Тронин Ю.В., Гурский О.В., Синтез фильтров. Учебное пособие, страница 4

1.21. Олена имеются две»е шкалы; )~~ и ау (в децкбе- 4»»» лах). Отложив на них вадвн- 3 ные величины (напркмер,а, = л а = 1 «» = 30) проведем Рко. 1.21 премую линию до пересечения со шкалой ая . По шкале »РАЙ отло- 23 жзм заданную величину (например, Я~ = 2). Точка графика оказалась между линиями м = 3 и и = 4. Это говорит о том, что фькьтр данного типа (график соответствует опредеяенншэу типу фильтра) следует взять четвертого порядка. В других номограммах вспомогательная величина ~уя, определяемаа обоими заданными эатУханиэми а„и сту, находитса как их сУмма: >эя ~~+ли.

Добавочное затухание Ла определяется по таблице: 0,2 0,5 0,1 5,6 13 22,5 ла, дБ Из таблицы хорошо виден смысл суммарного параметра сук: если задать неравномерность 3 дБ, то ЛО = 0; получение меньшей нерав' ишзернооти, например 0,5 дБ, эквивалентно повышению затухания ~~ на 9 дБ. 1.8. П о е свой пе точной ального ФНЧ вп то Как уие отмечалось выше, по базовой функции «ф) можно найти передаточйне (й>нации фильтров любого вида (%ч, ФВч, пФ, РФ) с конкретними значениями характерник частот.

Праце всего эта задача решается для ФНЧ, где нужно лишь восстановить размернооть шкалы частот: вместо безразмерной плоскости фМ+~~3 ввести в раосмотрение плоскость,б' д' у'еш, соответствующую реальной шкале частот. Поскольку но)мирование шкалы частот проводилось делением на вазичвну граннчной частоты полосы пропускания юя, то обратная операция - денореирование — зто просто умножение на а+я . Дено)мирование можно провести как по полюсам и нулям: У 4 =>(у /"4 ='й с4>'4)в с~ ° так и сразу по передаточной функции, выраженной через коэф(мциенты б "уЛ, д>/'а'"А~ «Ь)-ра.~„,-~-~м Ф~ -~)... „,,г~, ( Л;) Р лсл Обратите внэманне на то, что козсфнцяент ~~ умножается па м„ а коэффициенты,(е игл - на м~ (при этом оазмерности всех членс одшнаковя! ), Пйкше) 1,4~ Оцределнть передаточную функщп> фьяьтра Чебншева при и= 3, а> = 0,5 дБ, / = 1000 Гц.

Коэф(шциент передачи К® = 10 цри су = О. Это фьяьтр, рассмотренный в примере 1.2. Произведем денорми- рование полюсов и нулей: ,Ф=-,ГЯГ./Р ~~УУУ;,б> л=~-ОВЛУР'Г/РУ>уМГЯ''Ю . Можно воспользоваться уке вычисленной базовой функцией, вос- станавливая размерность(ая 1 кажзого члена: А, «~5~ ~® р' Г.а- Ю'б ~жХФ +~ахи')'~гЗ~Р'(гх~ .аж Иэ уоловия«Ф/ = 10 нейдем значение коэйфвциента ('е .. Ф>>>-,---=>ю —; ю — А ">у»й> а~', пщщйо 1,5. Определить передаточную ((ункцшю зллиптачеокого фьзьтра с граничной частотой а4> = 10, гг = 3, ~Ъ = 1 дБ, 3 ~Ул = 35 дБ, >>Ю/ = 1. Это фьзьтр, рассмотренный в црвмере 1.3.

