Лекции по ТВиМС, страница 3

при разработке теории азартных игр с целью датьрекомендации игрокам. Затем эти методы стали применяться в практикестраховых компаний для установления разумных размеров страховых премий.Постепенно область применения вероятностных методов расширялась. Сегодняэти методы распространяются все шире и шире. Целые разделы современнойфизики (в частности, ядерная физика) базируются на математическом аппаратетеории вероятностей. Широко применяются вероятностные методы всовременныхэлектронике,радиотехнике,теориисвязи,теорииавтоматического регулирования, кибернетике, вычислительной технике, теорииавтоматизированных систем управления.

Это и естественно, так как работасовременных радиотехнических, электронных систем протекает в условияхслучайных воздействий, без учета которых невозможны разумноепроектирование подобных систем, выбор их конструктивных параметров.Любая процедура управления чем бы то ни было (техническим устройством,группой устройств, человеко-машинным комплексом) протекает в заранее неизвестных, случайных условиях, неизбежно сопровождается случайнымиошибками измерения тех или других параметров, ошибками выполнениякоманд и т. д.; анализ работы такой системы практически невозможен без учетаслучайных факторов.Знакомство с методами теории вероятностей и математическойстатистики необходимо сегодня каждому грамотному инженеру.

И не толькоинженеру. Биология, физиология, медицина, социология все шире применяютвероятностные методы. Не чуждаются их и такие «исконно гуманитарные»науки, как психология, лингвистика, литературоведение, даже эстетика.Основные понятияСлучайное явление – это явление, которое при неоднократностивоспроизведения одного и того же опыта протекает каждый раз по-иному,непредсказуемым образом.Опыт – воспроизводимая совокупность условий, в которых фиксируетсятот или иной результат.Случайное событие – всякий факт, который в опыте со случайнымисходом может произойти или не произойти.

Обозначение: А, В, С, ….Вероятность случайного события – количественная мера объективнойвозможности его осуществления.Аксиомы теории вероятностейРассмотрим некоторый опыт. Каждыйэлементарным событием wi , i = 1, 2,..., n , где n –число исходов данного опыта. Множество всехвозможныхисходовопытаобразуютΩ = { w1 , w 2 , ..., w n } – универсальное множествоопыта или пространство элементарных событий.исходопытаΩAобозначимТогда любое случайное событие А, возможное в данном опыте, есть некотороеподмножество универсального множества A ∈ Ω :A = { w1 , w 2 , ..., w m }, 0 ≤ m ≤ n ,где m – число исходов, благоприятных событию A.Событие А называется достоверным, если A = Ω , т.е.

происходит вкаждом опыте.Событие А называется невозможным,Ωесли A = ∅ , т.е. никогда не происходит вAданном опыте.Противоположным к событию АAназываютсобытие⎯А,состоящеевневыполнении А, т.е. оно происходит всегда,когда не происходит A.Событие С называется суммой событийА и В, C = A ∪ B = A + B , если оно происходитC = A∪B = A+ BΩтогда, когда происходит либо А, либо В, либооба одновременно (хотя бы одно событие).Событие С называется произведениемBAсобытий А и В, C = A ∩ B = A⋅ B , если Спроисходит тогда, когда происходят и А и Водновременно.События А и В несовместны, если они немогут произойти одновременно, т.е. А·В = ∅.События Ai (i = 1, 2, ..., n) образуют полнуюC = A∩ B = A⋅ BΩгруппу, если они попарно несовместны и всуммеобразуютдостоверноесобытиеnBA∑ Ai = Ω .i =1При преобразовании выражений можнопользоваться следующими тождествами:A + A = Ω;A ⋅ A = ∅;A + Ω = Ω;A ⋅ Ω = А;A ⋅ ∅ = ∅;A + ∅ = A;A + B = A ⋅ B;A ⋅ B = A + B;A + A⋅ B = A + B .Аксиома 1.

Вероятность p(А) случайного события А есть функциямножества элементарных исходов, благоприятных событию А, и вероятностьлюбого события принимает значения:0 ≤ p(A) ≤ 1,(1.1)причем p (∅ ) = 0, p ( Ω ) = 1 .Аксиома 2. Вероятность суммы несовместных случайных событий равнасумме вероятностей этих событий:np ( ∑ Ai ) =i =1n∑i =1p ( Ai ), Ai ⋅ A j = ∅ , ∀ i ≠ j .(1.2)Следствие аксиом 1 и 2:1 = p ( Ω ) = p ( A + A ) = p ( A) + p ( A ) ⇒ p ( A ) = 1 − p ( A) .Непосредственный подсчет вероятностейСобытия А1 …Аn называются случаями, если они обладают следующимисвойствами:- события А1 …Аn несовместны, Ai ⋅ A j = ∅ , ∀ i ≠ j ;- события А1 …Аn образуют полную группу,n∑i =1Ai = Ω ;- события А1 …Аn равновозможны, p ( Ai ) = p, ∀i .Пусть некоторый опыт сводится к схеме случаев, тогда вероятностьсобытия А в этом опыте равна отношению числа благоприятных случаев кобщему числу случаев:mp (A ) =,(1.3)nгде m – число случаев Аi, благоприятных событию А, т.е.

входящих вмножество А = {А1 …Аm };n – число всех возможных случаев.Доказательство. Очевидно, что A = A1 + A2 + … + Am. Так как Аiнесовместимы, то определим вероятность события A по второй аксиоме:mp ( A ) = p ( ∑ Ai ) =i =1np ( Ω ) = p ( ∑ Ai ) =i =1n∑i =1m∑i =1p ( Ai ) = m ⋅ p ,p ( Ai ) = n ⋅ p = 1 ⇒ p =1m.⇒ p ( A) =nnФормула (1.3) называется классическим определением вероятности ииспользовалась как определение вероятности с XVII по XIX в. Приопределении значений m, n в (1.3) могут оказаться полезными следующиеформулы из комбинаторики.Основные комбинаторные формулыПусть имеется множество X = {x1, x2, ..., xn}, состоящее из n различныхэлементов.

