С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 43

если двухполюсник не поглощает (не содержит активного сопротивления), спектральная плотность э. д, с. теплового шума на нем тождественно равна нулю. Фактически в (2) можно приравнять и подынтегральные выражения. Действительно, представим себе, что между двухполюсниками включен чисто реактивный фильтр (не обладающий омическим сопротивлением) с сопротивлением Уа =(Ха. Тогда соотношение (2) сохранит свой вид, однако в знаменателе надо записать вместо 'с ' величину !с'1а=;'2+2а1а. Поскольку (2) должно быть выполнено при этом для любой характеристики фильтра Ха(ю), в (2) должны быть равны и подынтегральные выражения. Э Е СОБСТВЕННЫЕ ШУМЫ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ Поскольку выбор двухполюсников на схеме рис.

3.8 совершенно произволен, сказанное означает, что для любого двухполюсника О)п (а) иге)(а) 0)ш (а) Й,(а) к»(а) ''' Л„(а) ' (3.4.3) В силу (3) отношение спектральной плотности теплового шума к действительной части сопротивления, в котором он генерируется (отношение <излучательной» и поглощательной способностей двухполюсника), оказывается универсальной константой, зависящей от частоты и температуры, и (а, Т), т.

е. Ог(а) =)с(со) и(а, Т) = Йе2(со) и(а, Т), (3,4,4) ЕС(э )+ Й (")' (3.4.6) Исходя из уравнения для д 14+Кч+ С Ч=бг(() 1 получим + се (Ч~) = ~ ~ К(а)70г(а) с(а, где К(а) =Е-'(а,* — ав+(2аа)-». *) Число И рввио порядку диффереицивльиого урввиеиия, описывающего систему. Как же определить функцию и(а, Т)? Универсальность и (а, Т) позволяет для ее нахождения рассмотреть какую-нибудь простую «пробную» систему; полученный результат будет, очевидно, иметь общий характер, Формула Найквиста в классической области. При кТ>) йа (в классической области, здесь к — постоянная Вольцмана, й— постоянная Планка), в соответствии с принципом равнораспределения энергии по степеням свободы, средняя энергия флуктуационных колебаний, обусловленных 'бг((), в системе с й)(2 степенями свободы *) (%') е КТ(У(2 (й) = О, 1, 2, ,), (3.4.5) В качестве пробной системы рассмотрим высокодобротный колебательный контур К.С, настроенный на частоту а„= 1(р'ЕС.

Рассчитаем бг(ае), а следовательно, и и (аа Т). Итак, предположим, что полоса пропускания контура Ла=2сс=)с((. является достаточно узкой, так что в ее пределах функцию бг можно рассматривать как постоянную: бг(а) Стг(ае). Если д — заряд на емкости, то 240 ГЛ 3 ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕПНЫХ СИСТЕМАХ "Ст(вй (!7') 26т(в„) ~ /К(в) )'4(в = д яхт (вА) <4)= ~ в Л(в)~бт(в)(в= 2„„ (3.4.7) (3.4.8) Кан следует из (7) и (8), 1 я~т 1"' 2С (7 ) 2 (') ) 2кт.~ (3.4,9) где мы теперь пишем в,= в, тан кан частота в, выбиралась произвольной.

Подставив (6),(9) и !У =2 в (5), получим формулу Найнвиста для бт(в); бт (в) = — кТК (в). ! (3.4.10) Формула (10) описывает спектральную плотность напряжения теплового шума на чисто омическом сопротивлении Ке 2 = К,. В соответствии с (4) и (10) и(в, Т) кТ, 1 и, следовательно, для спектральной плотности теплового шума на произвольном двухполюснине 6т(в) = — кТ КеХ 1 и для спектральной плотности, определенной только в области положительных частот, б "т (в) = — кТ Ке 2. (3А.

Н) Формула (11) была впервые получена Найквистом (1928 г.), ноторый рассматривал, однако, в качестве пробной системы не колебательный контур, а двухпроводную линию. Спектр и корреляционная функция теплового шума. Согласно (10), (!1) в классической области форма спектра теплового шума определяется частотной зависимостью действительной части полного сопротивления.

Речь фактически идет обо Всем радиодиапазоне, поснольку прн комнатной температуре (Т=300 К) йв кТ. при У=в/2И 10" Гц. Поэтому тепловой шум, генерируемый омическим сопротивлением, в радиоднапазоне можно считать белым; приближение б-коррелированного процесса с высокой степенью Учитывая, что полоса контура предполагается узкой, а также соотношение (3.2.29), находим 24! 4 в совмвстнон двпствин сигнала и шума точности выполняется практически для всех задач, связанных с изучением воздействия теплового шума на реальные радиотехнические системы. Для конкретной оценки времени корреляции теплового шума на омическом сопротивлении можно пользоваться следующими соображениями.

В реальном сопротивлении всегда присутствует «паразитная» шунтирующая емкость. Поэтому наиболее реальнбй моделью сопротивления является параллельная )«С-цепочка, где С=ф— «паразитная» емкость. Действительная часть комплексного сопротивления такой цепочки И 1+ (ыСа)1) (3.4.12) Поэтому вместо (10) правильнее писать 1 л бг(ш)= — кТ 2 )1 6г(ш) = — „кТ (3.4.13а) (3.4.136) и время корреляции теплового шума, генерируемого реальным сопротивлением, х„= ЙС„. (3.4.14) Обычно эта величина не превышает т, 10-' — 1О-'с.