Произведем дено)мщ- 4,,а Л+х.у г~. го б «Ф ~~+05580 ~л >ОУРО.ГО~~э~101./Оя При нулевой частоте 4 кмг ю~ >>>'~ о»»>~ со~.>» ' 4 '»'> Фильтр состоит из тС -звена с постоянной врмеениюь — — ~= шИе.я>> = 1,86 мс и звена второго порядка (см. рис. 1.20,б) о пармзетрами а~„= 2,31 10, с~ = 1,005 10 и 4 = 2>3. к ьт П 1 9 Час отняв е о Пе Для пересчета базовой передаточной ((ункцки %Ч в передаточные функцни фьзьтров других видов (ФЭЧ, ПФ, РФ) целеоообразно вос.- пользоваться некоторами сцециэльно подобранньаи частотнмги преобразованиями, связывающими исходную норешрсвавную >~ -плоокость базовой функцши с новой, также нормированной Р -плоскостью (для Фильтра другого типа).

Эатем для получения передаточной фуннции реального фьльтра надо произвести денорирование с учетом того, l какая именно частота принималась за единиву в,б -плоскости. 25 Р "У (Р р'). (1. 55) Рис. 1.22 (1..51) П об зование в ФВЧ. В данном случае используется следухщее преобразование: Р= Р (1.48) йала частот преобразуется аналогично": )г =-,5.

(1.49) На рис. 1.22 показана транс$ормацня АЧХ эллиптического бмхьтра при таком преобразовании. Все характерные точки яр и У, переходят в точки Р, и У,' в соответствии с (1.49). Нули и полюсы базовой передаточной бункции такие пересчитываются по шорэулам (1.48) и (1.49). Однако надо иметь в визу, что при частотном преобразовании (1.48) пересчет какдого полюса сопровоидаетоя появлением нуля Р» = О, а пересчет каядого нуля— появлением полюса Р» = О. Зто видно из оледухщей подстановки: Юу / А'Ф- — ' — Ф-...,, .

(1. ) Р» Нэлачие переменной,Р' в числителе говорит о появлении в диаграмме полюсов-нулей кроме точки Р ' еще и точки р,' = О. Передаточные 5ункцни звеньев второго поряд~а только с полюсами транс$ормируютоя так: Р (Р') 1Р Рл НР-Рл ) т (Р'-Рв)ФЮ ' Ф-Ра,вР+с -~~И -,Р.',»,...- где г"ъ г шТочыее, ~ . -+, ро в силу симэмтрвв (комплексной сопряиен ности йар пулей в ыолюссв> внек мошно не учитывать. 25 Рв.— я=- =-.

сх й =-. /у с~А 1ф,~,з Рй' р'ь') С ' С (1.53) М Звенья с полюсами и нулями переходят такие в звенья с полюсами и пулами: АФ'У:) ~~, ЮР'АУЛ Ь-Ря)Ь-Рл) (Р Рл') (Р'Рл 1 ' дФ- — М" (1. 55) Р»+РР б- (,, а в Здесь|Э' и Ы» пересчитаны по (1.48) и (1.49), а 4,=Ф~-. ование чшЧ в ПФ. В ленном случае используется преоб- Параметр преобразования ф — это некоторая эквивалентная добротность цолооового 4мльтра, т.е. отношение центральной частоты (принимаемой за единицу) к полосе пропускания: К-лг / (1.57) Оси чаототР уЫ Ь айву связаны цреобразонанием У=у (Ы'-р~).

(1.%) Разрешив (1.%) относительно Я, получше / ~+ — + —- фул (1.59) Таким образом, некоторая точка исходной шкалы частот.й~ преобразуется в две точки новой шкалы Ы+ и Ы , лекашне выше и нике нсрмирующей частоты Ы = 1. Нетрудно проверить (из (1 59)), что имеет место симметрия а'а'-к П.бо) На рис. 1.23 показана трансформация АЧХ. Точка ~? = О иере- ходит в У = 1. Граница полосы пропускания 4НЧ Ы» = 1 преобраэу/ Р ется в две точка: Я», и Ы» — верхнюю и никыюю границы полосы пропускания ПФ.

