Лекции по ТВиМС, страница 14

Для уровнязначимости α по таблице F-распределения определяем критическое значениеFα / 2;n1 −1, n2 −1 . Если F, вычисленное по выборке, больше, чем это критическоезначение Fα / 2;n1 −1, n2 −1 , то гипотеза Н0 должна быть отклонена.Критерий Уилкоксона. Данный критерий служит для проверки,относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности; другимисловами, гипотеза Н0 утверждает, что FX (x) ≡ FY ( y) .

Относительно законараспределений величин X и Y никаких предположений не делается. Способыпроверки, при которых не делается предположений о распределении вгенеральной совокупности, называются способами, свободными от параметров,в противоположность рассматривавшимся выше параметрическим критериям, вкоторых предполагалась нормальная распределенность X и Y. Значения{x1 , x2 ,..., xn1 } и { y1 , y2 ,..., yn2 } обеих выборок упорядочиваются вместе впорядке их возрастания.

Пара значений (хi yj;) образует инверсию, если yj < хi .Пусть, например, для n1 = 4 и n2 = 5 получилась такая последовательность: y5 x3x4 y1 y2 x2 y4 y3 x1 . В нашем примере x3 и x4 образуют по одной инверсии (с y5), x2образует три инверсии (с y5 y1 y2), а x1 образует пять инверсий (со всеми у).В качестве критерия используется величина U – полное число инверсий.Если гипотеза верна, значение U не должно слишком сильно отклоняться отnnсвоего математического ожидания M U = 1 2 . Данная величина распределена2по закону Уилкоксона и от гипотезы Н0 отказываются, если U большекритического значения Uα, взятого из таблицы Уилкоксона для заданногоуровня значимости α. Для больших объемов выборки (n1 и n2 больше 25)критическое значение Uα определяется по формулеU α = Zαn1 n 2 ( n1 + n 2 + 1),12(16.12)⎛1−α ⎞1−αгде Z α = arg Φ ⎜⎟ - значение аргумента функции Лапласа, т.е.

Φ ( Zα ) =2⎝ 2 ⎠ЛЕКЦИЯ 17Оценка регрессионных характеристикПусть проводится n независимых опытов, в каждом из которыхдвухмерная случайная величина (Х,У) принимает определенные значения ирезультаты опытов представляют собой двумерную выборку вида {(х1, у1), (х2,у2),…,(хn, уn)}. Необходимо на основании имеющейся выборки выявитьхарактер связи между величинами X, Y, т.е.

получить оценку условного*математического ожидания m Y / x − оценку регрессии Y на х. Данная оценкапредставляет собой некоторую функцию:mY* / x = y ( x ) = ϕ ( x , a 0 , a1 ,..., a m ) ,где a0 , a1,..., am – неизвестные параметры.Такимобразом,во-первых,необходимоустановитьтип yзависимости ϕ(x, a0 , a1,..., am ) – т.е.являетсялионалинейной,квадратичной, показательной и т.д.,·во-вторых, определить значения· ·неизвестных параметров a0 , a1,..., am .· ····Для определения типа зависимости· · ···строится диаграмма рассеивания·· · · · · ·· · · ·или корреляционное поле, которую· ··можно получить, если результатыопытов изобразить в виде точек наплоскости в декартовой системе 0xкоординат (см. рисунок).

Наосновании анализа корреляционного поля выбираем тип эмпирической линиирегрессии y ( x ) = ϕ ( x , a 0 , a1 ,..., a m ) , которая должна проходить через точки(х1,y1)....(xn,yn) так, чтобы ее график наилучшим образом соответствовал бы кнеизвестной линии регрессии, т.е. ее значения должны быть приблизительноравны средним арифметическим значений Y для каждого значения Х=х. Вомногих случаях тип зависимости может быть выбран на основе теоретическихили иных соображений.Для определения значений параметров, при которых обеспечиваетсянаилучшее согласования кривой y = ϕ ( x , a 0 , a1 ,..., a m ) и экспериментальныхточек {(х1, у1), (х2, у2 ,…, (хn, уn)}, используется метод наименьших квадратов.Метод наименьших квадратовСуть данного метода заключается в том, что значения параметровa0 , a1,..., am необходимо выбрать так, чтобы сумма квадратов отклоненийэкспериментальных точек от сглаживающей кривой обращалась в минимум:n∑ [yi =1− ϕ ( x i , a 0 , ..., a m ) ] = m in2i(17.1)Найдем значения a j , j = 1,..., m , обращающие левую часть выражения (17.1) вминимум.

