Лекции по ТВиМС, страница 8

f(x, y) ≥ 0.2. Условие нормировки:∞∞∫ ∫−∞ −∞f ( x , y )d x d y = 1 .(8.7)Геометрически – объем тела, ограниченный поверхностью распределения иплоскостью x0y, равен единице.3. Переход к функции распределения:x yF ( x , y) =∫ ∫ f ( x , y)dxdy .(8.8)−∞−∞4. Переход к одномерным характеристикам:∞fX (x) =∫f ( x, y )dy ;(8.9)∫f ( x, y )dx .(8.10)−∞∞fY ( y ) =−∞Зависимые и независимые случайные величиныВеличина Х независима от величины У, если ее закон распределения независит от того, какое значение приняла величина У. Для независимых величинвыполняется следующие соотношения, т.

е. критерии независимости:1) F(x, y) = p(X < x, Y < y) = p(X < x)p(Y < y) = FX(x)FY(y) ∀ x, y;(8.11)2) для непрерывных – f(x, y) = fX(x)fY(y) ∀ x, y;(8.12)3) для дискретных – pij = pi pj , для ∀ i, j.(8.13)В том случае, если критерии не выполняются хотя бы в одной точке,величины X и Y являются зависимыми. Для независимых величин двухмерныеформы закона распределения не содержат никакой дополнительнойинформации, кроме той, которая содержится в двух одномерных законах.Таким образом, в случае зависимости величин X и Y переход от двуходномерных законов к двухмерному закону осуществить невозможно. Дляэтого необходимо знать условные законы распределения.Условные законы распределенияУсловным законом распределения называется распределение однойслучайной величины, найденное при условии, что другая случайная величинаприняла определенное значение.Условные ряды распределения для дискретных составляющих Х и Yопределяются по формулам:pi/j = p(X = xi/Y = yj) = pij/p(Y = yj), i = 1, ..., n;(8.14)pj/i = p(Y = yj/X = xi) = pij/p(X = xi), j = 1, ..., m.(8.15)Матрица распределения вероятностей дискретной двухмерной случайнойвеличины (Х,Y), если ее компоненты зависимы, «порождает» два одномерныхряда вероятностей (см.

(8.3, 8.4)) и два семейства условных рядов вероятностей(8.14, 8.15).Условные плотности распределения для непрерывных составляющих X иY определяются по формулам:f(x/y) = f(x, y)/fY (y), для fY (y) ≠ 0;(8.16)f(y/x) = f(x, y)/fX (x), для fX (x) ≠ 0.(8.17)Условные законы распределения обладают всеми свойствамисоответствующих им одномерных форм законов распределения.Если величины Х и Y независимы, то условные законы распределенияравны соответствующим безусловным:pi/j = pi, i = 1, ..., n;(8.18)pj/i = pj, j = 1, ..., m.(8.19)f(x/y) = fX (x);(8.20)f(y/x) = fY (y).(8.21)Следует различать функциональную и статистическую (вероятностную)зависимости между случайными величинами.

Если Х и Y – случайныевеличины, которые связаны между собой функциональной зависимостью у == ϕ (х), то, зная значение Х, можно точно вычислить соответствующие значениеY, и наоборот.Если между случайными величинами существует статистическаязависимость (величины Х и Y зависимы – см. (8.11 – 8.13)), то по значениюодной из них можно установить только условное распределение вероятностейдругой, т.е. определить, с какой вероятностью появится то или иное значениедругой величины.Пример. Y – урожай зерна, Х – количество удобрений на некоторомучастке земли.

Очевидно, что между Х и Y существует статистическаязависимость, так как значение Y (урожайность на участке) зависит и от многихдругих факторов.ЛЕКЦИЯ 9Числовые характеристики двухмерных величинРассмотрим основные числовые характеристики двухмерной случайнойвеличины (X, Y).Смешанный начальный момент порядка k + s равен математическомуожиданию произведения Xk и Ys:⎧n m k s⎪∑∑ xi y j pi, j для ДСВ,⎪ i =1 j =1αk ,s ( x, y) = M[ X kY S ] = ⎨ ∞ ∞(9.1)k s⎪xyf(x,y)dxdyдляНСВ.⎪∫ ∫⎩−∞ −∞Смешанный центральный момент порядка k + s равен математическомуk°ожиданию произведения центрированных величин X° и Ys:⎧ks⎪∑∑(xi − mx ) ( y j − my ) pi, j для ДСВ,⎪ i=1 j=1µk,s (x, y) = M[(X − mX )k (Y − mY )s ] = ⎨ ∞ ∞(9.2)⎪ (x − m )k ( y − m )s f (x, y)dxdy для НСВ,xy⎪∫ ∫⎩−∞ −∞nmгде pij – элементы матрицы распределения вероятностей дискретной случайнойвеличины (ДСВ) (X, Y);f(x, y) – совместная плотность вероятности непрерывной случайнойвеличины (НСВ) (X, Y).Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:mX = α1,0 ( x, y ), mY = α 0,1 ( x, y ) ;(9.3)DX = µ2,0 ( x, y) = α2,0 ( x, y) − mX2 , DY = µ0,2 ( x, y) = α0,2 ( x, y) − mY2 .

