Лекции по ТВиМС, страница 5

Случайные величиныбудем обозначать большими буквами: X, Y, Z; их значения – соответствующимималыми буквами: x, y, z, а ΩX – множество возможных значений величины X.Примеры случайных величин:1. Опыт – бросок одной игральной кости; случайные величины Х – числовыпавших очков; ΩX = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.2. Опыт – работа ЭВМ до первого отказа; случайные величины X – времянаработки на отказ; ΩX = (0, ∞].В зависимости от вида множества ΩX случайные величины могут бытьдискретными и непрерывными.Случайная величина (СВ) Х называется дискретной, если множество ΩX –счетное, т.е. его элементы можно расположить в определенном порядке ипронумеровать.Случайная величина Х называется непрерывной (недискретной), еслимножество ΩX – несчетное.Законом распределения случайной величины Х называется любаяфункция (правило, таблица и т.п.), устанавливающая соответствие междузначениями случайной величины и вероятностями их наступления ипозволяющая находить вероятности всевозможных событий p{a ≤ X < b}, ∀a, b ,связанных со случайной величиной.Функция распределенияФункцией распределения F(x) случайной величины X называетсявероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:F(x) = p{X < x}.(4.1)Свойства функции распределения:1.

F(–∞) = 0.C2. F(+∞) = 1.AB3. F(x1) ≤ F(x2), при x1 < x2.xДоказательство.x1x2A = {X < x1}, B = {x1 ≤ X < x2}, C = {X < x2},тогдаC = A + B, p(C) = p(A) + p(B), p(C) = F(x2), p(A) = F(x1),F(x2) = F(x1) + p(B), p(B) ≤ 0 ⇒ F(x1) ≤ F(x2).4. p(x1≤ X < x2) = F(x1) – F(x2).Доказательство.p(x1 ≤ X < x2) = p(B) = p(C) – p(A) = F(x1) – F(x2).(4.2)Проиллюстрируем эти свойства спомощью наглядной геометрическойX<xинтерпретации. Для этого рассмотримслучайную величину как случайнуюxточку Х на оси ОХ, которая вxрезультате опыта может занять то илииное положение. Тогда функцияраспределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка Х в результатеопыта попадет левее точки х. Увеличиваем х, перемещая точку вправо по осиабсцисс очевидно, что при этом вероятность выполнения неравенства X < xубывать не может (свойство 3).

При уменьшении х до –∞ событие X < xстановится невозможным, т.е. F(–∞) = 0 (свойство 1), при увеличении х до +∞ –достоверным, т.е. F(+∞) = 1(свойство 2).Функция распределения используется при рассмотрении как дискретных,так и непрерывных случайных величин.Ряд распределенияДля описания дискретных случайных величин наряду с функциейраспределения F(x) используется ряд распределения вероятностей.Рядом распределения дискретной СВ X называется таблица, в верхнейстроке которой перечислены все возможные значения СВ x1, x2, ..., xn (xi-1 << xi), а в нижней – вероятности их появления p1, p2, ..., pn, где pi = p{X = xi}.xipix1p1x2p2......xnpnТак как события {X = x1}, ..., {X = xn} несовместны и образуют полнуюгруппу, то справедливо контрольное соотношениеp1 + p2 + ... + pn = 1.(4.3)Многоугольник вероятностей есть графическое изображение рядараспределения вероятностей.

По оси абсцисс откладываются возможныезначения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений.Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых.Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностьюхарактеризует случайную величину и является одной из форм законараспределения.Функция распределения любой дискретной случайной величины естьразрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках,соответствующих возможным значениям случайной величины, и равнывероятностям этих значений:F ( x) =p( X = x i ) ,(4.5)∑xi < xгде суммирование распространяется на все значения x i , которые меньше х.Плотность распределенияСлучайная величина Х называется непрерывной, если ее функцияраспределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всехзначений аргумента.Для непрерывной функции распределения F(x) вероятность любогоотдельного значения случайной величины должна быть равна нулю, т.е.

недолжно быть скачков ни в одной точке. Такие события – возможные, но снулевой вероятностью – появляются только при рассмотрении опытов, несводящихся к схеме случаев. Это аналогично телу, имеющему определеннуюмассу, но ни одна из точек внутри тела конечной массой не обладает. Малыйобъем обладает конечной массой, но она приближается к нулю по мереуменьшения объема и в пределе равна нулю для точки. То есть принепрерывном распределении вероятностей вероятность попадания на скольугодно малый участок отлична от нуля, тогда вероятность попадания в строгоопределенную точку в точности равна нулю.Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок отx до x + ∆x равна приращению функции распределения на этом участке:p{x ≤ X <x + ∆x} = F(x + ∆x) – F(x). Тогда плотность вероятности на этомp{ x ≤ X < x + ∆ x}.

Переходя к пределу при ∆x → 0 , получимучастке равна∆xплотность вероятности в точке xp{x ≤ X < x + ∆x}F ( x + ∆x) − F ( x) dF ( x)lim= lim== F ′( x) = f ( x).∆x →0∆x →0∆x∆xdxПолученная функция является одной из форм закона распределениянепрерывных случайных величин.Плотностью распределения (плотностью вероятности ) f(x) непрерывнойслучайной величины X называется производная ее функции распределенияdF ( x)f ( x) == F ′( x) ,(4.6)dxа график плотности распределения называется кривой распределения.Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx.

Вероятностьпопадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величинаназывается элементом вероятности. Вероятность попадания случайнойвеличины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементов вероятностина этом участке:bp{ a ≤ X < b} =∫f ( x ) dx .(4.7)ap{a ≤ X < b} равна площади,В геометрической интерпретацииограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и участком [a, b[.Соотношение (4.7) позволяет выразить функцию распределения F(x)случайной величины X через ее плотность:xF ( x ) = p{ X < x} = p{−∞ < X < x} =∫f ( x) dx.(4.8)−∞Основные свойства плотности распределения:1.

