Тронин Ю.В., Гурский О.В., Синтез фильтров. Учебное пособие, страница 3

1.14). Груцпа полюсов расположена почти тзк ке, как полюсы Чььзьтра Чебышева (по крайней мере, при малых АУ ). Ну- ли лвкат на мнимой оси в некоторых точках У~, Р,,..., в кото- рых КАР)»О. Число нулей меньше числа полюсов. При увеличении ца- раметра о частота первого нуля.уР~, уменьшается, одновременно не- сколько изменяется псхокепие полюсов. В АЧХ при том ке сУ„узелкчи- вается крутизна ската, но возрастают пульсации а~ в зоне зздерки- зания.

Влияние конфзгурации полюсов и нулей на характер АЧХ стано- вится более понятным, если рассмотреть вклад какдого отдельного полюса и нуля в АЧХ. Передаточная чункция кф)- ф,.()ф,рб ' )(р ~у+ . ) ф .~.яЮ ~.я~~ т ~ Комплексная частотная характеристика (~УР~)+Е/~ЯФ2ЦЯ~т1 (1-2Р~)+~'(гЯ-Р ) Амплитудно-частотная характеристика ке).~код~-, „,, -~ — ~ По такой ие методике определяются полюсы фильтров Чебышева, а танка полюсы и нули эллиптических фяяьтров, Однако здесь выкладки значительно более трудоемкие, и поэтому имеет смысл пользоваться нв расчетными формулами, а данными справочников, в которых приведены точные результаты. Полезно иметь представление о диаграмме полюсов оюдьтров Чебышева и диаграмме нолюсов и нулей эллиптических фьяьтров, а такие о том, как изменение конфигурации диагршмзы влияет на изменение АЧХ.

На рис. 1.13 в качестве примера представлено несколько диаграмм полюсов Чшльтров Чебышеза и приведены соответствующие зм АЧХ. Полюсы распсхокены на эллипсе. В зависимости от порядка гт и заданной неравномерности в полосе прспускания Р„ (или параметра Е' ) раамеры эллипса изменяются. При ((визированном п. "расширение" эллипса приводит к уменьшению пульсаций в полосе прспускания и более пологому срезу АЧХ (см.а и я на рис. 1.13). при чшксированном ~7„ размеры эллипса тем больше, чем нике порядок ю (см.

с и ы' на рис. 1.13). Диаграмма полюсов и нулей эллиптического чмльтра зависит не только от гг и а,, но и от модульного угла Р (см. примеры, п1м- 16 Рис. 1.13 Рис. 1.14 Запишем выражение для передаточной функпии по заданным полюсэмРпг,Рог.". и нулям Ро~ ° Аы ° ". (Р Ро3(Р-Рог)... Ф~-,ь,)й-м)...

Перейдем к комплексной частотной характеристике (,Ь ,~'~ ) и ее модулю: 17 !КЫ) 1= ~~ (1,26) (~Ж Ан!(~~Б Ае!". Каждая скобка в числителе и знаменателе представляет собой ' длину вектора, проведенного иэ особой точки Д, кли,щ, в текущую точку,~'У мнимой оси (рис. 1.15): АМУ) деЩ)... К(Я-,Е,'М К,' Ю" (1,26) Вкзап в АЧХ отдельного нуля кпи полюса ("парцнальная" АЧХ) определяется там, как иэменяются с частотой длины этих векторов: К.'~В- — '; К,'('Е)-д(Б.,), (1.27) тря раанесенные реэонансные кривые (рис.

1.17,б): центрэльную— более широкую и низкую и две боковые - более высокие и уэкие. Оказывается, что ширина и взаимное расположение их подобраны так, что при перемножении получается выровненная результирующая АЧХ (рис. 1.17,в). а) 4 Рис. 1.15 Рис. 1.16 На ршс. 1.16 показана парциальная АЧХ, связанная с 4 -м полюсом,б„л=-ы„»,у,е„л (рис. 1.16,а). Она реэонансного типа с максимумом в точкеж.

