(f )Ψf df i =n=XZcn hΨ|F̂ Ψn i + c(f )hΨ|F̂ Ψf idf =n=XZcn hΨ|fn Ψn i + c(f )hΨ|f Ψf idf =n=XZfn cn hΨ|Ψn i + f c(f )hΨ|Ψf idf =nтак какXZfn cn c∗nnhΨ|Ψn i ≡ hΨn |Ψi∗ = c∗n ,hΨ|Ψf i ≡ hΨf |Ψi∗ = c∗ (f ).18+ f c(f )c∗ (f )df,Лекция №4.

Одновременная измеримостьфизических величинОдновременно измеримые величиныОпределение: Физические величины F и G одновременно измеримы, если F̂ и Ĝ обладают общей системой собственных функций.То естьF̂ Ψn (q) = fn Ψn (q), ĜΨn (q) = gn Ψn (q).Для простоты будем рассматривать только дискретные спектры.Определение: Коммутатором двух физических величин называется оператор[F̂ , Ĝ] ≡ F̂ Ĝ − ĜF̂ .Утверждение: Если F и G одновременно измеримы, то [F̂ , Ĝ] == 0, то есть F̂ Ĝ = ĜF̂ , илиF̂ ĜΨ(q) = ĜF̂ Ψ(q),∀Ψ(q).Доказательство:XТак как Ψn (q) — полный базис, то Ψ(q) =cn Ψn (q).

ТогдаnF̂ ĜΨ = F̂ ĜXcn Ψn = F̂nĜF̂ Ψ = ĜF̂XnXcn gn Ψn =ncn Ψn = ĜXnXcn gn fn , Ψnncn fn Ψn =Xcn fn gn Ψn .nСледовательно F̂ Ĝ = ĜF̂ . Утверждение доказано.Обратное утверждение также верно.Утверждение: Если [F̂ , Ĝ] = 0, то F и G одновременно измеримы.Доказательство:Проведем доказательство для частного случая, когда один из операторов, например F , имеет невырожденый спектр, т.е. каждому собственному значению f отвечает только одна собственная функцияΨf (q).19Итак, спектр F̂ невырожден: F̂ Ψn (q) = fn Ψn (q).

ПустьĜΨn (q) = Φn (q).Подействуем на Φn (q) оператором F̂F̂ Φn (q) = F̂ ĜΨn (q) = ĜF̂ Ψn (q) = fn ĜΨn (q) = fn Φn (q).Таким образом мы получили, что Φn – собственная функция F̂ , отвечающая собственному значению fn . В силу невырожденности спектра оператора F̂ имеемΦn (q) ∼ Ψn (q),то естьĜΨn (q) = Φn (q) ∼ Ψn (q)⇔ĜΨn (q) = gn Ψn (q).Что и требовалось доказать.Общий случай оператора F̂ будет рассмотрен позже.Следствие. Если [F̂ , Ĝ] 6= 0, то F и G не являются одновременноизмеримыми величинами.Замечание.

Пусть спектр оператора F̂ вырожден, т.е. одномусобственному значению f отвечают сразу несколько собственныхфункций. Другими словами, квантовое число f не определяет однозначно квантовое состояние системы. В этом случае всегда существуют взаимно коммутирующие операторы Ĝ1 , Ĝ2 . . . (в частном случае,один оператор Ĝ) , коммутирующие с F̂ . Любая собственная функция Ψf g1 g2 ...

(q) этих операторов характеризуется определенным набором квантовых чисел f, g1 , g2 . . ., которые однозначно фиксируютквантовое состояние. Набор коммутирующих операторов, собственные значения которых однозначно определяют квантовое состояниесистемы, называется полным набором.Соотношение неопределенностейПусть F̂ и Ĝ – операторы физических величин F и G (т.е. F̂ ++ = F̂ и Ĝ+ = Ĝ), и [F̂ , Ĝ] = iK̂, где K̂ + = K̂.

Докажем, что в20любом квантовом состоянии выполняется следующее соотношение(соотношение неопределенностей):h(∆F )2 ih(∆G)2 i >hKi2.4Доказательство:Разобьем доказательство на три части.а) Покажем, что (F̂ Ĝ)+ = Ĝ+ F̂ + . Действительно,hΨ|F̂ ĜΦi = h(F̂ Ĝ)+ Ψ|Φi,hΨ|F̂ ĜΦi = hF̂ + Ψ|ĜΦi = hĜ+ F̂ + Ψ|Φi.Отсюда и следует то, что требовалось показать.б) Покажем, что коммутатор [F̂ , Ĝ] представим в виде[F̂ , Ĝ] = iK̂,где K̂ – эрмитовый оператор (K̂ + = K̂).Легко видеть, что i+ = −i.