Плотность распределения неотрицательна f(x) ≥ 0, так какпервообразная F(x) является неубывающей функцией (см. свойство 3 F(x)).ее∞2. Условие нормировки:∫f ( x ) dx = p ( −∞ ≤ X < +∞ ) = 1.(4.9)−∞Полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс,равна 1.ЛЕКЦИЯ 5Числовые характеристики случайной величиныЗакон распределения случайной величины является исчерпывающейхарактеристикой, которая полностью описывает случайную величину свероятностной точки зрения.

Однако во многих практических задачах нетнадобности в таком полном описании и достаточно указать только отдельныечисловые параметры, характеризующие существенные черты распределения.Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.Математическое ожидание характеризует среднее значение случайнойвеличины и определяется по формулам:N⎧⎪ ∑ xi ⋅ pi для ДСВ,⎪ i =1mX =M[ X ] = ⎨ ∞(5.1)⎪ x ⋅ f ( x)dxдля НСВ.∫⎪⎩ −∞где mX обозначает число, полученное после вычислений по формуле (5.1);M[X] – оператор математического ожидания.Как видно из (5.1), в качестве математического ожидания используется«среднее взвешенное значение», причем каждое из значений случайнойвеличины учитывается с «весом», пропорциональным вероятности этогозначения.Физический смысл математического ожидания – среднее значениеслучайной величины, т.е.

то значение, которое может быть использовановместо случайной величины в приблизительных расчетах или оценках.Математическое ожидание обладает следующими свойствами:1. M[c] = c.Доказательство. Рассмотрим константу c как случайную дискретнуювеличину, которая принимает одно значение c с вероятностью р = 1.2.

M[X + c] = M[X] + c = mX + c .∞∞∞−∞−∞−∞Доказательство: M[ X + c] = ∫ (x + c) ⋅ f (x)dx = ∫ x ⋅ f (x)dx +∫ c ⋅ f (x)dx = mX + c .3. M[c⋅X] = c⋅M[X] = c ⋅ mX .∞Доказательство: M[cX ] =∞∫−∞ cx ⋅ f ( x)dx = c −∞∫ x ⋅ f ( x)dx = c ⋅ mX .Начальный момент k-го порядка случайной величиныматематическое ожидание k-й степени этой случайной величины:XестьN⎧k⎪ ∑ xi ⋅ pi для ДСВ,i =1⎪α k ( x) = M[ X k ] = ⎨ ∞⎪ x k ⋅ f ( x)dxдля НСВ.∫⎪⎩ −∞0При k = 0 α 0 ( x ) = M [X ] = M [1] = 1 ;k = 1 α1 ( x ) = M [ X 1 ] = M [ X ] = m X – математическое ожидание;k = 2 α 2 ( x ) = M [X 2 ] .(5.2)oX называется случайнаяЦентрированной случайной величинойвеличина, математическое ожидание которой находится в начале координатo(в центре числовой оси), т.е. M [ X ] = 0 .Операция центрирования (переход от нецентрированной величины Х кoцентрированной X ) имеет видoX = X − mX .Центральный момент порядка k случайной величины X естьматематическое ожидание k-й степени центрированной случайнойoвеличины X :N⎧k⎪ ∑ ( xi − mX ) ⋅ pi для ДСВ,o⎪ i =1µ k ( x) = M[ X k ] = ⎨ ∞⎪ ( x − m ) k ⋅ f ( x)dxдля НСВ.X∫⎪⎩ −∞(5.3)oПри k = 0 µ 0 ( x ) = M [ X 0 ] = M [1] = 1 ;oo1k = 1 µ1 ( x ) = M [ X ] = M [ X ] = 0 ;ok = 2 µ 2 ( x ) = M [ X 2 ] = M [( X − m X ) 2 ] = M [ X 2 ] − 2 m X M [ X ] + m X2 = α 2 − m x2 = D X –дисперсия.Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания(разброса) значений случайной величины относительно ее математическогоожидания и определяется по формулам:NN⎧222⎪ ∑ ( xi − mX ) pi = ∑ xi pi − mX для ДСВ,i =1i =1⎪(5.4)Dx = D[ X ] = µ2 ( x) = α 2 (x) − mX2 = ⎨ ∞∞222⎪ ( x − m ) f ( x)dx = x f ( x)dx − m для НСВ.XX∫∫⎪⎩−∞−∞Свойства дисперсии:1.

D[c] = 0.Доказательство: D[c ] = M ⎡⎣ (c − M [c ]) 2 ⎤⎦ = M ⎡⎣ (c − c ) 2 ⎤⎦ = M [0] = 0 .2. D[X + c] = DX.Доказательство:D[ X + c ] = M ⎡⎣ ( X + c − M [ X + c ]) 2 ⎤⎦ = M ⎡⎣ ( X + c − m X − c ) 2 ⎤⎦ = M [( X − m X ) 2 ] = D Xвытекает из свойства 3 математического ожидания. Оно становится понятным,если учесть, что величины Х и Х + с отличаются лишь началом отсчета ирассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково. Очевидно, чтооперация центрирования не изменяет дисперсию случайной величины:oD[ X ] = D[ X − mX ] = D[ X ] .3. D[c⋅X] = c2⋅DX.2Доказательство: D[cX ] = M [c2 X 2 ] − ( M [cX ]) = c2 (M [ X 2 ] − mX2 ) = c2 DX .Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайнойвеличины, поэтому для анализа диапазона значений величины Х дисперсия несовсем удобна.