Лекции по ТВиМС, страница 7

Способ решения поставленной задачи зависит от поведенияфункции ϕ на участке [а, b]: монотонна она на этом участке или нет. При этомотдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонногоубывания функции.Y = ϕ(х) – монотонно возрастающая функция. Определим функциюраспределения G ( y ) случайной величины У.

По определению она равнаG ( y ) = p (Y < y ) = p (ϕ ( x ) < y ) = p ( X < ψ ( y )) =ψ ( y)∫−∞f X ( x ) dx ,где ψ(y) – обратная функция ϕ(x).Для выполнения условия Y < yнеобходимо и достаточно, чтобыслучайная величина Х попала научасток оси абсцисс от а до ψ(y). Такимобразом, функция распределения Y дляаргумента X, распределенного винтервале [a, b], равна⎧ 0, y < ψ ( a ),⎪ψ ( y )⎪G ( y ) = ⎨ ∫ f X ( x ) dx,ψ ( a ) ≤ y ≤ ψ (b ),⎪ a⎪1, y > ψ (b ).⎩Y = ϕ(х) – монотонно убывающаяфункция.ОпределимфункциюG( y)распределенияслучайнойвеличины Y.

По определению онаравнаY = ϕ ( x)ψ(b)yY<yψ(a)xf ( x)ψ(y)axbX<ψ(y)G ( y ) = p (Y < y ) = p (ϕ ( x ) < y ) = p ( X > ψ ( y )) =∞∫ψf X ( x ) dx ,( y)где ψ(y) – обратная функция ϕ(x).Для выполнения условия Y < y необходимо и достаточно, чтобыслучайная величина Х попала на участок оси абсцисс от х = ψ(y) до b. Такимобразом, функция распределения Y для аргумента X, распределенного винтервале [a, b], равна:⎧0, y < ψ (b),⎪ b⎪G( y) = ⎨ ∫ f X ( x)dx,ψ (b) ≤ y ≤ ψ (a),⎪ψ ( y )⎪1, y > ψ (a).⎩Плотность вероятностей случайной величины Y = ϕ(x) для любогомонотонного случая имеет следующий вид:⎧0, y < ymin ,⎪g ( y) = G′( y) = ⎨ f X (ψ ( y)) ⋅ ψ ′( y) , ymin ≤ y ≤ ymax ,⎪0, y > y .max⎩(7.1)Пример.

Пусть случайная величина Химеет нормальный закон распределения221f(x) =e − x / 2 σ , Y = X 3. Найтиσ 2πg( y ).Y = ϕ(x)Функциястрогомонотонна, дифференцируема и имеетобратную X = ψ(y) = Y . Воспользуемсяформулой (7.1). Так как32/321f X (ψ ( y )) = f X ( y ) =e − y / 2σ ,σ 2π1ψ ′( y ) = ( y1/ 3 )′ = 2 / 3 ,3yY = ϕ ( x)ψ(b)yY<yψ(a)x1/ 3то искомая плотность распределенияфункции Y = X 3 :1− y 2 / 3 / 2σ 2g ( y) =e.3σ y 2 / 3 2πf ( x)xaψ(y)bY = ϕ(х) – немонотоннаяX>ψ(y)функция.

Алгоритм получения законараспределения Y = ϕ(x) приведен ниже.1. Построить график Y = ϕ(х) и определить диапазон значений Y [ymin, ymax].2. Диапазон Y разбить на M интервалов, в каждом из которых одинаковаястепень неоднозначности ki, i = 1, 2, ..., M:[ymin, y1), [y1, y2) … [yM-1, ymax].Степень неоднозначности ki – число значений Х, соответствующих одномузначению Y, или число обратных функций для данного интервала ψj(у), j = 1, …, ki.3. Определить обратные функции ψj(у) = ϕ –1(х) и вычислить ⏐ψj'(у)⏐.В общем случае число обратных функций ψj(у) в i-м интервале равно ki.4.

Определить плотность вероятностей g(y) по следующей формуле:⎧ 0, y < y m in ,⎪⎪M⎪⎪ k ig ( y ) = ⎨ ∑ f X (ψ j ( y )) ⋅ ψ ′j ( y ) , y i −1 ≤ y < y i ,⎪ j =1⎪M⎪⎪⎩ 0, y > y m ax .(7.2)В частном случае, когда обратные функций одинаковы для всехинтерваловψ ′j ( y ) = ψ ′( y ), ψ ′j ( y ) = ψ ′( y ) , формула (7.2) принимает вид⎧ 0, y < y m in ,⎪M⎪⎪g ( y ) = ⎨ k i ⋅ f X (ψ ( y )) ⋅ ψ ′( y ) , y i −1 ≤ y < y i , ,⎪M⎪⎪⎩ 0, y > y m ax .(7.3)а если величина Х равномерно распределена в интервале [a, b], т.е. ее плотность⎧1/(b − a), a ≤ x ≤ bравна f X (x) = ⎨, то выражение для g(у) можно представить как⎩ 0, x < a, x > b⎧ 0 , y < y m in ,⎪M⎪⎪1g ( y ) = ⎨ ki ⋅⋅ ψ ′( y ) , y i −1 ≤ y < y i ,(7.4)ba−⎪⎪M⎪⎩ 0 , y > y m ax .Числовые характеристики функции случайного аргументаПусть Y = ϕ(х), где X – случайная величина с известным закономраспределения, и необходимо определить числовые характеристики Y.

