С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 42

Измерение ($х,) полностью решает задачу идентификации системы. В частности, преобразуя функцию (Зх,) по Фурье, можно найти как модуль, так и фазу коэффициента передачи К (ы). Этот метод представляет также большой интерес и в оптике, в задачах оптической спектроскопии (см. 3 5 гл.

5). й 3. Распределение вероятностей иа выходе линейной системы Обратимся теперь к анализу факторов, определяющих распределение вероятностей на выходе линейной системы. Задача теперь ставится следующим образом: по заданному распределению вероятностей на входе мы должны определить распределение вероятностей на выходе системы. 234 Гл. 3 шумОВые колевхния В линейных систем<ьх Действие на систему гауссовского шума. Эта задача проще всего решается в том случае, когда шум на входе <) «) =й(0+ч(0 является гауссовским.

Вследствие линейности системы шум на выходе также будет гауссовским в любой момент времени. Поэтому, определив (например, используя интеграл Дюамеля) два параметра: среднее значение процесса на выходе х= $ г)(о)о«, е)ав и его корреляционную функцию флуктуаций <И,>= Ц (в (в <й(е) й(е'))И«, в)н«+т, в'), мы можем по формуле (1.2.44) построить, в принципе, любое многомерное распределение для процесса х на выходе линейной системы.

Нормализация флуктуаций в узкополосных системах. Рассмотрим теперь случай, когда входной шум не является гауссовским. Чрезвычайно существенно, что во многих практически важных случаях распределение выходного шума оказывается очень близким к кормальному — независимо от закона распределения шума на входе. Предположим, что спектр входного шума намного шире резонансной кривой ли<<ейной системы: (З.З.1) (см. рис. 3.2, а), В этом случае входной шум допустимо рассматривать как белый, т. е.

6-коррелированный. Это дает возможность применить для определения н<(х) аппарат уравнения <роккера — Планка. В частности, если линейная система описывается дифференциальным уравнением первого порядка, то, подставив в общее выражение для ш(х) (1.7.50) а (х) = — <хх, Ь (х) = 1, получим гауссовскую функцию распределения ш (х) ехр ( — ах'/20), Этот результат может быть обобщен на случай нескольких связанных линейных уравнений с 6-коррелированными правыми частями (см. [71, с. 100), иначе говоря, гауссовское распределение вероятностей (1.2.44) описывает шумовые колебания в любой линейной системе с сосредоточеннымп параметрами, находящейся под действием 6-коррелированных сил.

р а РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ВЫХОДЕ еаб Условие (1) относится к режиму стационарных шумовых колебаний. Однако замена реального шума на б-коррелированный возможна и при наличии переходных процессов, если кроме (1) выполняется условие Лы'е ~ 1Ф, (3.3.2) где г — полное время действия внешнего шума на систему. Рассмотрим, например, действие на )тС-фильтр шума с характеристиками ар„= пщ, Л<р'" <е е р. Дисперсия шумовых колебаний на выходе этого фильтра с учетом переходных процессов будет равна согласно (3.2.18) н (3) о'„„(1) = О', ~ ~ <(а <(О е — ее <о,+а,> — е < а,— о, < 0 е- +в ПРС< ~" (" + Р) " Ф вЂ” ) + (р + )(й — )1 (3 3 4) С другой стороны, при действии на )тС-фильтр белого шума с корреляционной функцией В,„(т) = 2лб„б(т) (3.3.5) Нетрудно видеть, что для совпадения (4) и (5) кроме неравенства ))~ а, эквивалентного (1), необходимо выполнение неравенства (1<',» 1, соответствующего (2).

Эффект нормализации шумовых колебаний в линейной системе можно также наглядно пояснить, используя центральную предельную теорему. Запишем опять шумовые колебания в линейной системе в виде интеграла Дюамеля: СО е х (Г) = ~ й (Е) ) (à — а) (а = $ й (В) Ч (à — а) (В, (3.3.8) в р где трев 1)Л<ррев — характерное время релаксации системы (т. е. время затухания свободных колебаний). Введя время корреляции входного шума т„1/Л<э,'„'", соотношение (1) можно переписать как тв ч»~ 1 7Л <эрве (3.3.7) 236 гл.

з штмоаыв колавзния в линапных систамзх Будем считать, что условие (7) выполняется с большим запасом, и выберем интервал времени т такой, что т„~ т ч, т,„. (3.3.8) Представим теперь интеграл в (6) в виде суммы интегралов, в каждом из которых время интегрирования равно т. Имеем х (!) = ! , 'х, (!), (3.3.9) о=! где (л+и! х„(Г) ы $ Й (В) э)(! — В) ЙВ,Й (пт)$ з) (( — О) с(О (3.3,10) лз о и согласно (8) с 1 ) В, (2т — О) ИВ+) В, (О) В!!О о о Ил, а+! 2 ~' Н„(О) (з — В) ав (3.3.!4) й( = то,„(т» 1. (3.3. 1 1) Можно показать, что при условии т„~,'т корреляция случайных величин х и х„(пчьт) очень мала (см. ниже), так что все х„можно приближенно считать статистически независимыми. Задача о распределении суммы й! таких величин рассматривалась в гл.

