Лекции по ТВиМС, страница 2

69Доверительный интервал для дисперсии .......................................................... 69Доверительный интервал для вероятности .................................................... 70ЛЕКЦИЯ 15 .............................................................................................................. 71ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ .................................................................... 71Проверка гипотезы о равенстве вероятностей ..............................................

71КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ ............................................................................................... 72Критерий согласия Пирсона............................................................................... 72Критерий согласия Колмогорова....................................................................... 74ЛЕКЦИЯ 16 .............................................................................................................. 76СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДВУХМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .................... 76Оценка корреляционного момента.

................................................................... 76Оценка коэффициента корреляции. .................................................................. 76Доверительный интервал для коэффициента корреляции ............................. 76СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДВУХМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ....................... 77Гипотеза об отсутствии корреляционной зависимости ............................... 77t-критерий ............................................................................................................

78F-критерий ........................................................................................................... 78Критерий Уилкоксона ......................................................................................... 78ЛЕКЦИЯ 17 .............................................................................................................. 80ОЦЕНКА РЕГРЕССИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ............................................................ 80МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ .......................................................................... 80ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 83ЛЕКЦИЯ 1ВведениеТеория вероятностей – раздел высшей математики, изучающийзакономерности массовых случайных явлений.Приведем несколько примеров случайных явлений.1.

Производится ряд испытаний заводских изделий определенного типа,например реле, на длительность безотказной работы. Результат испытания отодного раза к другому не остается постоянным, меняется. Эти измененияобусловлены влиянием ряда малозначительных, трудноуловимых факторов,таких, например, как микродефекты в металле; разные температурные условия;разные условия хранения и транспортировки изделий; отклонения напряженияот номинала и т.д.2. Самолет совершает полет на заданной высоте; теоретически он летитгоризонтально,равномерноипрямолинейно.Фактическиполетсопровождается отклонениями центра массы самолета от теоретическойтраектории и колебаниями самолета около центра массы.

Эти отклонения иколебания являются случайными и связаны с турбулентностью атмосферы; отодного раза к другому они не повторяются.3. Рассматривается непрерывная работа ЭВМ между двумя очереднымисбоями в решении задачи. Все контролируемые условия работы ЭВМ:температура, влажность, напряжение питания, характер решаемой задачи –остаются неизменными. Повторяя такой опыт несколько раз, мы убеждаемся,что время работы ЭВМ между двумя очередными сбоями будет разным(случайным). Это объясняется тем, что различные элементы ЭВМподвергаются незначительным, неконтролируемым изменениям.Все приведенные примеры рассмотрены здесь под одним и тем же угломзрения: подчеркнуты случайные вариации, неодинаковые результаты рядаопытов, основные условия которых остаются неизменными.

Эти вариациивсегда связаны с наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих наисход опыта, но не заданных в числе его основных условий. Основные условияопыта, определяющие в общих и грубых чертах его протекание, сохраняютсянеизменными; второстепенные – меняются от опыта к опыту и вносятслучайные различия в их результаты.Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления,в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности.Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможнодостигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и вточности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любомузакономерному явлению.

Тем не менее в ряде практических задач этимислучайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реальногоявления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данныхусловиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом избесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяютсясамые главные, решающие; влиянием остальных, второстепенных факторовпросто пренебрегают. Такая схема изучения явлений постоянно применяется вфизике, механике, технике. При использовании этой схемы для решения любойзадачи прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий ивыясняется, на какие параметры задачи они влияют; затем применяется тот илииной математический аппарат (например, составляются и интегрируютсядифференциальные уравнения, описывающие явление); таким образомвыявляется основная закономерность, свойственная данному явлению идающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям.По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше;явление исследуется подробнее; научный прогноз становится точнее.Однако для решения ряда вопросов описанная схема – классическая схематак называемых «точных наук» – оказывается плохо приспособленной.Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от стольбольшого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать иучесть все эти факторы.

Это задачи, в которых многочисленныевторостепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторыиграют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние стольсложно, что применение классических методов исследования себя неоправдывает.Рассмотрим следующий пример.

Некоторое техническое устройство,например система автоматического управления, решает определенную задачу вусловиях, когда на систему непрерывно воздействуют случайные помехи.Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторойошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникаютвопросы: как часто будут появляться такие ошибки? какие следует принятьмеры для того, чтобы практически исключить их возможность?Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать природу иструктуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучитьреакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивныхпараметров системы на вид этой реакции.

Все подобные задачи, число которыхв физике и технике чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных,главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но ианализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличиемвторостепенных факторов и придающих исходу опыта при заданных условияхэлемент неопределенности.Какие же существуют пути и методы для исследования случайныхявлений? С чисто теоретической точки зрения те факторы, которые мы условноназвали «случайными», в принципе ничем не отличаются от других, которыемы выделили в качестве «основных». Теоретически можно неограниченноповышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новыегруппы факторов: от самых существенных до самых ничтожных. Однакопрактически такая попытка одинаково подробно и тщательно проанализироватьвлияние решительно всех факторов, от которых зависит явление, привела бытолько к тому, что решение задачи, в силу непомерной громоздкости исложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имелобы никакой познавательной ценности.

Очевидно, должна существоватьпринципиальная разница в методах учета основных, решающих факторов,определяющих в главных чертах течение явления, и вторичных,второстепенных факторов, влияющих на течение явления в качестве«погрешностей» или «возмущений». Элемент неопределенности, сложности,многопричинности, присущий случайным явлениям, требует созданияспециальных методов для изучения этих явлений.Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметомявляются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородныхслучайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенныезакономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовымслучайным явлениям.

Например, если много раз подряд бросать монету,частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общемучислу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к вполнеопределенному числу, а именно к 1/2. Такое же свойство «устойчивостичастот» обнаруживается и при многократном повторении любого другогоопыта, исход которого представляется заранее не определенным, случайным.Отметим, что именно массовость случайных явлений обеспечивает выполнениеэтой закономерности.Подобного рода закономерности (их называют «статистическими»)возникают, когда мы наблюдаем в совокупности массивы однородныхслучайных явлений.

Они оказываются практически независимыми отиндивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих вмассив: эти особенности как бы взаимно погашаются, нивелируются;выражаясь образно, «из множества беспорядков возникает порядок». Средниймассовый результат множества случайных явлений оказывается практическиуже не случайным, предсказуемым. Это и является базой для практическогоприменения вероятностных (статистических) методов исследования.Методы теории вероятностей не отменяют и не упраздняют случайности,непредсказуемости исхода отдельного опыта, дают возможность предсказать, скаким-то приближением, средний суммарный результат массы однородныхслучайных явлений.Цель вероятностных (статистических) методов – в том, чтобы, минуяслишком сложное (и зачастую практически невозможное) исследованиеотдельного случайного явления, обратиться непосредственно к законам,управляющим массами таких явлений.

Изучение этих законов позволяет нетолько осуществлять прогноз в области случайных явлений, но ицеленаправленно влиять на ход этих явлений, контролировать их, ограничиватьсферу действия случайности, сужать ее влияние на практику.В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой втой или иной степени не применялись бы вероятностные методы. В однихнауках, в силу специфики предмета и исторических условий, эти методынаходят применение раньше, в других – позднее. Исторически первые зачаткивероятностных методов с довольно примитивным математическим аппаратомвозникли в XVII в.