Лекции по ТВиМС, страница 6

Этого недостатка лишено среднее квадратическое отклонение(СКО), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.Среднее квадратическое отклонение случайнойхарактеризует ширину диапазона значений X и равно:σ X = σ [ X ] = + D[ X ] .величиныX(5.5)СКО измеряется в тех же физических единицах, что и случайная величина.Правило 3σ. Практически все значения случайной величины находятся винтервале(5.6)[ mX – 3σX; mX + 3σX; ].Математическое ожидание и дисперсия (или СКО) – наиболее частоприменяемые характеристики случайной величины. Они характеризуютнаиболее важные черты распределения: его положение и степеньразбросанности значений.

Для более подробного описания используютсяначальные и центральные моменты высших порядков. Кроме математическогоожидания на практике часто применяются и другие характеристики положенияраспределения значений.Мода случайной величины равна ее наиболее вероятному значению, т.е. тозначение, для которого вероятность pi (для дискретной случайной величины)или f(x) (для непрерывных случайной величины ) достигает максимума:f ( Mo ) = max, p( X = Mo ) = max .Распределение с одним максимумом плотности распределения называется«унимодальным». Если многоугольник распределения или криваяраспределения имеют более одного максимума, распределение называют«полимодальным».

Если распределение обладает посередине не максимумом, аминимумом, то оно называется «антимодальным».Медиана случайной величины X равна такому ее значению, для котороговыполняется условие p{X < Me} = p{X ≥ Me}. Медиана, как правило,существует только для непрерывных случайных величин. Значение Me можетбыть определено как решение одного из следующих уравнений:Me+∞−∞Me∫ f ( x )dx = 0 ,5 ; ∫ f ( x )dx = 0 ,5 ; F ( Me ) = 0 ,5 .(5.7)В точке Me площадь, ограниченная кривой распределения, делитсяпополам.Квантиль χp случайной величины X – это такое ее значение, для котороговыполняется условиеp{X < χp} = F(χp) = p.(5.7)Очевидно, что медиана – это квантиль χ0,5.ЛЕКЦИЯ 6Типовые законы распределенияИндикатор случайного события А – это дискретная случайная величинаX, которая равна 1 при осуществлении события А и 0 при осуществлении ⎯А:⎧ 1 , AX = ⎨.⎩ 0 , AРяд распределения вероятностей индикатора случайного события:xipi0q1pгде p – вероятность осуществления А;q = 1 – p – вероятность осуществления ⎯А.Числовые характеристики индикатора случайного события:m X = p, D X = qp .(6.1)Геометрическое распределение имеет дискретная случайная величина Х,если она принимает значения 0, 1, …, ∞ с вероятностями:p ( X = i ) = pi = q i p ,(6.2)где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p.Числовые характеристики геометрического распределения:m X = q / p, D X = q / p2 .(6.3)Условия возникновения.

Проводится ряд одинаковых независимых опытовдо первого появления некоторого события А. Случайная величина Х – числопроведенных безуспешных опытов до первого появления события А.Биномиальное распределение имеет дискретная случайная величина X,если она принимает значения 0, 1, …, n со следующими вероятностями:p( X = i) = pi =n!p i q n −i ,i !(n − i)!(6.4)где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.Числовые характеристики биномиального распределения:m X = np, D X = nqp .(6.5)Условия возникновения. Проводится n одинаковых независимых, в каждомиз которых событие А появляется с вероятностью р. Случайная величина Х –число опытов, в которых произошло событие А (см. теорему о повторенииопытов).Распределение Пуассона имеет дискретная случайная величина Х, еслиона принимает значения 0, 1, …, ∞ со следующими вероятностями:ai − ap( X = i) = pi = e ,i!(6.6)где a – параметр распределения (a > 0).Числовые характеристики пуассоновской случайной величины:m X = a, D X = a .(6.7)Условия возникновения:1.

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального,когда число опытов n неограниченно увеличивается, а вероятность p события Aв одном опыте стремится к 0, так что существует предел lim np = an →∞p →∞(см. формулу (3.10)).2. Случайная величина Х – число событий пуассоновского потокапоступивших в течение интервала τ, причем параметр а = τλ, где λ –интенсивность потока.Рассмотрим временную ось, на которой будем отмечать моментывозникновения случайных событий (например, отказы компонентов в сложномтехническом устройстве, заявки на обслуживание и т.п.). Последовательностьтаких моментов называется потоком случайных событий.Поток случайных событий называется стационарным, если числособытий, приходящихся на интервал τ, в общем случае не зависит отрасположения этого участка на временной оси и определяется только егодлительностью, т.е.

среднее число событий в единице времени λ(интенсивность потока) постоянно.Поток случайных событий называется ординарным, если вероятностьпопадания в некоторый участок ∆t двух и более случайных событийзначительно меньше, чем вероятность попадания 1-го события.В потоке отсутствует последействие, если вероятность попаданиясобытий на участок τ не зависит от того, сколько событий попало на другиеучастки, не пересекающиеся с данным.Поток случайных событий называется пуассоновским или простейшим,если он является стационарным, ординарным и без последействия.Равномерное распределение имеет непрерывная случайная величина Х,если ее плотность вероятности в некотором интервале [а; b] постоянна, т.е. есливсе значения X в этом интервале равновероятны:⎧ 0, x < a ,⎧0, x < a,⎪ 1⎪x − a⎪⎪f (x) = ⎨, a ≤ x ≤ b, F ( x ) = ⎨, a ≤ x ≤ b , (6.8)b−aba−⎪⎪⎪⎩ 0, x > b .⎪⎩ 1, x > b .Ниже приведены графики плотности и функции равномерного распределенияпри b = 3 и a = 1.f(x)Числовыевеличины:характеристикиF(x)равномернораспределеннойслучайнойa + b(b − a ) 2mX =,DX =.(6.9)212При необходимости определения параметров a и b по известным mX, DXиспользуют следующие формулы:a = m X + σ X 3, b = m X − σ X 3 .(6.10)Условия возникновения:1.

