Лекции по ТВиМС (554989), страница 4
Текст из файла (страница 4)
критерий независимостиp ( A) = p ( A / B ) = p ( A / B ) .(2.5)В противном случае, т.е. когда критерий не выполняется, событие А зависит отсобытия В.Зависимость и независимость всегда взаимны, т.е. если событие А независит от события В (см. (2.5)), то и событие В не зависит от события А:p ( B ) = p ( B / A) = p ( B / A ) .(2.6)Теоремы умножения вероятностейТеорема умножения вероятностей для двух событий.
Вероятностьпроизведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной наусловную вероятность второго при наличии первого:p ( AB ) = p ( A) p ( B / A) = p ( B ) p ( A / B ) .(2.7)Доказательство. Докажем (2.7) для схемы случаев. Пусть в опытевозможны n несовместимых и равновозможных исходов. Событию Асоответствует m исходов, событию B – k исходов. В l исходах события А и Впроисходят одновременно.k⇒Bm⇒А…………………………………...l⇒АBnmkl, p ( B ) = , p ( AB ) =(см. (1.1)).
Вычислимnnnусловную вероятность p(В|А), т.е. вероятность события В в предположении, чтоА произошло. Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможныхn случаев остаются возможными только те m, которые благоприятствовалиlсобытию А. Из них l благоприятны событию В ⇒ p(B / A) = . Аналогичноmвычислим условную вероятность p(A/B), т.е. вероятность события A вlпредположении, что B произошло: p( A / B) = .Подставим найденныеkОчевидно, что p ( A ) =вероятности в (2.7):lmlk l=⋅=⋅,nn mn kчто и требовалось доказать.
Очевидно, что безразлично, какое из событийсчитать первым, а какое вторым.Теорема умножения вероятностей для n событий. Вероятностьпроизведения n событий А1 …Аn равнаp( A1 ⋅ A2 ⋅ …⋅ An ) = p( A1 ) ⋅ p( A2 / A1 ) ⋅ p( A3 / A1 ⋅ A2 ) ⋅ …⋅ p( An / A1 ⋅ A2 ⋅ …⋅ An−1 ), (2.8)где p( Ak / A1 ⋅ …⋅ Ak −1 ) ) – вероятность появления события Ak, при условии чтособытия A1 , A2 , …, Ak −1 в данном опыте произошли.Доказательство. Используем метод математической индукции.
Однакодля экономии времени и места докажем переход от m сомножителей к m+1 дляслучая m = 2. Докажем, что p ( A1 A 2 A3 ) = p ( A1 ) p ( A2 / A1 ) p ( A3 / A1 A2 ) ,если p ( A1 A2 ) = p ( A1 ) p ( A2 / A1 ) . Обозначим B = A1 A 2 , тогдаp( A1 A2 A3 ) = p( BA3 ) = p( B) p( A3 / B) = p( A1 A2 ) p( A3 / A1 A2 ) = p( A1 ) p( A2 / A1 ) p( A3 / A1 A2 ) ,что и требовалось доказать.Если события А1 …Аn независимы, то вероятность произведения равнапроизведению вероятностей этих событий:p ( A1 ⋅ A 2 ⋅ … ⋅ A n ) = p ( A1 ) ⋅ p ( A 2 ) ⋅ … ⋅ p ( A n ) ,(2.9)а вероятность p( A1 + A2 + … + An ) появления хотя бы одного события А1, А2, ...,Аn равна (см. (2.
4))p ( A1 + A2 + … + An ) = 1 − p ( A1 ⋅ A2 ⋅ …⋅ An ) = 1 − p ( A1 ) p( A2 ),..., p( A3 ) . (2.10)Вероятность безотказной работы сетиСобытие B – безотказная работа сети, состоящей из n независимоработающих элементов Ai. Надежность p( Ai ) = pi (вероятность безотказнойработы) каждого элемента известна. Необходимо определить вероятностьбезотказной работы сети в целом.Рассмотрим последовательное соединение элементов:A1A2…AnОчевидно, что B = A1 ⋅ A2 ⋅…⋅ An , а с учетом (2.9)p(B) = p( A1) ⋅ p( A2 ) ⋅…⋅ p( An ) = p1 ⋅ p2 ⋅…⋅ pn .ДляпараллельногосоединенияB = A1 + A2 + … + An , а с учетом (2.10)p(B) =1− p( A1 ⋅ A2 ⋅…⋅ An ) =1− q1 ⋅ q2 ⋅…⋅ qn , (2.12)где q i = 1 − p i .Сети с любой другой схемой соединениявсегда можно представить в виде участковлибоспоследовательным,либоспараллельным соединением и вероятностьбезотказнойработысетиопределить,последовательно применяя формулы (2.11) и(2.12).(2.11)A1A2AnЛЕКЦИЯ 3Формула полной вероятностиСледствием обеих теорем вероятности: теоремы сложения и теоремыумножения – является формула полной вероятности.Пусть проводится опыт, об условиях которого можно сделать nисключающих друг друга предположений (гипотез), образующих полнуюгруппу:nH1 , H 2 , ..., H n , H i H j = ∅, i ≠ j ,∑ H i = Ω .i =1Каждая из гипотез осуществляется случайным образом и представляетсобой случайное событие.
