2termodinamika (задачники по физике (механика и термодинамика)), страница 14

Сравнитьполученную величину с величиной, обратной к средней скорости.РешениеДля определения средней величины обратной скоростииспользуем функцию распределения Максвелла по модулю скорости(4.10). Тогда согласно (4.5) имеем1v1f ( v )dvv0m02 kT432m0 V 22kTv edv .0m0, перепишем интеграл в виде2kTВводя обозначение31v42v eV2dv .0Воспользовавшись интегралом из таблицы 1 (см. Приложение), получим:1v342124122m0.2 kT2Средняя арифметическая скорость была найдена ранее (4.19),поэтому 1vm0. Сравниваем полученные величины8kT1v1 v2m02 kT8kTm01624.Задача 4.2 Найти отношение числа молекул азота, находящихсяпри нормальных условиях, модули скорости которых лежат винтервале 1) от 99 м/с до 101 м/с : 2) от 499 м/с до 501 м/с.

Молярнаямасса азота = 28 10–3 кг/моль.РешениеТак как интервал скоростей мал, то расчет проводим согласно(4.22). Из распределения Максвелла по модулю скорости имеем78N1N2где v1 = v2 = 2 м/с; v1Учитывая, что m0молекул4m02 kT4m02 kT32322m0 v12kTev1m0 v22kTe2v1 ,2v22v2 ,99 101499 501100 м c ; v2500 м с .22NA , а kNA R , получаем отношение числаv1N1N2v222exp2RT2( v22v1 )Вычисляем (T = 273 K):N1N2(100 )2(500 )2exp28 10 3((500 )22 8,31 273то есть число молекул со скоростями 499 v2число молекул со скоростями 99 v1 101 м/c.(100 )2 )0,176 ,501 м/c больше, чемЗадача 4.3 Найти относительное число молекул N N идеальногогаза, скорости которых отличаются не более чем на= 1% отзначения средней квадратичной скорости.

Какова вероятность w того,что скорость молекулы газа лежит в указанном интервале?Решениеv 2 v cр.kв.Рассматриваемый интервал скоростеймал,следовательно проводим расчет по функции распределенияМаксвелла с учетом (4.22)m0 v2cp.kв32m0N4e 2kTv 2cp.kв. 2 v cp.kв.N2 kTИспользуя выражение (4.20) для средней квадратичной скоростиv cp.k‰.3kT m 0 , имеемNN4m02 kT32e33kTm02322832ОкончательноNNСогласно (4.38)8 10 2 32314,32e32185,10232e3279wNN185,102185%,Задача 4.4 Водород при нормальных условиях занимает объемV = 1 cм3.

Определить число молекул N, обладающих скоростямименьше некоторой vmax = 1 м/c. Молярная масса водорода= 2 10–3 кг/моль.РешениеДля нахождения числа частиц в произвольном интервалескоростей нужно перейти к безразмерной скорости u = v/vB ирассчитать интеграл (4.25)Nu24Nu2 eu2du .u1Значение наиболее вероятной скорости для водорода принормальных условиях (Т = 273 К):vв2RT2 8,31 2731500 м с ,2 10 3следовательно, величина безразмерной скорости u = v/vB будетизменяться в пределах от u1 = v1/vB = 0 (так как v1 = 0) доu2 vmax vв 1 15001.Так как безразмерная скорость мала, то для вычисления числамолекул в этом интервале можно воспользоваться формулой (4.26)4Nu324N 33N( v )(u 2 u1 )33Общее число молекул водорода в объеме VN n VPV,kTтогда окончательное выражение для расчетаN43PVu 32kT4 10 5 10361,38 10(1 1500 )3232735,9 10 9 .Задача 4.5 Какая часть от общего числа молекул идеального газаимеет скорости а) меньше наиболее вероятной; б) больше наиболеевероятной?Решениеv1Относительное число молекул, имеющих скорости в интервалеv v2, можно найти по формуле (4.25)80NN4u2u2u2 edu ,u1где u = v/vB и, соответственно, u1 = v1/vB; u2 = v2/vB.а) Скорости молекул лежат в диапазоне 0 v vB, значит,пределы интегрирования u1 = 0 и u2 = 1.

