2termodinamika (задачники по физике (механика и термодинамика)), страница 13

в интервале отзначения А1 до значения А2 может быть определена по формуле69A2( A ) f ( A ) dA(A)A1.A2(4.4)f ( A ) dAA1При интегрировании во всем возможном диапазоне значенийпараметра А, учитывая условия нормировки (4.3), получаем(A)( A ) f ( A ) dA .(4.5)Распределение МаксвеллаЗакон распределения по скоростям теплового движения молекулгаза, находящегося в состоянии термодинамического равновесия,был выведен Д. К. Максвеллом (1859) и носит названиераспределения Максвелла.Согласно (4.1) элементарная вероятность того, что составляющаяскорости молекул по оси ОХ лежит в малом интервале от vx до vx + dvxdw(vX) = f(vX) dvX ,(4.6)где f(vX) функция распределения Максвелла для одной компонентыскоростиf (v X )2m0 VX12m02 kTe2kT,(4.7)m0 масса молекулы, k = 1,38 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана,Т температура.Поскольку, элементарная вероятность равна относительному числучастиц dN(v X ) N , имеющих скорости в интервале dvx, то можно записатьdN( v X )Ndw ( v X )m02 kTm0 VX212e2kTdv X .(4.8)Аналогично записываются формулы для относительного числачастиц, имеющих скорости в интервалах dvY и dvZ.Перейдем от распределения молекул по компонентам скорости краспределению по модулю скорости vv 2X v 2Y v 2Z .

Согласно(4.1) элементарная вероятность того, что модуль скорости лежит вмалом интервале значений от v до v + dvdw( v )f ( v ) dv .(4.9)Тогда относительное число частиц dN(v ) N , имеющих скорости винтервале dv, запишется703m V202m0dN( v )2dw ( v ) 4e kT v 2 dv ,(4.10)N2 kTгде f(v) – функция распределения молекул по модулю скорости(распределение Максвелла)f (v )4m02 kT32em0 V 22kT v 2 .(4.11)Вид функции распределения f(v)показан на рис. 4.1.Основные свойства функциираспределения :а) Функция f(v) непрерывна,модуль скорости частиц можетпринимать значения в диапазоне от0 до ;б) Площадь S, ограниченнаяграфиком функции f(v) и осьюабсцисс(осьскоростиv),определяет относительное числочастиц, имеющих скорости в интервале от v до v + v и представляетсобой вероятность того, что модуль скорости молекулы заключенмежду v и v + v , т.е.N V V(4.12)wSf ( v )dv .NVв) При увеличении температурыгаза общая площадь под кривойf(v) не изменяется (рис.4.2), ноувеличивается число частиц,двигающихсясбольшимискоростями, и, соответственно,уменьшается число частиц смалымискоростями,т.е.происходит перераспределениечисла частиц по скоростям.Кроме функции распределения частиц по скоростям используютсяфункции распределения частиц по энергиям и импульсам.

Получимраспределение молекул по энергиям, выражаяскорость черезкинетическую энергию молекулы:Em0 v 22v2E,m0dEm0 v dvdvdE.2m0EПодставляя выражения, полученные для v и dv, в формулу (4.10),получим71dNN43m02 kT2eEkT2Em0dE22m0E(kT )3E eEkTdE .(4.13)Откуда, функция распределения молекул по энергиям2 Ef (E)(kT )EkT .e3(4.14)Аналогично можно получить распределение молекул по модулюимпульса.

Для этого нужно выразить скорость через импульсpdpp m0 vv; dv.m0m0C учетом полученных выражений, (4.10) примет вид:dNN4m02 kT32p2m 02ep22m0kTdpm014(2 m 0 kT )3p2ep22m0kTdp , (4.15)откуда функция распределения молекул по импульсамf (p)p24(2 m 0kT )3ep22m0 kT.(4.16)Расчет характерных величин в распределении Максвелла1) Для нахождения наиболее вероятных значений скорости vв,энергии Eв и импульса pв необходимо исследовать на экстремумсоответствующую функцию распределения f(v), f(E), f(p), т.е. решитьуравнениеf (v )f (E)f (p)(4.17)0 ,0 ,0vEpи определить наиболее вероятное значение искомой величины.Найдем наиболее вероятную скорость молекул через функциюраспределения молекул по модулю скорости (4.10)f (v )v4m02 kT322vem0 V 22kTv 2em0 v 20 , и следовательно,2kTскорость движения молекулоткуда1vBгде R = 8,31 Дж/(моль К)2kTm02RTm0 V 22kT2m0 v2kT0,наиболее вероятная,универсальная газовая постоянная.(4.18)722) Средние значения величин v , p , E находятся согласновыражениям (4.4) и (4.5).