(9.4)Особую роль, как характеристика системы случайных величин, играетвторой смешанный центральный момент порядка 1+1 µ1,1 ( x, y) , которыйназывается корреляционным моментом или ковариацией случайных величин X,Y.Корреляционный момент KXY характеризует степень тесноты линейнойзависимости величин X и Y и рассеивание их значений относительно точки (mX,mY):K XY = µ 1,1 ( x , y ) = α 1,1 ( x , y ) − m X m Y .(9.5)Свойства ковариации KXY :1. KXY = KYX.2. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Yравен нулю.Доказательство. K XY = α 1,1 ( x , y ) − m X mY =∞ ∞∫ ∫x−∞ −∞y f ( x , y ) dxdy − m X mY .Для независимых величин (см.

(8.12)) f ( x, y) = f X ( x) ⋅ fY ( y) , ⇒∞ ∞⇒∫ ∫xy−∞ −∞∞f ( x, y)dxdy =∫x−∞∞f X ( x)dx ⋅ ∫ y fY ( y)dy = mX mY и KXY = mX mY – mX mY = 0.−∞3. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайныхвеличин не превышает среднего геометрического их дисперсийK xy ≤ Dx ⋅ Dy или K xy ≤ σ x ⋅ σ y .(9.6)Доказательство. Приведено в лекции 11.Если K XY < 0 , то между величинами X и Y существует отрицательнаякорреляционная зависимость, т.е.

чем больше значение одной величины, темболее вероятны меньшие значение у другой (см. статистическую зависимость влекции 8). Пример. Х – число пропусков занятий студента, Y – оценка наэкзамене.Если K XY > 0 , то между величинами X и Y существует положительнаякорреляционная зависимость, т.е. чем больше значение одной величины, темболее вероятны большие значения у другой.

Пример. X и Y – рост и вес наугадвзятого студента.Если K XY = 0 , то величины X и Y называются корреляционнонезависимыми или некоррелированными, т.е. между ними отсутствуетзависимость линейного характера.Если K XY ≠ 0 , то величины X и Y называются коррелированными.Итак, из коррелированности двух случайных величин следует ихзависимость, но из зависимости еще не вытекает их коррелированность, так какзависимость может иметь и нелинейный характер.

Из независимости случайныхвеличин (см. критерии независимости (8.11 − 8.13)) обязательно следует ихнекоррелированность, но из некоррелированности не всегда следуетнезависимость этих величин.Величина ковариации K XY зависит от дисперсии случайных величин X, Y,т.е. от рассеивания их значений относительно точки (mX, mY), поэтому для того,чтобы получить характеристику только степени тесноты линейнойзависимости, корреляционный момент нормируется.

Эта числоваяхарактеристика называется коэффициентом корреляции.Коэффициент корреляции R XY характеризует степень линейнойзависимости величин и равен:RXY =K XYK= XY .DX DY σ X σ Y(9.7)Свойства коэффициента корреляции:1. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух случайныхвеличин не превышает единицы: R XY ≤ 1 .Доказательство. Разделим обе части двойного неравенства (9.6)−σ XσY ≤ KXY ≤ σ XσY на произведение положительных чисел σ X σ Y ≥ 0 и получим− 1 ≤ R XY ≤ 1 ⇒ R XY ≤ 1 .2.

R XY = 1 , если величины X, Y связаны линейной функциональнойзависимостью Y = aХ + b.Доказательство:K X Y = µ 1,1 ( x , y ) = M [( X − M [ X ])( aX + b − M [ aX + b ])] == M [( X − m X )( aX + b − am X − b )] = aM [( X − m X ) 2 ] = aD X .2Найдем дисперсию Y: D [Y ] = D [ aX + b ] = a D X , т.е.

