2termodinamika (задачники по физике (механика и термодинамика)), страница 10

3.3Максимальное давление в циклеКарно соответствует точке 1: P1 = 26 105 Па. Так как температура в этойточке известна T1 = 600 K, то из уравнения состояния идеального газа (1.11)m R T1m1 8,31 600P1 V1R T1V10,066м 3 .35P129 1026 10Минимальное давление в цикле реализуется в точке 3: P3 = 105 Па, атемпература в этой точке T3 = 300 К.

Аналогично запишемmRT 3m1 8,31 300P3 V3RT3V30,86 м 3 .35P329 1010Для точки 2 температура T2 = T1 = 600 K. Используем уравнениеадиабаты 2–3P2P3T2T31P2P3T2T3110 56003001,40,411,31 10 5 Па.А также уравнение изотермы для процесса 1–2P26 10 5P1 V1 P2 V2V2 V1 1 0,066P211,31 10 50,152 м3 .Для точки 4 из уравнения адиабаты 4–1 получаем давление Р4P1P4T1T41P4TP1 4T1126 1053006003,52,3 10 5 Па.51Из уравнения изотермы 3–4 объем в этой точкеP10 5P3 V3 P4 V4V4 V3 3 0,86P42,3 10 5Задача 3.3 Холодильная машинаработает по обратному циклу Карно1–4–3–2–1 в диапазоне температурt1 = 27 C и t2 = –3 C (рис.3.4). Рабочеетело – азот массой m = 2 кг.

Найтиколичество теплоты Q2, отбираемое уохлаждаемого тела, и работу внешних силза цикл, если отношение максимальногообъѐма к минимальному n = 5. Молярнаямасса азота = 28 10–3 кг/моль.Р10,37м 3 .Q1243Q2VРис. 3.4РешениеИскомое количество теплоты получено рабочим газом отохлаждаемого тела в процессе 4–3: Q2 = Q 43 . Поскольку это процессизотермического расширения, тоQ 43mA 43RT lnV3V4Из графика цикла очевидно, что максимальный объѐм за цикл V3, аминимальный V1.

Тогда по условию V3 V1 n . Из уравнения адиабаты 1–4:11V1V4T2T1V1V4T2T11.Перемножив почленно два последние равенства, получим11V3T2.nV4T1Подставляя это выражение, для Q43 имеем:Q 43Q 43mQ20,228 1031RT2 ln n18,31 270 ln 5lnT2T11300ln1,4 1 27030 кДж .Работа внешних сил за цикл: AQ1 Q2 , а так как для цикла Карноприведенные теплоты в изотермических процессах одинаковы (3.4), тоQ 2 T2TQ1 Q 2 2 ,Q1 T1T1AQ2T2T113030012703,33 кДж52Задача 3.4 Тепловая машина работает по циклу Карно.Температура нагревателя t 1 400 0 C , холодильника t 2 20 0 C .Рабочим телом служат m = 2 кг воздуха.

Давление в концеизотермического расширения Р2 равно давлению Р4 вначалеадиабатического сжатия. Время выполнения цикла = 1 с. Построитьцикл Карно в координатах (S T) энтропия температура и найтимощность двигателя, работающего по этому циклу. Молярная массавоздуха = 0,029 кг/мольРешениеРассмотрим последовательно процессы,Рвходящие в цикл Карно.Процесс1-2(см.рис.3.5)–изотермическоерасширениепритемпературе Т1 = const c подведениемтепла.

Тогда, согласно (3.7)2S121QT112QT1 1Q12,T11243VРис. 3.5причем Q 12 > 0 следовательно S12 > 0 –участок вертикальной прямой 1-2 на рис.3.6.Процесс 2-3 (рис.3.5) – адиабатическоеSрасширение,Q23 = 0,следовательно32S2 = S3, а температура уменьшается дозначенияТ2.Этомупроцессунадиаграмме S–Т (рис.3.6) соответствует41горизонтальный участок 2-3.Процесс 3-4 изотермическое сжатиепри температуре T2 const с передачейТ2Т1Ттепла холодильнику, поэтому Q 34 < 0, аРис. 3.6значит и S 34 < 0 энтропия убывает.Процесс 4-1 адиабатическое сжатие при Q41 0 , а поэтому S 4 S1 ,температура возрастает до значения T1 .Коэффициент полезного действия цикла КарноT1 T2A,T1Q1где Q 1 = Q12 – количество тепла, полученное рабочим телом научастке изотермического расширения 1-2.