Рассчитаем среднюю арифметическуюскорость v молекул с помощью функции распределения Максвеллапо модулю скорости (4.10). Пределы изменения модуля скоростимолекулы от 0 до .3vv f ( v )dvm02 kT40m0 V 22v3 e2kTdv .0Данный интеграл является табличным (см. Приложения), с помощьюm 0 kTТаблицы 1, находим приvm02 kT432kTm0228kTm08RT.(4.19)3) Средняя квадратичная скорость молекул vср.кв величина,равная квадратному корню из среднего значения квадрата модуляскорости молекул. Находим на основании (4.5) и (4.10)v2v 2 f ( v )dv0v2 40С помощью табличного интеграла приv24m02 kT324v e0m0 V 22kT dv43m02 kT2em0 V 22kT v 2 dvm 0 kT :m02 kT352382kTm023kT.m0Откуда получаем формулу для средней квадратичной скоростимолекул3kT3RTv ср.кв.(4.20)m0Из формулы (4.20) можно получитькинетической энергии молекулыm0 v 23EkT .22величинусредней(4.21)Расчет числа молекул в заданном интервале скоростей иэнергийЕсли интервал изменения параметров: скорости v = v2 – v1(компоненты скорости vх = v2х – v1х) или энергии Е = Е2 – Е1 мал посравнению со средним значением этого параметра, то приближенныйрасчет числа молекул N можно проводить непосредственно пораспределениям (4.10), (4.8), (4.13) или (4.15)73N( v )m02 kT4 NN( v x )m02 kTNN(E)3v2kTe2v,2m0 v X1222kTe(4.22)v x,E2 ENm0 v2(kT )3kTeE,где v , v X , E – средние значения параметровv1 v 2v1x v2xE1 E2.v, vx, E222Если интервал изменения параметров ( v, E) не является малым,то расчет числа молекул в этом диапазоне производится по формуле (4.2)v2N( v )(4.23)N f ( v ) dvv1илиE2N f (E) dE ,N(E)(4.24)E1где f(v) и f(E) определяются по формулам (4.11) и (4.14).Расчет N(v)Для нахождения числа частиц N(v) удобно в формуле (4.23)перейти к безразмерной переменной u v vв (безразмернаяскорость), где vв2kT m0 - наиболее вероятная скорость движениямолекул (4.18).

В новых переменных4NNu2u2 eu2du ,(4.25)u1где новые пределы интегрирования u1 = v1/vB, u2 = v2/vB. Способывычисления определенного интеграла (4.25) зависят от диапазоназначений величины u = v/vB.1) Если величина безразмерной скорости u = v/vB << 1, то можновоспользоваться разложением в ряд функцииeu21 u2u22...и ограничиться первым членом разложения, т.е. eслучае интеграл примет видN( v )4Nu2uu12eu2du4Nu22u duu1u24N u331. В этомu2.u174Окончательно имеемN( v )4N 3(u23u13 ) .(4.26)2) Если значение безразмерной скорости u 1, то интеграл (4.25)сводят к интегралу вероятности (интегралу ошибок)Ф( x )2XeX2dx ,(4.27)0значения которого приведены в Таблице 2 (см. Приложения).

Крометого Ф(0) = 0, а lim Ф( х ) 1.XПроинтегрируем выражение (4.25) по частямN( v )2Nu2u eu2u2eu1u2du .u1Здесь второе слагаемое представляет интеграл вероятности(4.27). Тогда формула для расчета числа частиц принимает видN( v )N2(u1 eu12u2 eu22)(u2 )(4.28)(u1 )Наиболее часто встречаются следующие случаи :а) если u1 = 0, u2 = umax = const любое конечное число, тоN( v )б) если u1 < 3, u22(u2 )u2 eu22,(4.29), тоN( v )в) если u1 3, u2(4.28) принимает видNN 12(u1 )u1 e, то поскольку Ф(3) = 0,999N( v )2Nu1 eu12.u12,(4.30)1, выражение(4.31)Расчет N(E)Для расчета по формуле (4.24) числа частиц N(E), обладающихэнергией в любом конечном интервале от Е1 до Е2, удобно перейти кновой переменной (безразмерной энергии) t E kT .