Вероятности гипотез известны и равны:np( H1 ), p( H 2 ), ..., p( H n ), ∑ p( H i ) = 1 .i =1Рассмотрим некоторое событие А, которое может появиться тольковместе с одной из гипотез. Известны условные вероятности события А длякаждой из гипотез:P(A/H1), p(A/H2), …, p(A/Hn).Требуется определить полную (безусловную) p(А) вероятности события А.Представим событие А как сумму из n несовместимых вариантов:A = A⋅Ω = A(H1 + H2 + … + Hn) = A⋅H1 + A/H2 + … + A/Hn.На основании второй аксиомыp( A) =n∑i =1p(H i A) .С учетом теоремы умножения вероятностей p(HiA) = p(Hi)p(A/Hi), тогдаnp( A) = ∑ p( H i ) ⋅ p( A / H i ) .(3.1)i =1Формула БайесаБазируется на формуле полной вероятности и теореме умножениявероятностей.Пусть до проведения некоторого опыта об его условиях n можно сделать nисключающих друг друга предположений (гипотез), образующих полнуюгруппу:nH1 , H 2 , ..., H n , H i H j = ∅, i ≠ j ,∑ H i = Ω .i =1Вероятности гипотез до опыта (априорные вероятности) известны:p(H1), p(H2), …, p(Hn).Опыт произведен, и произошло некоторое событие А.
Требуетсяопределить вероятности гипотез с учетом того, что произошло событие А, т.е.определить апостериорные вероятности: p(H1/A), p(H2/A), …, p(Hn/A).Вероятность того, что событие А произошло совместно с Нi, на основаниитеоремы умножения вероятностей равна p(HiA) = p(Hi)p(A/Hi) = p(A)p(Hi/A).Отбросим левую часть равенства и выразим p(Нi/А):p ( H i / A) =p( H i ) p( A / H i ).p ( A)Раскроем p(A) по формуле полной вероятности (3.1) и получим формулу Байесаp ( H i / A) =p( H i ) p( A / H i )n∑ p( H j ) p( A / H j ).(3.2)j =1Формула Байеса позволяет пересчитать априорные вероятности гипотез сучетом того, что опыт завершился событием А.Теорема о повторении опытовПусть проводятся n независимых одинаковых опытов, в каждом изкоторых событие А появляется с вероятностью р. Вероятность P(n, k) того, чтособытие А произойдет ровно в k опытах, равна (формула Бернулли):n!P(n, k ) = Cnk ⋅ pk ⋅ qn−k =pk ⋅ qn−k ,0 ≤ k ≤ n ,(3.3)k !⋅ (n − k )!где q = 1 – р – вероятность того, что А не появится в одном опыте.Доказательство.
Обозначим через Вk появление события А в k опытах ипоявление ⎯А в n – k опытах. Событие Вk представляет собой суммунесовместимых событий:Bk = A1 ⋅ A2 ⋅......⋅ Ak Ak +1 ⋅ Ak + 2 ...... An + .........+ A1 ⋅ A2 ......⋅ An − k An − k +1 ⋅ Ak + 2 ......⋅ An1 4 4 2 4 43 1 4 4 2 4 4 31 4 4 2 4 4 3 1 4 44 2 4 4 43kn−kn−kkгде Аi Ai – появление и не появление событие А в i-м опыте.Определим вероятность одного из слагаемых. Так как все опытыодинаковы, то вероятности всех вариантов одинаковы и равныP( A1 ⋅ A2 ⋅...... Ak Ak +1 ⋅ Ak + 2 ...... An ) = p ⋅ p..... pq ⋅ q ......q = p k ⋅ q n − k .1 4 2 43 1 4 2 43kn− kКоличество вариантов таких сложных событий равно числу выборок кномеров опытов из n возможных, в которых произойдут события А, т.е.
