Тронин Ю.В., Гурский О.В., Синтез фильтров. Учебное пособие, страница 2

В полосе прссускания Ол в)в~ она дсэанв оставаться малой (например, не более 1), тогдв неравномерность К~У) будет ограничена выбором коа<Щкци- РГа энта д' . На границе полоса пропускання Ю=/, В переходной зоне ГлЫщ УР крквая дськна быстро нарастатЫ в полосе задеркиванкя Ы Я~ она лсакна оставатьоя достаточно большой (ркс. 1.5); Параметр Е ш/ в (1.11), (1.12) выбк- 3 рвется таким, чтобы мозно было обеоцечить Ркс. 1.5 допуствыую неравномерность в полосе пропускання. При Е = 1 мзк- свмальнИ спад АЧХ составляет )К(Ы=/)!- 4~ ~(д О 707 ылк Д = 3 дБ.

Лля обеспечения меньшей неравномерности следует принятьгс/ (см. табл, 1.1). Широко известны три "классических" типа фильтров: омльтры Баттесворта, Юильтры Чебышеве и эллиптические Фильтры, Для ннх составлены подробные справочники. "",сть еще одно ограничение на ГМ), вытекающее кз ((ызическо- го смссло (1.1Т): СМ) дслкна бить неотрицательной. ® 1.3. Рис.

1.7 Рис. 1.6 рэ лю Рис. 1;6 10 Фаиьтры этих трех твпов отличаштся друг от друга выбором $ппщии фильтрации ЕЯ) . В перьях двух типах в качестве ~Я) выбраны полипомы, а в третьем — дробно-рацдопальпью функции. В фкиьтре Баттерворта полиномиальпая функция фильтрапиийй) выбирается таким образом, чтобы обеапечивался как Моипо болев плоский участок в области малых частот. Математически зто означает, что в полипоме степени Зю Г1Я=о а,Я .а~Я" „..а„У коэчфп(кенты зукко определить так, чтобы и саье Чупкцдя, и максимальное число ае производных были равны пулю при и' = О. Оказывается, что для этого достаточно выкинуть все члены, кроме последнего. Например, для и = 2 Г Я=а +и, У Ю У» Проиаводные от Чпвкпки будут с~Р /Г л ~йэ г Я ~ ~у г Я вЂ” -За Ы- йУ,У' — У.-Еа, +~га,а Р~ ,~~(в -,гЮ У; — „-.~~а .

Выбрав а = О, сг = О, мозно обнулить (при УР = 0) сэму фуякпиш и три ее производные; коэфрициепт Пд = 1 взят для того, чтобы ~~Я~И Итак, ф~ыкпия чшльтрацзи Баттерворте имеет ввд ~(И=У ". Чем выше порядок фильтра п, тем па большем Участке ~~Ю~ "привета" к нУлю (рис. 1.6).

АЧХ фильтра Баттереорта порядка т будет / м'ГЯ-~~ (Х.13) Вид АЧХ фьльтра Баттерворта приведен па рис. 1.7. Ерввые косят мопотоппо спадаьвмй хвректер. причем в полобе пропускапия чем ваше п, тем блвшз к горивоиталв. На граивпз полосы кривые опускаются до д~'( а„= 3 дБ), а затем резко ыэдашт, особеыко при больших гь . Как видно из (1.13), параметр ~ в фьяьтре Раттерзорта обычно не ввщ(итси. Если требуется ио всей полоое прсзуокапия, вплоть до грапкцы, выдеризвать эатухаиие меньше 3 дБ, то это внполыяется простым переносом граничной точки, при этом грапипей считают пе Б) = 1, а некоторую более нзэкуш частоту Ы;, где затухание пе превышает заданной велвчвпы а„(иляРГУ')~б'~). (ом. ршс, 1.6 и 1.7): (1,14) лм При больших частотах, текил, чтоУ»< из (1.14) видна Э асзмптотика: (к(Я(- — и ' / что соответствует затухание 7 Ф) =,гО ~у а"=,гад ф йч.