Тогда работа за циклT1 T2AQ1Q1.T1Мощность двигателяA T1 T2 Q1N.T153С учетом уравнения изотермы 1-2 : P1V1Q1mR T1 lnV2V1Так как по условию P2 = P4,адиабатического сжатия 4–1P1P4P1P2T1T2mто1P2 V2 ,R T1 lnизуравненияmQ1P1P2R T11процессаlnT1.T2Подставляя Q1 в выражение для мощности N, получимNNT1T2 m400 202129 10R318,314lnT1T21,4673ln1,4 1293634 кВт.Задача 3.5 Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему изизотермического, изобарического и адиабатического процессов. Визобарическом процессе рабочее тело – идеальный газ – нагреваетсяот температуры T1 = 200 K до температуры T2 = 500 K. Определитькоэффициент полезного действия данного теплового двигателя идвигателя, работающего по циклу Карно, происходящему междумаксимальной и минимальной температурами данного цикла.РешениеВусловиизадачинеуказанаРпоследовательность процессов, составляющих12цикл, но поскольку изобарический процессидет с ростом температуры, то на графикепрямая этого процесса должна лежать3Т = constвышекривыхизотермическогоиадиабатического процессов.

Поэтому, какVпоказано на рис.3.7, сначала идет процессРис.3.7изобарическогорасширения,потомадиабатическогорасширениядопервоначальной температуры, а затем изотермическим сжатием газвозвращаютвисходноесостояние(любаядругаяпоследовательность процессов не удовлетворяет условию задачи).В данном цикле газ получает теплоту в процессе 1–2, поэтомуQ1 = Q12, а отдает теплоту в процессе 3–1, то есть Q2 = Q31. Процесс2–3 адиабатический Q23 = 0.Количество теплоты, получаемое в изобарическом процессеQ1Q12mCPмол (T2T1 )m i 2R(T2iT1 ) .54Количество теплоты, отдаваемое в изотермическом процессеV3.V1Для адиабатического процесса 2–3, учитывая, что T1 = T3, имеемQ2V3V2mQ 311R T1 lnT2T3T2.T1Извлекая корень степени ( – 1) из левой и правой частей, получимV3V2T2T111.В изобарическом процессе 1–2:V2 T2.V1 T1Перемножая эти выражения, получим:1V3 V2V2 V1T2T11V3V1T2T1T2T11.Тогда, тепло, отдаваемое в адиабатическом процессеQ2Q 31mRT11lnT2.T1Показатель адиабаты выражаем через число степеней свободымолекулы газаi 2i 2.i12Окончательно, отдаваемое теплоQ2Tm i 2RT1 ln 2 .2T1Коэффициент полезного действия цикла (3.2)1Q2Q1Tm i 2RT1 ln 22T11m i 2R(T2 T1 )21T1T2T1lnT2T112 5ln3 20,39ККоэффициентполезногодействияциклаКарномаксимальной и минимальной температурамиT2 T1 500 2000,6 .KT2500между55Задача 3.6 Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двухадиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется вn = 10 раз.

Рабочим веществом является азот.РешениеКПД любого цикла (3.2) запишетсяQ1 Q 2РQ1Q41Вданномцикле(рис.3.8)теплоподводится в изохорическом процессе 4–1, аотдается в изохорическом процессе 2–3.Учитывая, что работа в этих процессах несовершается, имеемm молm молQ1 Q 41U41CVTC V (T1 T4 )Q2Q23U23Q12 = 0124Q233Q34 = 0VРис. 3.8mCмолV (T2T3 ) ,Процессы 1–2 и 3–4 адиабатические (Q12 = 0 и Q34 = 0). Тогда КПД циклаT T3Q211 2.Q1T1 T4Воспользуемся уравнениями адиабат для получения соотношениймежду температурами цикла с учетом того, что V2 = V3 и V4 = V1T2 V21T1 V1 1;T3 V2 1 T4 V1 1Вычитая два последних уравнения, получаем(T2T3 ) V21(T1T4 ) V11T2T2T3T4i 2iДля азота N2 показатель адиабатыусловию задачи, следовательно1 101,4 1V1V211n5 251n1.1,4 , а n =10 по0,6 .Задача 3.7 Кислород массой m = 0,4 кг нагревают при постоянномдавлении от температуры t1 = 17 C до температуры t2 = 97 C.