Разность меяду ними есть полоса цропускания лЫ'- )т„-Ы (1.81) (1.62) (1.64) (1.67) Рис. 1.24 Рнс. 1.25 29 определяющая параметр преобразования р (1 57). Надо отметить, что центральная частота У = 1 находится не на равном расстоянии от границ, так как (см. (1.60)) Ы'-1ы/-Ы Ы' = —, я„с- ~ е„у' Однако при больших ф зта несиыметрия очень мала: г .йР,= ~ — ° Ы Рис. 1.23 В целом АЧХ полосового Уииьтре в своей "нерхней" части повторяет в немного де4о)уязровазном ваде АЧХ ФНЧ. "Нижняя" полоса частот нв яаляется строго "зеркальной" по отношению к "верхней". Заметим, что если построить АЧХ в логарифмической шкале частот, то она окажется строго оюметричной относительно Ы = 1.

На рис. 1.24 показано преобразование полюсов. Как видно из рисунка, конбигурация полюсов нрнблнзительно сохраняется, но они переносятся нз' района начала координат в район~5'~'. ~ (и у / ) . Если Фильтр сравнительно узкополосен (Д>Х), пересчет псзюсов оказыеается очень простым: все оазмеры (рис. 1.25) уменьшаются ! в отношении —: Рр.= '~М~ РА = Г l Г ~,ь .,~М~ Гу- ф (1.

63) Если ф невелико (Х ~.к ), для пересчета следует использовать более точные йормулы: аС Ж+ б ~ М-6 .АУ р~ = — ж — ' м~ — 4- ~у )) ~ .ю,г-з где аС,г9 ~-~~ — "~ -~ — ) -Г;.Е- Г'р"; р Итак, преобразование (1.56) позволяет по известной диаграмме, полюсов и нулей базовой 4инкцзи НЧ найти дваграмзу полюсов и нулей передаточной фикции полосового Чмльтра с нормировкой пали частот относительно центральной частоты.

При преобразовании ззвньез только с полюсами появляются дополнительные нули,бт = О, как и в случае ЮЧ. Звено первого порядка трансформируется в звено второго порядка с двумя полюсами и олпзз нулем: А, А',ь' ~~~Я ф фл Ь) (~~Р ~~(Р~Ргю) Звено второго порядка превращается в звено четвертого порядка с дзукратнвм нулем: Х,' (',ь') (1.66) Я-~ 'М>-Ф ")(Р'-Ф» ~ Ф-РА") Звено второго пооядка с полюсеми и нулями переходит в звено четвертого порядка с четырьмя полюсами и четырьмя нулями. Координаты полюсов можно найти по (1.63) кхи (1.64), а ну'лей — по 0.59). можно также воспользоваться пересчетом звеньев, зазанных коэИмцнентамн А, Ю, С ф~ ФФ= .' — А7Ф~Ь т ~ АЯ ~Р Г К «)(ля простоты записи штрих у новой переменной,б опускаем.

где У„. и У„- границы верхней и нижней полос пропускання. Но)ьщруюзая частота Ы = 1 соответствует центральной частоте зоны подавления (режекпяи) . Сравнив П.73) с форыуламн пеоесчета для полосового Чмльтра (1,56) и ФВЧ (1.48), можно наметить следующий путь преобразования. Сначала произвести пересчет плоскости Ю в плоскость о" как для Чмльтра ВЧ: ,ю" Ватам осуществить пересчет,в"-р' по методике пересчета полосового фильтра: ~Р' ) -~ Очевидно, что при этом связь,Ь е' соответствует (1.73).

Рис. 1.26 На рис. 1.26 показана трансфореция АЧХ базового Фильтра в АЧХ режекторного флльтра. Кажная характерная точка шкалы частотл~ Р и У, базовой АЧХ пересчитывается в две точки Я~ н ~рт по фо)учул е У,= / + (1. 75) )Фчеет место симметрия каждой нары относительно единицы: ф I У, =р,. 1.10, Песехо ные хаоакте нстнки ямльт ов Га те оста Чебышева н эллиптических. чшльтоы Бесселя При постановке задачи о реализации бмльтра, обеспечивающего "идеальную" частотную селекцию, ничего пе говорилось об искажениях полезного сигнала прн прохождении его через Ямльтр. Очевидно, что 32 если спектр входного сигнала не укладывается полностью в полосу пропускания фильтра, то неизбежны искаженны выходного снгввлв.