(n, r)-выборкой называется множество, состоящее из r элементов,взятых из множества X.Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядокследования элементов. Если каждый элемент множества X может извлекатьсянесколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.ˆ(n,r)Число упорядоченных (n, r)-выборок (размещений) с повторениями Aи без повторений A(n, r) равноAˆ nr = n r ,(1.4)n!.(1.5)( n − r )!Если r = n, то размещения без повторений называются перестановками,т.е. это расположение элементов исходного множества в определенномпорядке. Число перестановок из n элементов равноPn = n! = 1⋅2⋅…⋅n.(1.6)Пустое множество можно упорядочить только одним способом: P0 = 0! = 1.rЧисло неупорядоченных (n, r)-выборок (сочетаний) с повторениями Cˆ n иA nr =rбез повторений Cn равноCrn(n + r − 1)!Cˆ nr =,r!(n − 1)!A nrn!==.Prr ! ( n − r )!(1.7)(1.8)Число различных разбиений множества из n элементов на kнепересекающихся подмножеств, причем в 1-м подмножестве r1 элементов, во2-м r2 элементов и т.д., а n = r1 + r2 +...

+ rk, равноn!Pn (r1 , r2 ,..., rk ) =.(1.9)r1! r2 !...rk !ЛЕКЦИЯ 2Геометрическое определение вероятностейКлассическое определение вероятности предполагает, что числоэлементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которыхмножество таких исходов бесконечно. Чтобы преодолеть недостатокклассического определения вероятности, состоящий в том, что ононеприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводятгеометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.Пусть в некоторую область случайным образомΩбросается точка T, причем все точки области ΩTравноправны в отношении попадания точки T. Тогдаза вероятность попадания точки T в область AAпринимается отношениеS ( A)p (A ) =,(2.1)S (Ω )где S(A) и S(Ω) – геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областейA и Ω соответственно..Теоремы сложения вероятностейТеорема сложения двух случайных событий.

Вероятность суммыслучайных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минусвероятность их совместного появления:p(A + В) = p(А) + p(В) – p(АВ).(2.2)Доказательство. Представим событие А + В вΩBвиде суммы трех несовместимых событийAА + В = А⋅⎯В + АВ + ⎯А⋅В.Тогда на основании второй аксиомыABABABp(А + В) = p(А⎯В) + p(АВ) + p(⎯АВ).Представим события А и В в виде суммынесовместимых событий:A = A⋅ B + AB, p(A) = p(A⋅B) + p(AB) ⇒ p(A⋅B) = p(A) – p(AB),B = B⋅A + AB, p(B) = p(B⋅A) + p(A⋅B) ⇒ p(B⋅A) = p(B) – p(AB),Подставим p(A⋅B) и p(B⋅A) в выражение p(А + В) и после преобразованийполучим: p(А + В) = p(А) + p(В) – p(АВ).Теорема сложения для n случайных событий. Вероятность суммы nсобытий A1, ..., An равнаnni =1i1 =1p ( ∑ Ai ) = ∑ p ( Ai1 ) − ∑ p ( Ai1 Ai1 ) + ...:...

+ ( − 1)k +1∑i1 , i2 ,..., iki1 , i2p ( Ai1 Ai2 ... Aik ) + ... + ( − 1)n +1p ( A1 A2 ... An ),(2.3)kгде число слагаемых в k-й сумме равно C n , т.е. перебираются все возможныесочетания из k слагаемых.Доказательство. Используем метод математической индукции. Однакодля экономии времени и места докажем переход от m слагаемых к m+1 дляслучая m = 2.

Докажем, чтоp( A1 + A2 + A3 ) = p( A1 ) + p( A2 ) + p( A3 ) + p( A1 A2 ) + p( A1 A2 ) + p( A1 A2 ) − p( A1 A2 A3 ) ,если p ( A1 + A2 ) = p ( A1 ) + p ( A2 ) − p ( A1 A2 ) .Обозначим B = A2 + A3 ,p( A1 + A2 + A3 ) = p( A1 + B) = p( A1 ) + p( B) − p( A1 B) = p( A1 ) + p( A2 + A3 ) − p( A1 A2 + A1 A3 ) == p( A1 ) + p( A2 ) + p( A3 ) − p( A2 A3 ) − p( A1 A2 ) − p( A1 A3 ) + p( A1 A2 A3 ),что и требовалось доказать.На практике, с учетом того что p ( A) = 1 − p ( A ) , вероятность суммы nсобытий (если n > 2) удобнее вычислять по формулеp( A1 + A2 + …+ An ) = 1 − p( A1 + A2 + …+ An ) = 1 − p( A1 ⋅ A2 ⋅ …⋅ An ) . (2.4)Условная вероятностьРанее случайное событие определялось как событие, которое приосуществлении совокупности условий (опыта) может произойти или непроизойти.

Если при вычислении вероятности события никаких другихограничений, кроме этих условий, не налагается, то такую вероятностьназывают безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия,то вероятность события называется условной.Проводится опыт со случайным исходом, в результате котороговозможны два события А и В. Условной вероятностью p(В/А) называетсявероятность события В, вычисленная при условии (в предположении), чтособытие А произошло.Зависимые и независимые событияСобытие А называется независимым от события В, если его вероятностьне зависит от того, произошло В или нет, т.е.