2termodinamika (задачники по физике (механика и термодинамика)), страница 17

Пусть концентрациякакого либокомпонентагазауменьшается в направлении оси ОХ, какэто показано на рис.5.1. Выделимплощадку S, перпендикулярную этойоси.Закон Фика определяет массу газаМ, переносимую вследствие диффузииза время через площадку Sd(5.6)MD S ,dxMd dxn=n(х)S0Рис. 5.1X96где d dx – градиент плотности компонента газа, D – коэффициентдиффузии газа, равный1(5.7)Dv .3Коэффициент диффузии численно равен массе данногокомпонента, переносимой через единицу площади поверхности заединицу времени при единичном градиенте плотности.Знак минус в уравнении (5.7) обусловлен тем, что перенос массыосуществляется в сторону уменьшения концентрации (плотности)газа, а градиент плотности по определению всегда направлен всторону увеличения плотности газа.Закон Фика определяет также число молекул газаN,переносимых вследствие диффузии через площадку S:dn(5.8)ND S ,dxгде dn dx – градиент концентрации молекул компонента газа.ВязкостьВязкость – возникновение силpвнутреннего трения на границе междуYсмежнымислоямидвижущейсяdu dxсреды (жидкости или газа), которыестремятся выровнять скорости слоев.SНа рис.5.2 показан поток газа,распространяющийся вдоль оси ОY,скоростьдвижениякоторого(упорядоченная скорость) изменяFFется непрерывно от слоя к слою позакону u = u(x).

Выделим площадкуS, параллельную слоям потока газа.Импульс р, переносимый за счет0Xхаотического движения молекул изодного слоя в другой через площадкуS за время , запишетсяu = u(x)du(5.9)рS ,dxгде du dx – градиент скоростиупорядоченногодвиженияслоевРис. 5.2жидкости или газа.Знак минус в уравнении (5.9) обусловлен тем, что переносимпульса осуществляется в сторону уменьшения скорости uупорядоченного движения слоев газа, а градиент направлен в сторонуувеличения скорости u.97Перенос импульса обусловливает возникновение на границеслоев сил внутреннего трения F (см. рис.5.2).

Величина F dp dопределяется формулой НьютонаduFS.(5.10)dxПоскольку сила трения направлена вдоль поверхности,разделяющей слои газа, то направления силы трения и градиентаскорости всегда взаимно перпендикулярны (рис.5.2). Поэтомууравнение (5.10) определяет только величину (модуль) силы трения.Коэффициент вязкости (динамическая вязкость)газаопределяется формулой1,(5.11)v3где – плотность газа.Из уравнения (5.11) следует, что коэффициент вязкости численноравен силе внутреннего трения, действующей на единицу площадиповерхности соприкасающихся слоев газа при единичном градиентескорости.При движении с постоянной скоростью u тел сферической формырадиусом r в жидкости (газе) для определения силы внутреннеготрения F можно использовать формулу Стокса(5.12)F 6 ur .ТеплопроводностьТеплопроводность–процессQпередачи теплоты от более нагретогоdT dxслоя вещества к менее нагретому.Нарис.5.3показаноизменениеТ=Т(х)температурынекотороговеществавдоль оси ОХ.Закон Фурье определяет количествоSтеплаQ,переданногозасчеттеплопроводности через площадку S завремяdT(5.13)QS,0dxXРис.5.3где dT dx – градиент температуры, –коэффициенттеплопроводностивещества.

Формула (5.13) справедлива для теплопроводности как вжидких, газообразных, так и твердых телах.Знак минус в уравнении (5.13) обусловлен тем, что переносколичества теплоты всегда осуществляется в сторону уменьшениятемпературы, а градиент направлен в сторону увеличениятемпературы (см. рис.5.3).98ИззаконаФурье(5.13)следует,чтокоэффициенттеплопроводности численно равен количеству теплоты, проходящемучерез единицу площади поверхности за единицу времени приединичном градиенте температуры.В случае теплопроводности газов перенос теплоты осуществляется врезультате обмена молекулами кинетической энергией при ихсоударениях в процессе хаотического движения.

