Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов.pdf), страница 8

Легко видеть, что собственным вектором |ψf i гамильтониана Ĥf является произведениеY|ψf i =|nλ i ≡ |{nλ }i.λЭтому собственному вектору отвечает собственное значение (энергияполя)µ¶X1Ef =~ω nλ +.2λИными словами, состояние свободного электромагнитного поля сопределенной энергией полностью определяется числами nλ в каждой моде λ. Эти числа nλ называют числами заполнения. Ясно, чтоnλ можно интерпретировать как число фотонов в моде λ.Любопытно, что в состоянии |ψf i с определенной энергией средняя величина E в любой точке r равна нулюhE(r)i = hψf |Ê(r)|ψf i = 0.В то же времяhE2 (r)i = hψf |Ê2 (r)|ψf i =6 0.73Последнее справедливо даже в том случае, когда |ψf i есть вакуумноесостояние (все числа nλ равны нулю).Лекция №12.

Симметрии и законы сохраненияОбщие замечанияВ классической механике законы сохранения связаны с симметриями пространства и времени. Естественно ожидать, что и в квантовой механике существует подобная связь.Более того, ранее мы доказали, что энергия в квантовой механике является интегралом движения, если гамильтониан системы независит от времени. Но независимость оператора энергии от времени– это следствие однородности времени. Таким образом в квантовоймеханике, так же как в классической механике, сохранение энергиисвязано с однородностью времени.Чуть позже в этой лекции мы исследуем связь однородности пространства с законом сохранения импульса, а также связь изотропиипространства с законом сохранения углового момента.

Но сначалавведем оператор сдвига во времени (оператор эволюции) и обсудимсвязанные с ним понятия.Представления Шредингера и Гайзенберга1. Представление Шредингераа) Сопоставляем величине A оператор Â (как правило, не зависящий от t).б) Вектор состояния |Ψ(t)i, зависящий от t, описывает изменениесостояния системы во времени.в) Зависимость вектора состояния от времени определяется уравнением Шредингера:i~∂|Ψ(t)i= Ĥ|Ψ(t)i.∂tПусть по определению|Ψ(t)i = Û (t)|Ψ(0)i,74где Û (t) – оператор эволюции (сдвига по времени).

Из условия нормировкиhΨ(t)|Ψ(t)i = hΨ(0)|Û + Û |Ψ(0)i = 1следует, что Û + Û = 1, то есть оператор эволюции – унитарный.Если Ĥ не зависит от t, тоÛ (t) = e−iĤt~.ĤtДействительно, покажем, что |Ψ(t)i = e−i ~ |Ψ(0)i удовлетворяетуравнению Шредингера:Ã!ĤtĤ −i Ĥt∂|Ψ(t)ii~= i~ −i e ~ |Ψ(0)i = Ĥe−i ~ |Ψ(0)i = Ĥ|Ψ(t)i.∂t~Заметим, что если Û – унитарный оператор, то всегда существуетэрмитовый оператор R̂ такой, чтоÛ = eiR̂ .В частности, если Û – оператор эволюции, то R̂ = −Ĥt/~.Среднее значение hAi, зависящее от времени, определяется матричными элементами:hAi(t) = hΨ(t)|Â|Ψ(t)i = hΨ(0)|Û + (t)ÂÛ (t)|Ψ(0)i.Назовем оператором физической величины A в представлении Гайзенберга оператор следующего вида:ÂГ (t) ≡ Û + (t)ÂÛ (t) = eiĤt~Âe−iĤt~.Вычисляя производную этого оператора, получаем:dÂГ (t)i= [Ĥ, ÂГ (t)].dt~Итак, в представлении ШредингераhAi(t) = hΨ(t)|Â|Ψ(t)i.Если же зависимость среднего значения физической величины отвремени вычисляется по формулеhAi(t) = hΨ(0)|ÂГ (t)|Ψ(0)i,75то говорят об использовании представления Гайзенберга.2.

Представление Гайзенбергаа) Вектор состояния |Ψ(0)i системы не зависит от t.б) Сопоставляем величине A зависящий от t оператор в представлении Гайзенберга:ĤtĤtÂГ (t) = ei ~ Âe−i ~ .в) Зависимость оператора отГайзенберга:dÂГ (t)=dtвремени определяется уравнениемi[Ĥ, ÂГ (t)].~Однородность пространства и сохранение импульсаЕсли пространство однородно, то сдвиг физической лабораториина произвольный вектор a не меняет результаты проводимых в нейизмерений. Пусть состояние системы в исходной лаборатории описывается вектором |Ψ; 1i, а состояние системы, сдвинутой на a вместес лабораторией, описывается вектором |Ψ; 2i.