Тогда c помощью интегралаошибок в соответствии с (4.29) находимN2u2(u2 )u2 e 2 .NИз Таблицы 2 (см. Приложения) возьмем значение Ф(u2 = 1) = 0,8427 ивыполним расчетNN20,84271e10,842720,43 .eб) Во втором случае диапазон изменения скорости vB vи,значит, пределы интегрирования в (4.25) u1 = 1 и u2 = . В этом случаесогласно формуле (4.30)N221u21(u1 )u1 e 1 1 0,84270,57.N3,14 eЗадача 4.6 Найти относительное число молекул идеального газа,кинетическая энергия которых отличаются от наиболее вероятногозначения энергии Ев не более, чем на = 1%.РешениеРассматриваемый интервал энергий E 2 Eв мал, следовательнопроводим расчет по функции распределения Максвелла (4.15)2 Ef (E)(kT )3eEkT .Согласно (4.22), учитывая, что Е = Ев, имеемNN2 E‰(kT )3eE‰kT2 E‰4 E‰32(kT )3 2eE‰kT.Найдем наиболее вероятное значение энергии, исследуя f(E) наэкстремум f E E 02(kT )31e2 EEkTE eEkT1kT0Подставляем Ев и находим относительное число частицEBkT.281NN4 (kT 2)3 2(kT )32kT2kTe2e2 10 23,14 e 2124,8 103Задача 4.7 В сосуде находится m = 8 г кислорода притемпературеТ = 1600 К.Молярнаямассакислорода332 10 кг/моль.

Какое число молекул N имеет кинетическуюэнергию поступательного движения, превышающую Е0 = 2 10–19 Дж?РешениеВоспользуемся соотношением (4.32) для расчета числа молекул взаданном интервале энергий Е0 Е.N2Nt2t e t dt ,t1где t 1 E0 kT , t2 = .Оценим величину2 10 19138,10 23 1600Тогда в соответствии с (4.37)2NNt1 e t1 .t1E0kT9,05 .Найдем общее число молекул кислородаNmNA8 10336,02 10 231,5 10 23 .32 10Тогда число молекул с кинетической энергией большей Е0N2 15, 1023314,9,05 e9,056 1019Задача 4.8 Пылинки массой m = 10–18 г взвешены в воздухе.Определить толщину слоя воздуха, в пределах которогоконцентрация пылинок различается не более чем на= 1%.Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна Т = 300 К.Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.РешениеПри равновесном распределении пылинок их концентрациязависит только от вертикальной координаты z и описываетсяфункцией распределения Больцмана (4.43)n( z)n0 emgzkT .82Продифференцировав выражение по z, получимmgdnn0ekTОткуда изменение координатыmgzkTmgzn dz .kTdzkT dn,mg ndzзнакпоказывает, что с увеличением высоты концентрация уменьшается.По условию задачи изменение концентрации частиц n с высотоймало по сравнению с самой концентрацией n, поэтому можноприближенно заменить дифференциал dn на конечное приращениеn.

Тогда толщина слоя воздуха с учетом того, что по условию n/n = ,zkTmgnn1,38 10 23 3000,0110 21 9,81kTmg4,22 мм .Задача 4.9 Определить силу, действующую на частицу,находящуюся во внешнем однородном поле тяготения, еслиотношение концентраций частиц n1/n2 на двух уровнях, отстоящихдруг от друга на z = 1 м, равно е. Температуру считать постоянной иравной Т = 300 К.РешениеПри равновесном распределении частиц во внешнем однородномполе тяготения зависимость концентрации частиц от высоты(вертикальная ось z) определяется распределением Больцмана(4.43).

Для двух указанных в условии уровнейn1n( z1 )n(0) eа их отношение по условиюn1expn2U( z1 )kT; n2n( z 2 )U( z1 ) U( z 2 )kTn(0) eU( z2 )kT,e.Логарифмируя это выражение, получимlnn1n2U( z1 ) U( z 2 )kT1U.kTУчитывая, что в одномерном поле согласно (4.42), U =получим, чтоk T 1,38 10 23 300k T F zF4,14 10z1F z,21HЗадача 4.10 Идеальный газ находится в бесконечно высокомвертикальном цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая83поле сил тяжести однородным, найти: 1) среднее значениепотенциальной энергии U молекул газа; 2) как изменится давлениегаза на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз.Решение1) При равновесном распределении молекул в однородном полесилы тяжести функция распределения Больцмана (4.40)f (U)UkT ,B eгде В некоторая постоянная, U потенциальная энергия в полесилы тяжести.