(1.16) В логаркфэичеоком масштабе шкалы частот это есть линейный закон нарастания (,рис. 1.8). Говорят, что затухание растет оо скоростьш Юи дБ на декаду (т.е. при увеличении частоты в 10 раэ) или, что то ле самое, оо скоростью 6и дБ па октзпу (т.е. при удвоении частоты). 1.4. ЩШХ))У ЧД~УДйа В атнх фняьт1ех в качэстве функции 4мльтрация испольауэтся квадрат пслинсма Чебышева Т, (,х) стэпэни уз: б(Ж у~,е Тл~ц~' Соотвэтственно их АЧХ будет !к>ЫЛ-~ (1.17) Псзинсмы Чэбышева - это спэциальныа 4)цппми, широко используемые во многих прннокениях. Их отличительной чертой является то, что на участке ьх( ну они имеют колэбательный хврзктер в предэлях +1. На границе, т.э. прн х = 1, 7 ьх) = 1.

При дальнейшем росте „я функции монотонно нарастают, прием тэм быстров, чем выше отепеньи . Аовмптотичэски при г>эу РЕ 7 >у ~а7Ф~м Б (1.18) т(>т) Из матэматики известно, что полинам Чебышева 7' ух) нарастает быстрее любого ДРУгого полинсмв той Яе стэкенн,Уча и а + > > при тех из отклонэниях (-1) внутри участ~Тм) ка )ч(яу. )ч>мино этим свойством и обусловлен выбор Т, Щ в качество 4инкцян 4мльтрацни: г он обэспечивает наиболее крутой срез АЧХ. ябэ) Типичный вяд полинсма ЧебышеваТ>,уЫ~, Уз = 7> фунэювн 4мльтрации и Ачх 4вльтра 1 у7ЙЪ приведены на рио.

1.9. Для АЧХ 4шльтров ! Чзбыиэвз хзрзктэрны рзвнсээлнкиэ пульсзцнн 1 ! в цолосе прспусквння и резкий спад в перв- 1 ходной зоне. Веязчзмь пульсаций задается выбором параметра Г Рис. 1.9 б'=Ю "-7, (1.19) Харяктэр спада АЧХ следуэт из асимптотикн 7 Ю7' (1.18). Прн больших частотах а(ур)~30$7,(й>)-30фр "б(>з-4~~ЗЪгфЫ-.гаф- (1 2О) Г' 12 Скорость нарастания затухания с ростом частоты здесь танке равна 2Ою дБ/дек. Однако, воли сравнить 4мльтры Чебышевв П.20) и Баттерзорта (1.15), то видно, что при рввной нерзвномэрности в полосе пропускания ( а„= 3 дБ, Е = 1) 4мяьтр Чебышева имеет постоянный "выигрыш" бОт->7 дБ, т.э.

его АЧХ в полосе зэдэриивания идет существэнно нике. Еоли уменьшить допуск ва нэрзьоусмэрность в полосе пропуекания, то это вызовет снииэние затухания на пэрн4ерии нз вэличнву,гафт. (Я 1.5. В эллиптических фультрэх в качэствэ функпни 4шльтрвпзи выбраны квадраты дробей Чебышева Р„7г): / ~~'Э=>'7>У~в> ' >»>~>' ~~.е >„»» ' (1.21) Типичный ввд функции А>,>7л), и У, показан нв рис.

1.10. В интервале!х!ьу функция Т ух7' имээт колебательннй харзктэр того ке тина, что и функция Т,уя). Однако дзльнэйшэе эе повэдэниэ сущэотвэнно нное: прнхэу функщяА'»Ая) розно взрастает, отрэмясь к бесконечности, цри некотором .х~, . Это полюс функции А>„7л~(и> слэдсвятельно, нуль функций 6'7л) и )куй)! . В эависвмости от порядка уз функция Р„Ы~ монет вмять эщэ несколько разрывов (лр~,лру, ). Существенно то, что мазду точками разрывов функция по модулю нигде не спуоквэтся низе нэкоторого значения >Т„>у„.