Случайная величина Х – ошибки округления при ограниченнойразрядной сетке:– округление до меньшего целого, X ∈ [–1; 0], mX = – 0,5;– округление до большего целого, X ∈ [–0; 1], mX = 0,5;– округление до ближайшего целого, X ∈ [– 0,5; 0,5], mX = 0,где 1 – вес младшего разряда.2. Случайная величина Х – погрешность считывания значений саналоговой шкалы измерительного прибора, X ∈ [– 0,5; 0,5], mX = 0, где 1 – ценаделения шкалы.3.

Генераторыпсевдослучайныхвеличин,напримерRANDOM,встроенные в языки программирования высокого уровня.Экспоненциальное распределение имеет непрерывная случайнаявеличина T, принимающая только положительные значения, если ее плотностьвероятности и функция распределения равны:⎧1 − e − λ t , t ≥ 0,⎧ λ e −λt , t ≥ 0,F (t ) = ⎨f (t ) = ⎨<0,t0.⎩ 0, t < 0.⎩где λ – параметр распределения (λ > 0).(6.11)Ниже приведены графики плотности и функции экспоненциальногораспределения при λ = 1.f(x)1F(x)10.50.524024Числовые характеристики экспоненциальной случайной величины:mT = 1 / λ , DT = 1 / λ 2 .(6.12)Условия возникновения.

Случайная величина T – интервал времени междудвумя соседними событиями в простейшем или пуассоновском потокеслучайных событий, причем параметр распределения λ – интенсивность потока.Нормальное распределение (распределение Гаусса) имеет непрерывнаяслучайная величина Х, если ее плотность вероятности и функция распределенияравны:⎧ ( x − m )2 ⎫1⎛ x−m ⎞f (x ) =exp⎨−⎬ , F ( x ) = 0 .5 + Φ ⎜⎟ , (6.13)22σσ 2π⎝ σ ⎠⎩⎭где m, σ – параметры распределения (σ > 0);xt2−1Φ( x) =e 2 dt — функция Лапласа.∫2π 0Ниже приведены графики плотности и функции нормальногораспределения при m = 1, σ = 1.0.4f(x)F(x)10.220.5022022Так как первообразная для e−x в аналитическом виде не существует, то длявычисления значений функции распределения и вероятностей событий,связанных с нормальной случайной величиной, используется табулированнаяфункция Лапласа.

При использовании таблицы значений функции Лапласаследует учитывать, что Φ(–x) = – Φ(x), Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.Числовые характеристики нормальной случайной величины:mX= m,DX= σ2;(6.14)α k ( x) = k !I [k / 2]∑i=0m k − 2 i (σ / 2) i;( k − 2 i )! i !⎧ 0, k − нечетное,⎪µ k (x) = ⎨ k ! ⎛ σ 2 ⎞k /2, k − четное.⎜⎟⎪⎩ (k / 2)! ⎝ 2 ⎠(6.15)(6.16)Условия возникновения. Это наиболее часто встречающийся на практикезакон распределения – см. лекцию 12 (Центральная предельная теорема).Например, нормальный закон распределения имеют:– погрешности измерительных приборов; при этом откалибрированныйприбор не имеет систематической погрешности, т.е. m = 0, а величина σопределяется классом точности измерительного прибора;– параметры радиоэлектронных компонентов (резисторов, конденсаторови т.п.), причем m – номинальное значение, указанное на маркировке, а σопределяется классом точности.ЛЕКЦИЯ 7Функции одного случайного аргументаПусть некоторая случайная величина Х подвергается детерминированномупреобразованию ϕ, в результате которого получится величина Y, т.е.

Y = ϕ(x) .Очевидно, что величина Y будет случайной, и, как правило, необходимоопределить закон распределения и/или числовые характеристики случайнойвеличины Y по известному закону распределения величины Х и видупреобразования ϕ.Закон распределения функции случайного аргументаВ случае, если Х – дискретная случайная величина с известным рядомраспределения вероятностей, определение ряда вероятностей Y не составитсложности.xipix1p1x2p2……xnpiyipiϕ(x1)ϕ(x2)ϕ(xn)p1p2……yipjy1p1y2p2……ympmpn(*)(**)Из (*) путем упорядочивания и объединения одинаковых значенийполучаем ряд распределения случайной величины Y (**).Если Х – непрерывная случайная величина с известной плотностьювероятности f ( x) , то алгоритм получения закона распределения Y = ϕ ( x)зависит от вида ϕ. Рассмотрим участок оси абсцисс [а, b], на котором лежат всевозможные значения величины Х, т.е. p(a ≤ X ≤ b) =1, в частном случаеa = −∞, b = +∞ .