Если вектор r отсчитывается от некоторого фиксированного в пространстве начала координат, то должно быть справедливым соотношениеhr|Ψ; 1i = hr + a|Ψ; 2iилиhr − a|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.Если принять, что|Ψ; 2i = T̂ (a)|Ψ; 1i,то T̂ (a) – оператор сдвига на вектор a. Ясно, что T̂ (a) – унитарныйоператор. По аналогии с оператором сдвига во времени представимT̂ (a) в виде:p̂aT̂ (a) = e−i ~ ,где p̂ – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий отвремени.76z616|Ψ; 1i¢̧Q ´ ¢ QQ´2Q a¢+́Q6Q¢Qr¢Q¢QQs:»»»¢0»r+a =»r »»¢´»»´¢ »»»»+́¢»»´´´´´|Ψ; 2iy´´´+́ xТеперь покажем, что[Ĥ, T̂ (a)] = 0.Действительно, если пространство однородно, то соотношение|Ψ; 2i = T̂ (a)|Ψ; 1iсправедливо не только в начальный момент t = 0, но также и влюбой последующий момент t.

Поэтомуi~∂|Ψ; 2iT̂ (a)∂|Ψ; 1i= i~= T̂ (a)Ĥ|Ψ; 1i.∂t∂tС другой стороныi~∂|Ψ; 2i= Ĥ|Ψ; 2i = Ĥ T̂ (a)|Ψ; 1i.∂tТо есть сформулированное утверждение доказано.77Далее заметим, что T̂ (a) представляет собой ряд по степеням оператора p̂. Поэтому из [Ĥ, T̂ (a)] = 0 следует, что[Ĥ, p̂] = 0.Напомним теперь, что если физической величине A сопоставляетсяэрмитовый оператор Â такой, чтоа) Â не зависит от t,б) [Ĥ, Â] = 0,то A – интеграл движения.Итак, мы показали, что из условия однородности пространстваследует существование такого эрмитового оператора p̂, чтоа) p̂ не зависит от t,б) [Ĥ, p̂] = 0.Таким образом физическая величина p, отвечающая оператору p̂,должна быть величиной, сохраняющейся вследствие однородностипространства. В классической механике такой величиной, сохраняющейся вследствие однородности пространства, является импульс.Поэтому естественно принять, что p̂ есть оператор импульса.Рассмотрим вид оператора сдвига при малом a → δa:T̂ (δa) = e−ip̂δa~≈1−iδap̂.~Оператор p̂ часто называют генератором сдвига.

Возьмем соотношениеhr − δa|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2iи подставим в него|Ψ; 2i = e−iПолучаем:p̂δa~|Ψ; 1i =µ¶δa1 − i p̂ |Ψ; 1i.~µ¶δahr − δa|Ψ; 1i = hr| 1 − i p̂ |Ψ; 1i~илиδahr|p̂|Ψ; 1i.~Сравнивая левую и правую части, находим явный вид оператораимпульса в координатном представлении:hr|Ψ; 1i − δa∇hr|Ψ; 1i = hr|Ψ; 1i − ihr|p̂|Ψi = −i~∇hr|Ψi.78Изотропия пространства и сохранение углового моментаПереход от одной (1) декартовой системы осей к другой (2), повернутой декартовой системе осей всегда может быть осуществленвращением вокруг специально подобранного единичного вектора nна специально подобранный угол χ.

Пустьχ~ = χnесть вектор поворота.Так же как и для сдвига, связь векторов состояний, описывающиходинаковые по своим свойствам состояния системы в лабораториях1 и 2, соответственно, можно задать соотношением:|Ψ; 2i = R̂(~χ)|Ψ; 1i,где R̂(~χ) – оператор поворота.

Ясно, что R̂(~χ) – унитарный оператор. По аналогии с операторами сдвига (как во времени, так и впространстве) запишем его в виде:R̂(~χ) = e−iĴ~χ~,где Ĵ – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий отвремени.Следуя точно той же логике, что и в случае сдвига в пространстве, нетрудно доказать, что[Ĥ, R̂(~χ)] = 0,и, соответственно,[Ĥ, Ĵ] = 0.Таким образом, условие изотропии пространства приводит нас к сохраняющейся векторной величине J, отвечающей оператору Ĵ.