=я„л (рис. 1.16,б). Величина максимума у тем больше, чем ближе полюс к мнимой оси [на рис. 1.16,б пунктир соответствует смещению полюса блике к мнвмой оси).Характер спада кривой прв большом удапеивиуР от 6,Л не зависит от с~э н является гиперболическим К л(Ю- Однако, если д. пронормировать кривую по ее максньщму, вывод будет другой: чем ближе полюс к мнимой оси, тем круче (относительно) спадает парцнальная АЧХ (рис. 1.16,в), тем больше затухание в зоне валеркина пня. Рассмотрим АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева третьего порядка как проиэведения трех парциальных АЧХ (рис. 1.17).

Три полюса фильтра Баттерворта, расположенные на окружности, создают 18 Рис. 1.17 Полюсы фшльтра Чебышева приближены к мнимой оси (рис.1.17,а), Соответствующие парцнальные АЧХ более высокие и относительно более Узкие (рис. 1.17,г). Их произведение дает неполностью выровненную АЧХ вЂ” остаются пульсацэи (рис. 1.17,д), которые тем больше, чем уже эллипс. Характер спада АЧХ на больших частотах не зависит от расположения полюсов и определяется только их числом. В данном случаеКЯ)- ~~уз.

Таким образам, кривые, показанные на рис. 1.17,в, и д, имеют одинаковые "хвосты" (эатухание растет со скоростью.ГО~ дБ/дек). Однако, если обе кривые пронормировать пс их максимумам (рис. 1.17,е), то АЧХ фильтра Чебышева будут иметь более крутой спад. Рис. 1.18 Рис. 1,19 19 а) се г 4 с Сс (1.36) (1.30) (1.42) 21 Пврцнэльные характеристики, связанные с нулями эллиптических Чььльтров, — это линейно-ломэные зависимости (рис.

1.18). Их вклад в результкруюшую АЧХ очевиден (рис. 1.19, где цийреми 1-5 обозначены полюсы и нУди и соответствУющие им пэрцизльные АЧХ). Отметим, что при Ы кривая спадает квк ~/у'* ~, где тгз — число нулей. 1.7. Квк пользоваться сп вочникэми по йзльтоэм В справочниках (нэпрзмер, в ~1-31 ) приведены полные таблицы исходных денных для записи передвточных Чункций йнльтров Беттерворта, Чебышеве и эллиптических. Все данные относятся к "базовым" функциям, т.е. к передаточным йункцзям Чзьльтров НЧ в но(мирсзэнной (безразмерной) Р -плоскости.

Для полиномивльных йшльтров (Бвзтерворта и Чебышева) приводятся либо координаты полюсов Ьл= ~л -;~Л. (1.28) либо коз$Вщиенты цолинсмв-знаменателя Юг ,Сд . 3ти денные позволяют срвзу ээписать их базовые передаточные Фнкции; К(Р2 1. Ур.ря (1.29) ( э,ь "Щ Р ~ Сг / Р+ ф' где я — произвольный коей(йщиент (его мозно использовать для но1мировки АЧХ) . В записи (1.30) передаточная йункцяя представлена кэк произведение передвточных Щ~нкцяй звеньев второго порядка и одного звеня первого по)мдкэ, если порядок ультра нечетнФ. Для эллиптических фккьтров добавляются еще и координаты ~елей АЯ ~'~ай (1.31) или уквзывэются не двв, е т1а коэйфицяентз: Ал,~~,сл.

Газовые передаточные йункции эллиптических 4мльтров зэписывзются соответственно тек: кь)=~,п „„"; (1.32) Р чг Оопостевзм записи передеточных Чинкций одного звене второго порядке через координаты, через козййициенты, э тэкке через параметры звена,Лья (рио. 1.20). Рис. 1.20 Для йзяьтрз только с пслюсзми ,й, $, КбМ- .. = . ' ...

(1.34) (Р-а -~р )(р~~ +~'р ) рэ-~,~ Р+(мэууэ г А; КФ-Р..ю Р-с (1.35) l ~~ сг йУр е У у г а г Р ' — Р + —,Ь т "-'Рр +шр Сгк Л,Сг В записи (1.36) использованы обобщенные пэрзметры звенарезонзнснзя частота а~р и добротностЫ~~ аг- 4= — ~ (1.37) л сг Для бшльтрз с полюсэми и нулями «.РФог)Ь.ФА) А О ' ~,~) К(Р) г г ' (1.