Для этого продифференцируем его по a j , j = 1,..., m , и приравняемпроизводные к нулю (в точке экстремума производная равна нулю):n∂ ϕ ( xi )= 0, j = 0,1,...m ,[ yi − ϕ ( xi , a 0 ,..., a m ) ](17.2)∑∂a ji =1где∂ ϕ ( xi )– значение частной производной функции ϕ по параметру∂a jaj вточке хi.Система уравнений (17.2) содержит столько же уравнений, скольконеизвестных параметров, т.е. m+1.Решить систему (17.2) в общем виде нельзя; для этого необходимозадаться конкретным видом функции ϕ.Пусть y представляет собой степенной ряд:y = ϕ ( x , a 0 , ..., a m ) =m∑aj=0jxj .(17.3)Тогда (17.2) примет вид системы линейных уравнений (СЛУ):mn∑a ∑(x )j =0ji =1ij+kn= ∑ yi ( xi ) , k = 0,1,...., mki =1(17.4)Поделим обе части уравнений на объем выборки n, система примет видm∑ a αˆj =0jj +k( xi ) = αˆ k ,1 ( xi , yi ), k = 0,1,...., m(17.5)1 nkгде αˆ k ( x ) = ⋅ ∑ ( xi ) - оценка начального момента k-го порядка величины X;n i =11 nαˆ k ,1 ( x , y ) = ⋅ ∑ xik y i – оценка смешанного начального момента порядкаn i =1k+1 величин X и Y.Переменными в системе (17.4) являются a j , j = 1,..., m , а вычисленные поисходной выборке оценки начальных моментов являются коэффициентамиСЛУ.

Решив данную систему, мы определим оценки параметров aˆ0 , aˆ1,..., aˆm ,обеспечивающие наилучшее согласование кривой y = ϕ ( x , a 0 , a1 ,..., a m ) иэкспериментальных точек {(х1, у1), (х2, у2),…,(хn, уn)}.Пример. Определим оценку линейной регрессии mY / x = a0 + a1 x.Система (17.5) для m=1 имеет вид⎧⎪αˆ 0 ( x)a0 + αˆ1 ( x)a1 = αˆ 0,1 ( x , y )⎨.⎪⎩αˆ1 ( x)a0 + αˆ 2 ( x)a1 = αˆ1,1 ( x , y )С учетом того, что αˆ 0 ( x ) = 1, αˆ 1 ( x ) = x , αˆ 0 ,1 ( x , y ) = y , получаем:⎧⎪a0 + xa1 = y⎨.⎪⎩ xa0 + αˆ 2 ( x)a1 = αˆ1,1 ( x , y )Отсюдаaˆ 1 =αˆ 1 ,1 ( x , y ) − x ⋅ yαˆ 2 ( x ) − x 2aˆ0 = y − aˆ1 ⋅ x ,=K *X Y,2S0 (x)что соответствует уравнениям прямых регрессий (9.10) (см. лекцию 9).(17.6)(17.7)ЛИТЕРАТУРА1.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерныеприложения. – М.: Наука, 1988. – 416 с.2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика:Учебник. – 5-е изд., стереотип. – М.: Высш. шк., 1999. – 576 с.3. Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1983. –279 с.4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высш. шк., 1977. – 479 с.5. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей иматематическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец.

–Мн.: Харвест, 2000.-384 с.Св. план 2003, поз. 29Учебное изданиеВолковец Александр Иванович,Гуринович Алевтина БорисовнаТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАКонспект лекцийдля студентов всех специальностей и форм обучения БГУИРРедактор Т.А. ЛейкоКорректор Е.Н. БатурчикКомпьютерная верстка Т.В. Шестакова.________________________________________________________________________________Подписано в печать .08.2003.Формат 60х84 1/16.Бумага офсетная.Печать ризографическая.Гарнитура «Таймс».Усл. печ. л. .Уч.-изд. л. 4,0.Тираж 300 экз.Заказ 210.________________________________________________________________________________Издатель и полиграфическое исполнение:Учреждение образования«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники».Лицензия ЛП №156 от 30.12.2002.Лицензия ЛВ №509 от 03.08.2001.220013, Минск, П.

Бровки, 6..