Вклассической механике величиной, сохраняющейся вследствие изотропии пространства, является угловой момент. Поэтому естественно принять, что Ĵ есть оператор углового момента.Найдем явный вид оператора углового момента движущейся частицы. При вращении на малый угол δ~χ имеем:hr − [δ~χ × r]|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.79Подставляя в это соотношение|Ψ; 2i = eχ−i Ĵδ~~µ¶δ~χ|Ψ; 1i = 1 − i Ĵ |Ψ; 1i,~получаемhr|Ψ; 1i − [δ~χ × r]∇hr|Ψ; 1i = hr|Ψ; 1i − iδ~χhr|Ĵ|Ψ; 1i~илиδ~χhr|Ĵ|Ψi.~Отсюда оператор углового момента в координатном представленииимеет вид:hr|Ĵ|Ψi = −i~[r × ∇]hr|Ψi.−δ~χ[r × ∇]hr|Ψi = −iОператорL̂ = −i~[r × ∇] = [r × p̂].называется оператором орбитального момента частицы.Декартовые составляющие безразмерного оператора орбитального моментаL̂l̂ =~связаны друг с другом коммутационными соотношениями[ˆlα , ˆlβ ] = ieαβγ ˆlγ .Напомним, что коммутационные соотношения между операторамине зависят от того, в каком представлении берутся эти операторы.Лекция №13.

Угловой момент. СпинСвойства операторов углового моментаОператор поворота, введенный на прошлой лекции, имеет вид:R̂(~χ) = e−i80Ĵ~χ~.Мы показали, что Ĵ – это оператор углового момента. Безразмерныйоператор углового момента вводится формулой:ĵ =Ĵ.~Оператор квадрата углового момента связан с операторами проекций на координатные оси следующим образом:ĵ = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 .Операторы проекций на координатные оси связаны между собойкоммутационными соотношениями:[ĵα , ĵβ ] = ieαβγ ĵγ .Пользуясь этими коммутационными соотношениями, нетрудно доказать, что[ĵ2 , ĵα ] = 0.Пусть |jmi – это собственные векторы операторов ĵ2 и ĵz : jˆ2 |jmi = λ(j)|jmi, ˆjz |jmi = m|jmi.Эти собственные векторы ортонормированы:hjm|j 0 m0 i = δjj 0 δmm0 .По физическому смыслу m – это проекция вектора j на ось Oz, λ(j)– квадрат длины углового момента.

Попробуем разобраться, какиезначения могут принимать λ(j) и m, пользуясь только коммутационными соотношениями. Разобьем исследование на пункты.1) Покажем, что λ(j) > 0 и m2 6 λ(j). Имеем:2λ(j) = hjm|ĵ |jmi =3Xhjm|ĵα2 |jmiα=1=3Xhĵα jm|ĵα jmi > 0,α=1в силу того, что hΨ|Ψi > 0 при любом Ψ. Аналогичным образом:λ(j)−m2 = hjm|ĵ2 − ĵz2 |jmi =2Xhjm|ĵα2 |jmi =α=1812Xα=1hĵα jm|ĵα jmi > 0.Утверждения доказаны.2) Введем операторы:ĵx + iĵy, ĵ+ = √2ĵ − iĵ ĵ− = x √ y = (ĵ+ )+ .2Тогда операторы ĵx и ĵy выражаются через ĵ+ и ĵ− следующим образом:ĵ+ + ĵ−, ĵx = √2ĵ − ĵ ĵy = + √ − .i 2Вычисляя, находим:ĵ+ ĵ− ==ĵ− ĵ+ ==Поэтому1(ĵx + iĵy )(ĵx − iĵy ) =211 ˆ2(j − ĵz2 − i[ĵx , ĵy ]) = (jˆ2 − ĵz2 + ĵz ),221(ĵx − iĵy )(ĵx + iĵy ) =21 ˆ21(j − ĵz2 + i[ĵx , ĵy ]) = (jˆ2 − ĵz2 − ĵz ).22ĵ+ ĵ− + ĵ− ĵ+ = jˆ2 − ĵz2 = ĵx2 + ĵy2 ,ĵ+ ĵ− − ĵ− ĵ+ = ĵz⇔[ĵ+ , ĵ− ] = ĵz .3) Вычислим коммутаторы [ĵz , ĵ+ ] и [ĵz , ĵ− ]:1[ĵz , ĵ± ] = √ ([ĵz , ĵx ] ± i[ĵz , ĵy ]) =2111= √ (iĵy ± i(−iĵx )) = √ (±ĵx + iĵy ) = ± √ (ĵx ± iĵy ) = ±ĵ± .22282То естьĵz ĵ± − ĵ± ĵz = ±ĵ± ,илиĵz ĵ± = ĵ± (ĵz ± 1).Окончательно получаем: ĵz ĵ+ = ĵ+ (ĵz + 1),ĵz ĵ− = ĵ− (ĵz − 1).Сделаем промежуточные выводы по первым трем пунктам.а)Если m2 6 λ(j), то существуют mmin и mmax .