38) l1 ='кгРк'лр-"ь "кф ) Р'-2.МР (4 Ук 1 ' ,й„~а~+ Фг) ,Ь .Ф Р й~ ' ® э ~ ~ э ер Р ~ — ~Ье Ь е — Р~юр КСя ~. Сг 4 с =с с а(,- о = (~= —. р -~ — ' (1 ° 41) С Я;" р,,с' у' ~с Иэ сопоставления (1.34)-(1 41) прослеживается смысл коэйЪицнентов. Резонансной частоте звене й~~ соответствуют выражения ир ~г Й~ ~у~~ с где я.г — седэус (нли модуль) полюса. Добротность звена »,' Я~ м~2 ) 4~)- 2 с» )в ц.43) щ % )))а))»))) пйдййа ф» . (1.43) 22 У" (1. 44) г! с»! г! ~»! Добротность полюса тем больше, чем ближе он находится к оси~'У к чем выше он расположен. Частота режекцкн ю. определя-) ется координатой нуля кпн коз((фнцыентам,т» . бф .)Р„у-Й» .

(1.45) Форщулы (ХА2), (1.43) и (1.45) цозволяют перейти от одной Фо)д)ы записи табличных данных ( (й У» ,5Р»» ) к другой ( »» Д~, Г» ) ° Для авена первого порядка единственный полюс Щ =-«~ и один коэф)ьп)иентв' связаны простым сотношением Ю' - Сг. (1.46) Итак, для еапжси базовой перелаточной Функции по справочным данным достаточно подотавить кх в (1.29), (1.30) влн (1.32), (1.33) . Пйййер 1 2 'Фильтр Чебышева третьего порядка с неравномерностью с;Ъ = 0,5 дБ задается координатами трех полюсов: ,ут= - Р ВЕБ, Ог,з =" ДЗУМ~ ь ВЛ.

Бежевая передаточная Рнкцкя ~~~~»~»р.авив р' г авали~ ~амз' ьва2') ,Ь файф~ )ь»+45Мф +Ю,УЩ П))жмем 1 3 Эллиптический )йильтр с щ = 3, гт» = 1 дБ, сух = 30 дБ в справочнике задан кое(($ицкентами: )У Г 3,8У( 0,4Н (,056 0,%0 Еавовая передаточная Функцня ,Ь~ У,Б7У КЩ- 4 ь.о,5вв ~Р-омур ~о<в Звено второго порядка, входящее в Фшжьтр, вмеет следующие параметры: частоту режекцкн Ы~ =»'5,8_#_ = 'Ф,Я~ частоту резонанса ме = Л,Ж6м(',006; добротность Ц = -»-- = 2,95.

=Х' 0,4(й Прн поиске исходных данных в справочнике надо нметь в виду, что все онн упорядочены по возрастанию порядка Фшжьтра ю н велжчине затухания а» (т.е. по допустимой неравномерности в полосе пропускания). Для Фильтров Баттереорта в некоторых справочниках даются таблицы только с указанием порядка гт (без задания )У» ). В етом случае предпсоигается, что граничная частота У» = 1 определена цо спаду 0,707 ( 4у» = 3 дБ). При других эначенкех )7» следует лишь снизить граничную частоту (1.14).

Для нахождения табличных двныых )(ихьтра Чебышева необходимо знать хак гь, так к )т» . для зллиптичеоках Фшльтров введено также упорядочивание по значенвю параметра В (модульного угла) кен одноэначно связанного с ням затухания О~ . Выдерккн кв справочных таблвц даны в пркхоженин. Мы раосмотрелн, как получить базовую Функцию Я~9, волн иэ-.

вестны тяп ф;льтра к его пармеетри (м, о',~тл ). Часто прк проектировании не задаются заранее тнп Фмльтра к его порядок. Известно лишь, что требуется обеспечить заданную неравномерностьУ» в полосе О... «» я заданное затухание Оу в полосе «миф. При этом тып )(жльтра мозет бить любж, а порядок его - по воаможностн наженьшж. Прежде чем кокать в сщшвочнжке данные для базовой'$ункцвиКЩ, нужно оценить порядок Фильтрагх который обеспечивал бы все трн заданные величины: а„а~, Уу--~ ° Обычно в начале ощшвочника приводятся грайшкк (номограммы), позволяющие провести такую оце„„у форма номограж в разных справочнвках неодинаковая. Одна нз наиболее удоб- ш, них номограмм показана на рыс.