равноrчислу сочетаний без повторения элементов C n . Так как эти событияn−kнесовместимы, то на основании второй аксиомы : p( Bk ) = P(n, k ) = Cn ⋅ p ⋅ q .Свойства формулы Бернулли:1. Правая часть формулы (3.3) представляет собой общий член разложениябинома Ньютона:kknnk =0k =0( q + p ) = ∑ P ( n, k ) = ∑ C nk p k q n − k = 1 .n2. Рекуррентная формула P(n, k)имеет видn−k pP ( n, k + 1) =⋅ Pn ( n, k ) .k +1 q(3.4)(3.5)3. Число к0, которому соответствует максимальная вероятность P ( n , k 0 ) ,называется наивероятнейшим числом появления события А и определяетсянеравенствамиnp − q ≤ k 0 ≤ np + p .(3.6)Доказательство:Pn ( k + 1) n − k pn−k p=⋅ ⇒ Pn ( k + 1) ≥ Pn ( k ) ⇔⋅ ≥ 1 ⇔ k ≤ np − q ,Pn ( k )k +1 qk +1 qn−k p⋅ ≤ 1 ⇔ k ≥ np − q .а Pn ( k + 1) ≤ Pn ( k ) ⇔k +1 qИтак, при k < np − q функция P(n, k) возрастает, а при k > np − q –убывает.
Тогда существует точка k0, в которой P(n, k) достигает максимума, т.е.⎧ P ( n , k 0 ) ≥ P ( n , k 0 − 1).⎨⎩ P ( n , k 0 ) ≤ P ( n , k 0 + 1)Решив данную систему неравенств относительно k0, получим (3.6).4. Вероятность Pn ( k 1 ≤ k ≤ k 2 ) того, что в n опытах схемы Бернуллисобытие А появится от k 1 до k 2 раз ( 0 ≤ k 1 ≤ k 2 ≤ n ), равна:k2P ( n, k1 ≤ k ≤ k 2 ) = ∑ P ( n, k ) =k = k1k2∑Ck = k1knp k q n−k .(3.7)5 Вероятность P(n,1≤ k ≤ n) того, что в n опытах событие А появится хотябы один раз, равнаP(n,1 ≤ k ≤ n) = 1− P(n,0) = 1− qn .(3.8)Пусть производится n независимых опытов, каждый из которых имеет r(r > 2) попарно несовместных и единственно возможных исходов A1, A2, …, Ar свероятностями p1 = p(A1), p2 = p(A2), …, pr = p(Ar).Требуется определить вероятность того, что из серии n независимыхопытов исход A1 наступит k1 раз, A2 − k2 ,..., Ar − kr ( k1 + k2 + .....
+ kr = n ) , тоP( n , k 1 , k 2 ,..... k r ) =( k 1 + k 2 +..... k r ) ! ⋅ p kk 1 ! k 2 !..... k r !11⋅ p2k2 ... prkr .(3.9)Вычисление вероятностей P( n , k ) при больших значениях n по формулеБернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностейпроводится с помощью следующих приближенных формул.Если количество испытаний велико n → ∞ , а вероятность события мала1p → 0 , так что np → a , 0 < a < ∞ и p <<, то используется формулаnПуассона:ak − aP(n, k ) ≈ ⋅ e , k = 0, n .(3.10)k!Если количество испытаний n велико, вероятности p и q не малы, так чтовыполняются следующие условия:0 < np − 3 npq , np + 3 npq < n ,то применяются приближенные формулы Муавра–Лапласа:ϕ( x),P(n, k ) ≈– локальная(3.11)npq⎛ x2 ⎞1exp ⎜ − ⎟ ,где ϕ ( x) =2π⎝ 2⎠– интегральнаягде x1 =x=k − np;npqP(n, k1 ≤ k ≤ k2 ) ≈Φ(x2 ) −Φ(x1) ,(3.12)( k1 − np )( k − np ), x2 = 2,npqnpqx⎛ x2 ⎞1Φ( x) =exp⎜ − ⎟dx – функция Лапласа.2π ∫0⎝ 2⎠Функции ϕ ( x ) и Φ( x) табулированы.
При использовании таблицϕ ( x ) является четной ( ϕ(−x) = ϕ( x) ), а функцияЛапласа – нечетной ( Φ ( − x )= − Φ ( x ) ). Доказательство формул (3.11) и (3.12)следует помнить, чтобудет приведено в лекции 12 (Центральная предельная теорема).ЛЕКЦИЯ 4Случайные величины. Закон распределения вероятностейПод случайной величиной (СВ) понимается величина, которая врезультате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение,причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