1, где было показано, что распределение и!(х) при У-»оо стремится к гауссовскому. При больших, но конечных значениях й! распределение шума на выходе линейной системы будет тем ближе к гауссовскому, чем меньше (по сравнению с единицей) величина относительных кумулянтов я„распределения и! (х). В частности, согласно (1.2.38) для коэффициентов асимметрии и эксцесса можно написать но — — н„1!)! й!, х, н,„, 1/й!. (3.3.12) Оценивая корреляционную связь между различными х„, заметим, что она будет наибольшей для ближайших членов суммы (9), т.

е. для х„и х„,. Если считать действующий на линейную систему шум чисто флуктуационным Я О), то х„=0 и коэффициент норреляции между х„и х„+, будет равен ( ( аэ, аВ,В„(э+В,— О,! Р7457ч ! !'1„ц„з (, о Это выражение не зависит от и, и его нетрудно преобразовать к виду 237 и Д СОБСТВЕННЫЕ ШУМЫ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ При большой величине параметра т/тк (см.

(8)) имеем $В„(2т — 3) 383 ~нт,б„(6), о т со ")„В,„(Е) в (а = ~ В,„(в) Е г(3 = ка,„(О), в е т 2 $ В„(0) (т — 3) г(Е 2л (т — т,) 6„(0), 0 так что Р то/2 (т — то), (3.3.15) время запаздывания (2.6.7) диффузионного где т, — характерное т+т процесса )с т) (Е)да. В интересующем (2.6.96)). Учитывая т„/2т <.' 1, нас случае т„тк 1/Лсо,'„" (см. (2.6.9а) и (8). мы получаем из (15), что )х)=то/2т й 4. Собственные шумы линейных систем. Тепловые шумы диссипативных линейных систем Случайные вынужденные колебания в реальных линейных системах возникают и в отсутствие внешних сил; они связаны с наличием принципиально неустранимых источников собст- т венных шумов. Тепловое дви- е жение свободных электронов в г, гт проводниках приводит к тому, гм и что даже в отсутствие внешней э. д. с.

в системе течет «тепловой» ток )г (/), носящий случайный характер. Рис, з,а, К выводу теоремы Найк- Флуктуации электронной плотности, связанные с флуктуа- а) эквивалентная схема проводника с комп- ЦИОННЫМИ ТОКЕМИ, ПРИВОДЯТ К лексимм сопротивлением 3 учнтмваетфлукпоявлению случайной разности потенциалоВ на концах проВод- оературе г; е) схема днухполамннка ника. Таким образом, любой двухполюсник д„содержащий сопротивление и находящийся при температуре Т, можнорассматривать как генератор случайной э.д. с. Ьг(1) (рис.

3,8, а). Собственные тепловые шумы создают принципиально неустранимые флуктуационные помехи в л)обой рад отехппческой системе; Гл. а. шумОВые кОлеБАния В линейных системАх поэтому первоочередной интерес представляют данные о статистических характеристиках случайного напряжения Ьт(1) и случайного тока (г(1). Рассчитать спектр (и коррелляционную функцию) случайной э.д.с. можно на основе весьма общих положений термодинамики и статистики — речь идет о флуктуациях в системе, находящейся в равновесном состоянии. Действительно, выясним прежде всего, какие заключения относительно свойств Жг(1) и (г(1) можно сделать из термодинамических соображений.

Рассмотрим для этого замкнутую цепь, состоящую из двух двухполюсников с комплексными сопротивлениями (импедансами) Яья = )сье+ (Х, „изображенных на рис. 3 8, б. Пусть эта цепь помещена в термостат, находящийся при температуре Т. Каждый из источников Жг', '67 вызывает ток в цепи; обозначим через Р„мощность, отдаваемую источником Жгп в двухполюсник Я„и соответственно через Є— мощность, отдаваемую источником Ьг' и двухполюсник с,. Введя спектральную плотность напряжения теплового шума Сг(ю), запишем +' и, +~ пи Рм —— ~ )гя ~д~а с(ю, Ра,= ~ )~,,х я с(ю, (3.4.1) где С =с,+се. В силу второго начала термодинамики Р,а=Р„ и, следовательно *), + ся + се От (са) (' бгс (са) ,2. -= ~ т,у,я (3.4.2) е) Следующие ииже рассуждения принадлежат Горелику (8]; си, также 19 — ! 11. Из (2) следует важное утверждение: если Р„(са) — О (л=1,2), то и 6)ю(ю) =О, т. е.