В томслучае, когда закон распределения Y определен (см. выражения (7.1 − 7.4)), точисловые характеристики Y легко вычислить по формулам (5.1 − 5.7). Однако,если закон распределения величины Y в явном виде не нужен, а необходимытолько ее числовые характеристики, применимы следующие формулы.Если Х – дискретная случайная величина с известным рядомраспределения вероятностей, тоmk∑= M [Y ] =Y] − mY2( y ) = M [YkD Y = M [Yαn2=ϕ (xi )pi ;i=1n∑i=1] =ϕ 2 ( x i ) p i − m Y2 ;n∑ϕi=1o kµ k ( y ) = M [Y] =n∑i=1k( xi) pi ;(ϕ ( x i ) − m Y ) k p i .(7.5)(7.6)(7.7)(7.8)Если Х – непрерывная случайная величина с известной плотностьювероятностей f(x), то формулы принимают вид+∞m Y = M [Y ] =D Y = M [Y2] − mY2∫ϕ (x) ⋅f ( x ) dx ;(7.9)−∞+∞=∫ϕ−∞2( x ) ⋅ f ( x ) dx − m Y2 ;(7.10)α+∞k( y ) = M [Yk∫ϕ] =( x ) ⋅ f ( x ) dx ;k(7.11)− ∞µo kk( y ) = M [Y+∞] =∫(ϕ ( x ) − mY)k ⋅ f ( x)dx .(7.12)−∞Характеристическая функция случайной величиныitXПусть Y = e , где X – случайная величина с известным закономраспределения, t – параметр, i = − 1 .Характеристической функцией случайной величины Х называетсяматематическое ожидание функции Y = eitX:⎧itx k⎪ ∑ e p k , д ля Д С В ,⎪ k =1] = ⎨ +∞.⎪ e itX f ( x ) dx , д ля Н С В .⎪⎩ −∫∞nυ X ( t ) = M [ e itX(7.12)Таким образом, характеристическая функция υX (t) и закон распределенияслучайной величины однозначно связаны преобразованием Фурье.

Например,плотность распределения f(x) случайной величины X однозначно выражаетсячерез ее характеристическую функцию при помощи обратного преобразованияФурье:f (x) =12π+∞∫ υ (t )e− itXdt .(7.13)−∞Основные свойства характеристической функции:1. Характеристическая функция величины Z = aX +b , где X – случайнаявеличина с характеристической функций υ X (t ) , равнаυ Z (t ) = M [e it ( aX + b ) ] = e itbυ X ( at ) .(7.14)2. Начальный момент k-го порядка случайной величины X равенα k ( x ) = υ X( k ) (0)i − k ,(7.15)где υ X( k ) (0) – значение k-й производной характеристической функции при t = 0.3.

ХарактеристическаяфункциясуммыnY = ∑ X k независимыхk =1случайных величинслагаемых:равнапроизведениюυ Y (t ) =n∏υi =1Xiхарактеристических(t ) .функций(7.16)4. Характеристическая функция нормальной случайной величины спараметрами m и σ равна:υ X (t ) = eitm −t 2σ22.(7.17)ЛЕКЦИЯ 8Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределенияДвухмерная случайная величина (Х, Y) – совокупность двух одномерныхслучайных величин, которые принимают значения в результате проведенияодного и того же опыта.Двухмерные случайные величины характеризуются множествамизначений ΩX , ΩY своих компонент и совместным (двухмерным) закономраспределения. В зависимости от типа компонент X, Y различают дискретные,непрерывные и смешанные двухмерные случайные величины.Двухмерную случайную величину (Х, Y) геометрически можнопредставить как случайную точку (Х, У) на плоскости х0у либо как случайныйвектор, направленный из начала координат в точку (Х, У).Двухмерный закон распределенияyвероятностей – функция, таблица,правило, позволяющие вычислить(X,Y)вероятностилюбыхслучайных Yсобытий,связанныхдвухмернойслучайной величиной (Х, Y):.p ( α ≤ X ≤ β ; δ ≤ Υ ≤ γ ) ∀α, β , δ , γ .0xXДвухмерная функция распределенияДвухмерная функция распределения двухмерной случайной величины(Х, Y) равна вероятности совместного выполнения двух событий {Х < х} и{Y < у}:F ( x, y) = p ({X < x}⋅{Y < y}) .(8.1)Геометрически двухмерная функция распределения F(x, y) – это вероятностьпопадания случайной точки (Х, Y) вyбесконечный квадрант с вершиной вточке (х, у), лежащей левее и ниже ее.y(x, y)Компонента Х приняла значения,меньшие действительного числа х, этоFX ( x ) , афункция распределениякомпонента Y – меньшие действительногоxчисла у, это функция распределенияx0FY ( y ) .Свойства двухмерной функциираспределения:1.