Тогда для газовкоэффициент теплопроводности может быть определен по формуле1(5.14)v c Vуд ,3где c Vуд – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.Если разность температур Т не очень велика, то при расчетекоэффициента теплопроводностиобычно среднеарифметическуюскорость молекули плотность газаопределяют поvсреднеарифметическому значению температуры.Часто в задачах изменение от слоя к слою какой–либо величины(плотности , температуры Т, скорости упорядоченного движения u)можно считать линейным, тогда градиент этой величины можнозаписать в виде:ddTTduu.;;dxxdxxdxxПримеры решения задачЗадача 5.1 Баллон объемом V = 10 л содержит водород массойm = 1 г.

Определить среднюю длину свободного пробега молекулыводорода. Эффективный диаметр молекулы водорода d эф = 0,28 нм,молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.РешениеСредняя длина свободного пробега молекул согласно формуле(5.1) определяется1.2 d2эфnКонцентрацию молекул газа находим из соотношения nчисло молекул в баллонеmNNA .СледовательноОкончательно имеемnmNAVN V , где99V2 102dэ™mN A3310 1010 239,6 10 8 “ .2322 3,14 (2,8 10 ) 106,02 10Задача 5.2 Найти среднее число Z столкновений, которыепроисходят в течение одной секунды между всеми молекулами гелия,занимающего при нормальных условиях объем V = 1 мм3.Эффективный диаметр молекулы гелия dэф = 2 10–10 м, молярнаямасса гелия = 4 10–3 кг/моль.РешениеСреднее число столкновений каждой молекулы за одну секундуопределяется по формуле (5.4).z vПодставляя в это выражение среднюю арифметическую скоростьмолекул гелия8RTvи среднюю длину свободного пробега молекул1,2 d2эфnполучаемz4d2эфnRT.Выразим число всех молекул в сосуде через концентрацию N = nV.Учитывая, что в среднем в столкновении участвуют две молекулы,получаем общее число столкновений всех молекулNRT2V(nd' эф )2.2Концентрацию молекул найдем из уравненияидеального газа (5.2)P,nkTтогда имеемZZ2VPdэфkTz2RT2 10910 5 2 101,38 1023102732состояния3,14 8,31 2734 1037,52 10 25 1 / cЗадача 5.3 Как зависят средняя длина свободного пробега ичисло столкновений каждой молекулы идеального газа в единицу100времени от температуры в следующих процессах: а) изохорическом, б)изобарическом?Решениеa) Средняя длина свободного пробега молекул1.2 d2эфnДля изохорического процесса (V = const) концентрация молекулгаза n N V не изменяется, следовательно = const и не зависит оттемпературы газа.Среднее число столкновений молекулы за одну секунду.z vили (см.

решение задачи 5.2)z4d2эфnRT.Следовательно, среднее число столкновений зависит оттемпературы газа z ~ T .б) Для изобарического процесса (P = const) концентрация газа n небудет постоянной. Заменяя n P kT , получаемkT2 d2эфP,т.е.средняядлинасвободногопробегамолекулпропорциональна температуре ( ~ T).Среднее число столкновений молекулы за одну секундуz4d2эф nRT4d2эфPkпрямоR.TСледовательно, z ~ 1 T .Задача 5.4 Определить,восколькоразотличаютсякоэффициенты диффузии двух идеальных газов, находящихся водинаковых условиях, если отношение молярных масс этих газов0,6 . Значения эффективных диаметров молекул этих газов1 2принять одинаковыми.РешениеКоэффициент диффузии согласно формуле (5.7) равенD13v ,где средняя длина свободного пробега молекули средняяарифметическая скорость молекул v соответственно запишутся1011kTd2эфn22 d2эфP8kNA T8RTv;.Подставляя в формулу для коэффициента диффузии, получаем8kNA T1kT23 2 dэфPDNA Tk232.3d2эфPСледовательноD2D110,60,77 .2Задача 5.5 Определить коэффициент диффузии D кислорода вусловиях, когда отношение давления и температуры равноP T 103 Па K , а коэффициент вязкости при этих условиях= 1,9 10–4 г/(см с).

Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.РешениеЗапишем формулы для коэффициентов вязкости и диффузии газа1313v ; Dv .СледовательноD.Из уравнения состояния идеального газа имеемP,RTтогдаDRTP19, 1010358,310,0324,93 10Задача 5.6 Гелий при нормальных условияхзаполняетпространствомеждудлиннымикоаксиальными цилиндрами. Радиус внешнегоцилиндра R1 = 8 см, зазор между ними L = 4 мм(см.рис.5.4). Внешний цилиндр неподвижен,внутренний вращается с угловой скоростью= 2 рад/с. Найти момент сил трения,действующих на единицу длины внешнегоцилиндра.

Коэффициент вязкости гелия принормальных условиях = 1,96 10–5 кг/(м с).6м2 c .LR1Рис. 5.4102РешениеНа боковую поверхность внешнего цилиндра будет действоватьсила вязкого трения (5.10)duSdrFи момент этой силы, равныйMтрFR1 .Найдем градиент скорости du dr слоев газа в зазоре междуцилиндрами, считая, что скорость изменяется линейно от нуля вблизиповерхности внешнего цилиндра до u(R 1 L) вблизи поверхностивнутреннего цилиндра:(R1 L )duu u.drLLLПлощадь боковой поверхности внешнего цилиндра равна S 2 R1h ,где h = 1 м - длина цилиндров.Подставляя, получаем(R1 L)F2 R1hLиR11 2 R 12hLMтрMтр196,10528 1024 1031 2 314,64 10451 3 10H м.Задача 5.7 Какой наибольшей скорости может достичь дождеваякапля диаметром D = 0,3 мм? Коэффициент вязкости воздуха принятьравным = 1,8 10–5 кг/(м с).

Плотность воды = 1000 кг/м3.РешениеНа падающую дождевую каплю действуют три силы (рис.5.5):а) Сила тяжестиFт mgводыVg ,0где V4R331 3D – объем капли.6б) Сила сопротивления (вязкого трения), котораяопределяется по формуле Стокса (5.12)Fс 6 uR 3 uD .в) Выталкивающая сила АрхимедаFAвоз дVg .YFCFAFТРис. 5.5103Так как воз дводы , в данном случае выталкивающей силойможно пренебречь.При установившемся движении скорость максимальна, аускорение капли равно нулю, следовательно второй закон Ньютона впроекции на оси ОY имеет видFтFcили016водыD3 g 3uD0.Окончательно имеемuводыD2g10 3 (0,3 10183 3)18 1,8 109,8158,2 10 4 м c .Задача 5.8 Цилиндрический термос имеет наружный радиусr2 = 20 см, внутренний r1 = 16 см, высоту h = 60 см. При какомдавлении коэффициент теплопроводности воздуха между стенкамитермоса начнет уменьшаться при откачке воздуха? Какое количествотепла передается ежесекундно через стенки термоса при давленииP = 0,02 Па, если температура внутри термоса t1 = 60 С, снаружи –t2 = 20 С? Температуру воздуха между стенками термоса считатьравной среднему арифметическому температур внутри и снаружитермоса.

Эффективный диаметр молекулы воздуха dэф = 0,3 нм,молярная масса воздуха = 0,029 кг/моль.РешениеПри уменьшении давления средняя длина свободного пробегамолекул воздуха начинает увеличиваться и при некотором Ркрстановится равной расстоянию между стенками сосуда. Найдем Р кр изусловия(r2 r1 ) :kTcp1;2 d2эфn2 d2эфPkpk(T1T2 )1,38 1023(293333 )0,27 Па .22 2 dэф(r2 r1 ) 2 2 3,14 0,3 2 10 18 4 10 2Можно считать, что начиная с этого значения давлениятеплопроводность воздуха будет преимущественно определяться нестолкновениями молекул между собой, а их столкновениями состенками сосуда.