kT тепловая энергия частиц при данной температуре.Для нахождения среднего значения потенциальной энергии черезфункцию распределения воспользуемся формулой (4.4)UkTU B edU0UUkTU edU.0B eUkTdUe0UkTdU0Вычислим записанные интегралы с помощью Таблицы 1:UeUkTdUxxe01dx20eUkTdUxe0dx1, где1kTUe0k 2T 201kT, гдеUkT dUeUkTdUkT .0Тогда получаемk 2T2kTUkT .2. Воднородномполесилтяжестипотенциальнаяэнергия U m g z (где уровень z = 0 соответствует дну сосуда).Запишем закон Больцмана в виде (4.43)n( z)n(0) emogzkT.Числочастицвэлементарномцилиндрического сосуда dV = S dzdN( z)n( z) dVобъемеn(0) emogzkTвертикальногоS dz ,где n(0) P(0) kT .Полное число частиц в бесконечно высоком вертикальномцилиндрическом сосуде при постоянной температуре Т1N1dN0n(0) e0mogzkTS dzP1(0) SekT1 0mogzkT dz .84Делая замену переменнойm0 gxz ; dxkT1получаемN1mo gdzkT1P1(0)SkT1e x dxkT1m0 gP1(0)Sem0 g0kT1dx ,mo gdz,P1(0)S.m0 gx0Аналогично рассчитывается число частиц N2 при температуре Т2P2 (0)SN2.m0 gДля бесконечно высокого сосуда полное число частиц должно бытьодинаковым, т.е.

N1 = N2. Следовательно, давление на дно сосудапри изменении температуры не меняется P1(0) = P2(0).Задача 4.11 Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используяфункцию распределения Больцмана, установить распределение концентрацииn для частиц массой m, находящихся на расстоянии r от оси вращения.РешениеФункция распределения концентрации частиц в одномерном полесогласно (4.41)U(r )n(r ) n(0) exp,kTгде U(r) потенциальная энергия частиц в силовом поле.При вращении центрифуги с угловой скоростьюна каждуючастицу, находящуюся на расстоянии r от оси вращения действуетцентробежная сила F(r ) m 2 r , а связь между силой ипотенциальной энергией задается формулой (4.42) U(F r ) .Тогда можно получить потенциальную энергиюU(r )Fr dr2mr drm22r2C.Положим, что при r = 0, U(r) = 0 и, следовательно, константа С = 0.Таким образом, потенциальная энергия записываетсяU(r )m2r22.Подставляя энергию в распределение концентрации, получаемфункцию расстояния от оси вращенияn(r )n 0 expm22kTr2.85Задачи для самостоятельного решения4.12 Вычислитьсреднююарифметическуюисреднююквадратичную скорости молекул идеального газа, у которого принормальном атмосферном давлении плотность = 1 г/л.4.13 Вычислить наиболее вероятную скорость молекул идеального газа,у которого при нормальном атмосферном давлении плотность = 1 г/л.4.14 Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную инаиболее вероятную скорости молекул идеального газа, у которогопри давлении Р = 300 мм.рт.ст плотность = 0,3 кг/м3.4.15 Определить температуру водорода, при которой средняяквадратичная скорость молекул больше их наиболее вероятнойскорости на v = 400 м/с.

Найти среднюю арифметическую скоростьмолекул водорода при этой температуре. Молярная масса водорода= 2 10–3 кг/моль.4.16 При какой температуре средняя квадратичная скоростьмолекул азота больше их наиболее вероятной скорости наv = 50 м/с? Молярная масса азота = 28 10–3 кг/моль.4.17 При какой температуре газа, состоящего из смеси азота икислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислородабудут отличаться друг от друга на v = 30 м/с. Молярная масса азота–3кг/моль, молярная масса кислорода 2 = 32 10–3 кг/моль.1 = 28 104.18 Определить температуру кислорода, при которой функцияраспределения молекул по модулю скорости f(v) будет иметь максимумпри скорости vВ = 920 м/с.