0 ≤ F(x, y) ≤ 1..Доказательство. Свойство вытекает из определения функциираспределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, непревышающее 1.2. F(–∞, y) = F(x, –∞ ) = F(–∞, –∞ ) = 0, F(+∞, +∞) = 1.3. F(x1, y) ≤ F(x2, y), если x2 > x1; F(x, y1) ≤ F(x, y2), если y2 > y1.Доказательство.

Докажем, что F(x, y) − неубывающая функция попеременной х. Рассмотрим вероятностьp ( X < x2 , Y < y ) = p ( X < x1 , Y < y ) + p ( x1 ≤ X < x2 , Y < y ) .p( X < x1,Y < y) = F(x1, y) , тоp( X < x2 ,Y < y) = F(x2, y) , аТак какF ( x2 , y) − F ( x1 , y) = p( x1 ≤ X < x2 , Y < y) ⇒ F ( x2 , y) − F ( x1 , y) ≥ 0 ⇒ F ( x2 , y) ≥ F ( x1, y) .Аналогично и для у.4.

Переход к одномерным характеристикам:F ( x , ∞ ) = p ( X < x , Y < ∞ ) = p ( X < x ) = FX ( x ) ;(8.2)F (∞, y ) = p ( X < ∞, Y < y ) = p (Y < y ) = FY ( y ) .5. Вероятность попадания в прямоугольную областьp ( α ≤ X ≤ β ; δ ≤ Υ ≤ γ) =y= F(β, γ) − F(β, δ) − F(α, γ) + F(α, δ).(α,γ)γФункция распределения − наиболееуниверсальнаяформазаконараспределенияиможетбытьиспользована для описания какδнепрерывных, так и дискретных(α,δ)двухмерных случайных величин.α0(8.3)(β,γ)(β,δ)βxМатрица распределенияДвухмерная случайная величина (Х, Y) является дискретной, еслимножества значений ее компонент ΩX и ΩY представляют собой счетныемножества. Для описания вероятностных характеристик таких величиниспользуется двухмерная функция распределения и матрица распределения.Матрица распределения представляет собой прямоугольную таблицу,которая содержит значения компоненты X − ΩX = {x1, x2, ..., xn}, значениякомпоненты Y − ΩY = {y1, y2, …, ym} и вероятности всевозможных пар значенийpij = p(X = xi, Y = yj ), i = 1, …, n, j = 1, …, m.xi \ yjy1y2...ymx1p11p12...p1mx2p21p22...p2m...............xnpn1pn2...pnmСвойства матрицы распределения вероятностей:1.nmi =1j =1∑ ∑p ij = 1 .2.

Переход к ряду распределения вероятностей составляющей X:mpi = p(X = xi ) = ∑ pij , i = 1, ..., n .(8.3)j =13. Переход к ряду распределения вероятностей составляющей Y:np j = p (Y = y j ) = ∑ pij , j = 1, ..., m .(8.4)i =1Двухмерная плотность распределенияДвухмерная случайная величина (X, Y) является непрерывной, если еефункцияраспределенияF(х, у)представляетсобой непрерывную,дифференцируемую функцию по каждому из аргументов и существует вторая∂ 2 F (x, y)смешанная производная.∂x∂yДвухмерная плотность распределения f(х, у) характеризует плотностьвероятности в окрестности точки с координатами (х, у) и равна второйсмешанной производной функция распределения:p({x ≤ X < x + ∆x} I { y ≤ Y < y + ∆y} ∂ 2 F ( x, y)f ( x, y) = lim=.∆x→0xyxy∆∆∂∂∆y →0Геометрически f(х, у) – этонекоторая поверхность распределения,она аналогична кривой распределениядля одномерной случайной величины.Аналогично можно ввести понятиеэлемента вероятности: f ( x , y )dxdy .Вероятность попадания значениядвухмерной случайной величины(X, Y) в произвольную область Dравнасуммевсехэлементоввероятности для этой области:(8.5)yy + ∆yy(x,y)0xp{( X , Y ) ∈ D }= ∫∫ f ( x , y ) dxdy .x + ∆xxx +∆x(8.6)(D )Свойства двухмерной плотности:1.