В оптическом диапазоне (е) ) 1О'4 Гц) для описания теплового шума вместо (5) следует использовать распределение Планка. Однако в этом диапазоне частот гепловой шум носит уже характер теплового излучения. Последнее описывается, однако, не в терминах квазистационарных токов и напряжений, а в терминах напряженностей Е и О случайных электромагнитных полей *) (см. гл. 4). $ 5. Совместное действие сигнала и шума на линейную систему.

Фильтрация В этом параграфе, пользуясь аппаратом теории флуктуаций в линейных системах, мы рассмотрим две простейшие задачи, связанные с приемом сигнала н присутствии шумов. Если интенсивность сигнала сравнима или меньше интенсивности шума ') Имеется и промежуточная область сантиметровых и миллиметровых волн, где описание тепловых шумов также следует проводить в терминах полей. В данной книге зти вопросы практически не затрагиваются (ср. 4 6 гл. 41.

Мы отсылаем читателя к монографиям 110, 1Ц, где дано исчерпываю. шее рассмотрение вопроса. 242 гл. а шэмовые колввхния в линвнных системах (речь может идти как о шуме, приходящем вместе с сигналом, так и о собственном шуме приемной системы), прием сигнала становится, по существу, сугубо статистической задачей. В статистической теории приема сигналов на фоне шумов выделяют две группы задач — задачи обнаружения сигналов на фоне шумов и задачи выделения сигнала из шума. В первом случае наблюдатель не интересуется точным воспроизведением сигнала, а должен с максимальной надежностью вынести решение (статистическое решение) о наличии или отсутствии сигнала.

Во втором речь идет о наилучшем (в смысле некоторого статистического критерия) воспроизведении сигнала, скрытого в шумах. Если формы спектров сигнала и шума различаются, то для решения этих задач естественно обратиться к использованию линейных избирательных систем — линейных фильтров, В рассматриваемом случае можно, например, стремиться подобрать частотную характеристику фильтра таким образом, что он будет подавлять спектральные компоненты шума и одновременно «подчеркивать» спектральные компоненты сигнала. Каков рецепт процедуры выбора такого, оптимального, фильтра? Как рассчитать частотную характеристику К (ы) оптимального фильтрами Для ответа на эти вопросы обратимся сначала к задаче обнаружения сигнала на фоне шума. В этом случае естественно стремиться к тому, чтобы фильтр, через который проходит смесь сигнала и шума, максимизировал отношение сигнал(шум.

Итак, пусть на вход линейной системы поступает случайное колебание П((), представляющее собой смесь сигнала Я(г) и шума ч (() = ~ (() + $ ((). (3.5.1) Чтобы пояснить основные понятия, рассмотрим сначала самый простой случай, когда входной сигнал гармонический: я,„=асов (ы,(+~р,) = ~-е'("с'+ чс) +к. с., 1„= ~-. Для выходного сигнала имеем 8„,„= — ' К (ээ,) е'(""+ э') + к. с., 7„,„= " ~ К (ы,) ~э. ВЫХ Я Если б (в) — спектральная плотность входного шума $ (г), то интенсивности шума на входе и выходе будут 4 $. СОВМЕСТНОЕ ДЕИСТВИЕ СИГНАЛА И ШвМА Под отношением сигнал/шум понима~от отношение соответствую- щих интенсивностей.

Таким образом, 4) 0(а) в(а о (3.5.2) („) . (к(;)~ 4 $ ! К (а) (во(а) Иа о (8.5.3) ~ /( (ав) ~ ) с (а) Иов (о/ш)вов о (3.5.4) (О/ш)вв 1 ~ К (а) ~в а (а) оа а ас ао (3.5.5) при этом числитель в (3) имеет максимальное значение. Во-вторых резонансная кривая 'К(а) Р должна быть значительно уже спектра шума 0(а): чем с большим запасом будет выполнено условие (3.5.6) тем меньше будет знаменатель в (3). В (6) Ла,„— эффективная ширина спектра входного шума, Ла — ширина резонансной кри. вой фильтра. Условие (6) обычно означает также, что спектральная плотность шума приблизительно постоянна в пределах резонансной кривой, так что в (3) функцию 6(а) можно вынести за знак интеграла: о ~ К (а) ~ ав» (с/ш),„, = 46 (ав) ) ( К (а),'в в(а о (3.5.7) Здесь учтено, что согласно (5) ~ К (а,)( = ( К (а)! ,„.

Заметим, что отношение ) К (а) !в оа (/((а),. =/в е (3.5. 8) Выражение (3) показывает, каким требованиям должен удовлетворять фильтр, чтобы выполнялось условие (с/ш),„„ь). Вопервых, частота сигнала должна совпадать с резонансной частотой фильтра а,: 244 ГЛ. Х ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМАХ определяет так называемую шумовую полосу пропускания фильтра; Льтф близка по величине или несколько превосходит Лет.

Интенсивность входного шума, приходящаяся на полосу частот Лсэф, равна а' = б (шо) 2 Лсвф. (3.5.9) Используя (8) и (9), выражению (7) можно придать вид (2): (с/ш), „= а'/2пс. (3.5. 10) Таким образом, пересчет отношения сигнал/шум с входа на выход системы сводится просто к замене полной интенсивности шума интенсивностью (9). Если, по аналогии с (8), ввести эффективную ширину спектра входного шума ! 6 (ст) с/со с Лет а (фс) то (10) перепишется как (3.5.1 2) Формула (12) дает возможность выбрать полосу фильтра Лсэф по заданному значению (с/ш),„, требуемой величине (с/ш)„„„и известной полосе входного шума Лсэ,„.