Тогда выражениедля расчета числа частиц примет видN(E)2Nt2t1t e t dt ,(4.32)75где t 1E1 kT , t 2E2 kT .1) Если величина безразмерной энергии t = E/(kT) << 1, то можновоспользоваться разложением в ряд функцииt2...2и ограничиться первым членом разложения, т.е. eпроинтегрировав выражение (4.32), получаемet1 t2N(E)34N3t22t3t1 2 .1. Тогда,(4.33)2) Если значение безразмерной энергии t 1, то проинтегрировав(4.32) по частям, с учетом интеграла ошибок (4.27) получаемвыражение для расчета числа частицN(E)N2t1 et1t2 et2( t2 )( t1 ) .(4.34)Наиболее часто при решении задач встречаются следующие случаи:а) если t1 = 0, t2 = const любое конечное число, тоN(E)б) еслиt13 (t1 < 9), t2N(E)в) еслиt13 , то Ф( t 1 )N(E)N2( t2 )t2 et2,(4.35), тоN 10,9992N2( t1 )t1 et1, (4.36)1, и тогдаt1 et1.(4.37)Необходимо отметить, что вычисление вероятности w того, чточастицы имеют энергию (скорость, импульс) из указанного интервала,осуществляется теми же методами.

Согласно (4.1)N.(4.38)wNРаспределение БольцманаФункция распределения Максвелла не учитывает наличия сил,действующих на молекулы газа, в этом случае полная энергиямолекулы совпадает с кинетической энергией. Если же молекуланаходится в поле действия сил, то ее полная энергия являетсясуммой кинетической и потенциальной энергий761m0 ( v 2X v 2Y v 2Z ) U( x, y, z) ,2где U(x, y, z) потенциальная энергия молекулы.Кинетическая и потенциальная энергия зависят от разныхпеременных.Следовательно,значениякинетическойипотенциальной энергии (и, соответственно, вероятности появленияэтих значений), не связаны между собой.Потенциальная энергия зависит от положения молекулы, т.е.

от еекоординат. Относительное число молекул, имеющих потенциальнуюэнергию U(x, y, z) вблизи точки с координатами x, y, z в элементарномобъеме dV dx dy dz , определяется соотношениемEdNf ( x, y, z) dV f ( x, y, z) dxdydz ,Nгде функцию распределения можно записать в виде(4.39)U( x, y, z )kT(4.40)f ( x, y, z) B eВыражение (4.39) представляет собой распределение молекул покоординатам в потенциальном поле и называется распределениемБольцмана.Концентрация молекул в объеме dVU( x, y, z )dNnnB e kT .dVNПолагаем, что на нулевом уровне потенциальной энергии,концентрация молекул принимает значение n = n0, и приводимраспределение Больцмана (4.39) к видуU( x, y, z )kTn n0 e.(4.41)Потенциальную энергию для конкретного силового поля можнополучить интегрированием U(r )(F r ) ,(4.42) r r ( x, y, z ) радиус-вектор,гдедействующаянаF сила,молекулы.Если молекулы газа находятся в поле силы тяжести, топотенциальная энергия молекулы U m0 gz , где z вертикальнаякоордината, отсчитываемая от поверхности Земли (высота подъема).Тогда, согласно (4.40)n( z)n(0) em0gzkT,(4.43)где n(z) концентрация молекул на некоторой высоте (h = z),n(0) концентрация молекул вблизи поверхности Земли (при z = 0).77Учитывая, что давление газа связано с концентрацией формулойP = nkT, получим закон изменения давления с высотойm0gzkT,p( z) p(0) eтак называемую барометрическую формулу.(4.44)Примеры решения задачЗадача 4.1 С помощью распределения Максвелла найти среднеезначение величины обратной скорости молекул идеального газа 1 vпри температуре Т, если масса каждой молекулы m0.