коэффициенткорреляции: RXY =K XY=DX DYaDXDX a 2 DX=a⇒ RXY = 1.aЧем больше абсолютная величина коэффициента корреляции, тем ближестатистическая зависимость величины X, Y к линейной функциональнойзависимости.3. Если величины X и Y независимы, то RXY = 0 .Условные числовые характеристикиДля зависимых двухмерных величин могут быть определены условныезаконы распределения (см. (8.14 − 8.17)). Эти законы распределения обладаютвсеми свойствами безусловных законов, и на их основе по известным формулам(5.1 − 5.4) (после замены в них безусловных законов на условные) могут бытьвычислены числовые характеристики, которые называются условными.Наибольшее практическое значение имеют условные математическиеожидания.Условным математическим ожиданием случайной величины Хназывается ее математическое ожидание, вычисленное при условии, чтослучайная величина Y приняла определенное значение Y = y:M [ X / y] = mX/yn⎧⎪ ∑ xi ⋅ pi / j , д л я Д С В ,i =1⎪= ⎨∞⎪ x ⋅ f ( x / y )dx , для Н С В .⎪⎩ −∫∞(9.8)Аналогично и дляM [Y / x ] = m Y/xn⎧y j ⋅ p j/i , для Д С В ,∑⎪i =1⎪= ⎨ ∞⎪y ⋅ f ( y / x)dx , для Н С В .⎪⎩ −∫∞(9.9)Условное математическое ожидание m X / y называется регрессией X на y,а условное математическое ожидание m Y / x − регрессией Y на х.

Очевидно, чтоусловные математические ожидания представляют собой некоторые функции,которых зависят от значения, взятого в условии, т.е. m X / y = ψ ( y ) , аmY / x = ϕ ( x ) .Графики этих зависимостей называются линиями регрессии ( см.рисунок).Линия регрессии 1 указывает, что между величинами X, Y существуетположительная корреляционная зависимость, так как при увеличении значениях более вероятны большие значения YmY / x(среднее значение Y увеличивается), т.е.1K XY > 0 . Линия регрессии 2 указывает,что величины X, Y независимы, а линия2регрессии 3 – что между величинами X, Y m Yсуществует отрицательная корреляционнаязависимость, т.е. K XY < 0 .3xРегрессионный анализ позволяетвыявитьхарактерсвязимеждувеличинами X, Y. Величины X, Y называются линейно коррелированными, еслилинии регрессии являются прямыми.

Уравнения прямых регрессии имеют вид:σσmY / x = mY + R XY Y ( x − m X ) , mX / y = mX + RXY X ( y − mY ) . (9.10)σXσYОбе прямые проходят через точку (mX, mY), которую называют центромсовместного распределения величин Х и Y.ЛЕКЦИЯ 10Нормальный закон распределения на плоскостиНепрерывная двухмерная случайная величина (X, Y) имеет нормальноераспределение, если ее плотность вероятности равна:f ( x, y) =12πσ X σ Y 1 − R2XYe−⎡ ( x − mX )2 2 RXY ( x − mX )( x − mY ) ( y − mY )2 ⎤−+⎢⎥2σ X σY2(1− RXY) ⎣⎢ 2σ X22σ Y2 ⎦⎥1, (10.1)где mX , mY ,σ X ,σY , RXY – параметры распределения.Если составляющие X, Y двумерной нормально распределеннойслучайной величины некоррелированы, то они и независимы, т.е.

при R XY = 0( x−mX )2( y −mY )21 ⎡ ( x−mX )2 ( y −mY )2 ⎤111− ⎢+−−⎥22222σ X ⋅2σY2 = f ( x) f ( y) .σY ⎦⎥ =f ( x, y) =⎣⎢ σ XXYee2πσ X σY eσ X 2πσ y 2πИтак, для нормальных случайных величин понятия независимости инекоррелированности равносильны.Закон распределения функции двух случайных величинРассмотрим функцию двух случайных аргументов Y = ϕ ( X1 , X 2 ) .Необходимо определить закон распределения случайной величины Y поизвестному закону распределения двухмерной случайной величины (Х1, Х2) ивиду преобразования ϕ. Функция распределения G(y) величины Y определяетсяпо формулеG( y) = p(Y < y) = p( f ( x1, x2 ) < y) = ∫∫ f ( x1, x2 )dx1dx2 ,(10.2)( D)где f ( x1 , x2 ) − совместная плотность вероятности величин X1 и X2.В формуле (10.2) интегрированиеx2производится по области D, котораяyопределяетсяизусловияϕ ( X 1 , X 2 ) < y .