Описзнноэ повэдениэ функции >У„АУ определяэт ввд АЧХ эллиптических 4мльтров (рис. 1.11). Для них характерны равновеликие пульсации как в полосе проыускания, так и в полосе эздеркивания и очень крутзй переходной участок. Дроби Чэбимэва — обшнрный клаос функций. При данном порздкэ п существует не одна дробь У,>Ууууу(в отличие от единотвенного п>юино' ма Т (.г.) ), а мнокество дробей, в котором функции отличаются друз' П ки от друга некото'~ам парамэтром б> -. С увеличением У точка первого' "В литературе эти 4мяьтры наэывзют такиэ 4мкьтрами Ияуэрз и 4мльтрамн Золстарэвз. хяПрн анализе функций фильтрации нз основе дробей Чэбышева Ф, Ж оказалось удобным цредставнть отношение характерных чзстот й 7 = ~/у кзк синус некоторого угла Юг л>»а= ~~у .

этот угол . эщу> принято нззывать "модульным углом". Посрэдством этого пзрамэтрз с использованием эллиптических функций вычисляются всэ харзктэристики передаточной бинкпки (отсюда, кстати, к название класса чшльтров - эллиптические). разрыва п)дп.'аижается к 1 (т.е. крутивна спада АЧХ возрастает). Од~авраменко уменьшается величина А',;„(т.е, пульсации в полосе задерживавши увелвчиваютоя) .

Рис. 1.11 Рис. 1.10 Из пряведенного сравнительного анализа функций Чшльтрации, а следовательно, и АЧХ трех 1ассмотренных типов фильтров, можно отметать вх достоинстна и недостатки. Фнльтры Рщтте1еорта отличаются самой равномерной (макснмально плоской) "вершиной" АЧХ, но сравнительно пологим "срезом". )(ля получения крутого "среза" необходимо выбирать высокий порядок фильтра. Фильтры Чебышева дают быстрый спад АЧХ, причем важно, что он идет монотонно.

При больших частотах Ю~~~ ) 6мльтры Чебышева обеспечивают практически полное подавление помехи. Першина АЧХ имеет пульсирующий характер, Пульсации могут быть сделаны очень юлями (ценой ухудшения спада в переходной зоне). эллиптические ймльтры могут обеспечить чрезвычайно крутой переход от полосы пропускания к полосе задерживания. Недостатком нх АЧХ является сравнительно слабое подавление помех на высоких частотах. 1.6. г ммы полюсов и лей "злассических" ьт в и нечетное; Рнс.

1.12 Как указыналооь выше, полюсы расположены в "нвадрантнсй" симметрии. Оставив половину полюсов, лежащих в левой цолуплоскости,б, мы тем самим оцределвм полюсы передаточной функцниА,,юл, „ „ю~, а следовательно, и саму Функцию КОш) (с точностью до произвольного козффхпиента 4~ ): Согласно методике, изложенной в равд.

1.2, по выбранной частотной характеристиками(У) можно найти передаточную функцию КЩ #ля фильтров Батте1щсрта выкладки оказываются очень простыми. Сначала осуществляют переход отб'(Р~' к передаточной функции по мощности б'(,Ь) заменой ~'Я Р: у УФ2 рь ФМ ' (1.22) /+Я =У ~-У),О Функпия имеет Гп полюсов.

Определим их, приравняв знаменатель к нулю: л 6" (- /~,о -Р ч Гч д,44, и-нечетное 3 (1 22) =$~Я; гт-четное. Мг л г'Гя'АлЯ )Фьея в виуу, что Г=с*~ и -У=я, окончательно полу- ,МХ А,=с 'я~,/7,5~ ) (1.24) ,Ьл= я 'з, гг четное.

й=аб~,...,З -г Таким образом, 'все Бг полюсов лежат на единичной окружности Л в ноРмиРованной,й -плоскости, ДелЯ ее на Равные Дуги Уз . Если гх нечетное, то среди полюсов есть два действительных полюса ф = -+1, а если яз четное, то все полюсы образуют комплексносойряженные пары (рнс. 1.12), 14 к(р~- „ А> й~ю-,с > Принтер 1 1 Найти передаточную Чпнкцию фильт1ш Баттврзорта третьего порядка, Из (1.24), а такие из рис, 1.12 винно, что р;-А~ =е =сж( ~ ~~ц~'лги~ у (= -Охх/ у веденные на рис.