Найтиизменение энтропии газа. Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.РешениеИзменение энтропии в обратимом процессе, согласно (3.7),2Q T.S156Для изобарического процессаmQPCPмол dT .Подставляя, получимSmCPмолT2T1dTTmT2T1CPмол lnTm i 2R ln 2 .2T1Окончательно изменение энтропии равноS0,432 1035 23708,31 ln229088,6Дж.КЗадача 3.8 Во сколько раз следует изотермически увеличитьобъем идеального газа в количестве = 5 моль, чтобы приращениеего энтропии составило S = 45,65 Дж/К?РешениеВ изотермическом процессе T = const, поэтому элементарноеколичество тепла, согласно первому началу термодинамики (2.6),QA P dV, dU 0 .Тогда приращение энтропии по (3.7)2SP1dV.TТемпературу выразим из уравнения состояния идеального газаP VP VR TTRПодставляя, получимV2V2VdVRdVSPRR ln 2 .P VVV1VV11Перепишем последнее выражение в видеV2S,V1Rпотенцируем, и получим итоговую формулуlnV2V1eSRV2V145,655 8,312,713.TЗадача 3.9 Идеальный газ совершаетцикл1–2–3–1,впределахкоторогоабсолютная температура изменяется в n раз,а сам цикл имеет вид, показанный на рис.3.9,312S1S2Рис.

3.9S57где T – температура, S – энтропия. Найти КПД цикла.РешениеКПД цикла выражается формулой (3.2)1Q1Q2,где Q1 – подводимое от нагревателя тепло, Q2 – тепло, отданное холодильнику.Согласно определению энтропии (3.7)dSQ,Tто есть знаки дифференциалов dS и Q совпадают.Из этого выражения следуетQTdS ,а значит тепло, подводимое или отводимое в цикле определяетсяплощадью под графиком процесса на Т–S диаграмме.На участке 1-2 S2 < S1, поэтому газ отдает тепло Q12 < 0.

Площадьпод графиком процессаQ12 (S1 S2 )TНа участке 2-3 S3 > S2, газ поглощает тепло Q23 > 0. Определяемплощадь под графиком процесса1Q 23T(n 1)(S1 S 2 ) .2На участке 3-1 S3 = S1, следовательно,SQ 0 процессадиабатический (без теплообмена).Тогда для данного цикла Q1 = Q23 и Q2 = Q12 . КПД цикла(S1 S 2 )Tn 1.1T(n 1)(S1 S 2 ) 2 n 1Задача 3.10 Теплоизолированный сосуд разделен на две равныечасти перегородкой, в которой имеется закрывающееся отверстие.

Водной части сосуда находится водород массой m = 10 г. Другая частьсосуда откачана до глубокого вакуума. Отверстие в перегородкеоткрывают, и газ заполняет весь объем. Считая газ идеальным, найтиприращение его энтропии. Молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.РешениеРасширение газа в условиях задачи является необратимымпроцессом. Энтропия в результате необратимого процессаувеличивается, а ее изменение определяется только начальным иконечным состояниями системы. Чтобы найти это изменение, надорассмотреть любой обратимый процесс, переводящий систему изначального состояния в конечное.58Поскольку газ изолирован от окружающей среды, и его температура неизменяется, то можно рассмотреть обратимое изотермическое расширениес увеличением объема в 2 раза.

В изотермическом процессе2S1QT21dQT121dAT121PdV .T1Выразим давление из уравнения состояния идеального газаmmRT.PVRT PVПодставим давление в интегралS1 2 mRTdVT1 Vm2RdVV1mR lnV2V1108,31 ln( 2)228,8 ДжК.Задачи для самостоятельного решения3.11 Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температуранагревателя в n = 4 раза выше абсолютной температурыхолодильника. Какую долю теплоты, получаемой за один цикл отнагревателя, газ отдает холодильнику?3.12 Газ совершает цикл Карно.

Абсолютная температуранагревателя в n = 3 раза выше, чем температура холодильника.Нагреватель передал газу количество тепла Q1 = 42 кДж. Какуюработу совершил газ за цикл?3.13 Газ совершает цикл Карно. Температура холодильникаT2 = 290 K. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температурунагревателя повысить с Т1 = 400 К до T1 = 600 К?3.14 Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно,совершает за один цикл работу A = 2,94 кДж и отдает за один циклхолодильнику количество тепла Q2 = 13,4 кДж. Найти КПД цикла.3.15 Газ, совершающий цикл Карно 2/3 теплоты Q1, полученной отнагревателя, отдает холодильнику.

Температура холодильникаT2 = 280 К. Определить температуру нагревателя.3.16 Найти КПД тепловой машины, совершающей цикл Карно,если работа за цикл равна A = 10 Дж, а работа на участкеизотермического сжатия А = 5 Дж.3.17 Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, зацикл получает от нагревателя количество теплоты Q1 = 2,512 кДж.Температура нагревателя T1 = 400 K, температура холодильникаT2 = 300 K.