С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 44

Отношение сигнал/шум в переходном режиме. Рассмотрим кратко, как влияют переходные пропессы на эффект фильтрации. Предположим, что на колебательный контур в момент /=0 начинают действовать белый шум и гармонический сигнал. Полагая в (3.2.24) О, /к0, /(О = а соз (свс(+ ~Рс), () О, найдем, что интенсивности сигнала и шума на выходе контура, усредненные по периоду высокой частоты сэ„равны /,„„(() = /,„„(1 — е-")с, о', „(/) =ОД„„(1 — е-'"). (3.5.13) Как следует из (13), в начале переходного процесса (а(< 1) /„,„(/) /с, о,'„„(/) й Это значит, что независимо от того, какова величина отношения сигнал/шум в установившемся режиме, в начале процесса установления шум по интенсивности всегда превосходит сигнал.

Из (13) также видно, что стационарный режим для шума устанавливается примерно в два раза быстрее, чем для сигнала: /Уст 1/2сх (Уст ! /сс ш с Э Е. СОВМЕСТНОЕ ДЕНСТВИЕ СИГНАЛА И ШУМА Оптимальный линейный фильтр; обнаружение сигналов конечной длительности. Рассмотрим теперь более реальный случай, когда вместо гармонического сигнала (!) на линейную систему действует регулярный сигнал СО 8О(1) ОО 1 ЕО(кэ)Е'"'Г(и (3.5.14) с произвольным спектром ЕО(«э), мгновенной интенсивностью 1О (с) = 8О (с) (3.5.15) и энергией «О СО 1О(1) й=2и ~ ~ ЕО(«л) чдкэ.

(3.5.16) Пусть вместе с сигналом ЯО(1) на вход фильтра поступает стационарный шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью б,(в). Поставим задачу найти передаточную функцию К (кэ) так называемого оптимального фильтра, отношение сигнал)шум на выходе которого будет наибольшим из всех возможных.

Согласно (14) сигнал на выходе фильтра имеет вид СО с(1) ~ ( )К( ),«О« .~ш (3.5.16а) и его интенсивность и энергия равны (3.5.17) 9=2и ~ ~'о(ш)К(«э)~'Г(ш (3.5.!8) Отсюда находим, что (с!ш),„„=- г(0 $ а,( Ик()ли — СО (3.5.19) 7(1)ч-:( ~ ~ЕО(кэ)~'е(«э)( ~ ~К(кэ)~э«1«э). (3.5,20) С,-СО СС «С-« Предположим сначала, что бк(«э) =сопз1, т.

е. входной шум— белый. При этом 6О выходит за знак интеграла в (19). Используя неравенство Коши — Буняковского, интенсивность (17) можно оценить как 246 ГЛ. 3 ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Подстановка (20) в (!9) дает ~ оо !оо), ооо (с/ш),„„» (3.5.21) Равенство в (20), (21) достигается при К(оо) =К,„,(оо) =охзо (оэ) Б-о"ь =оооо( — оо) е-' о, (3.5.22) где а и /о — произвольные постоянные.

Частотная характеристика оптимального фильтра определяется, таким образом, выражением (22). Формула (22) описывает частотную характеристику оптимального фильтра К (ы), обеспечивающего максимальное значение отношения сигнал/шум. Как и следовало ожидать, частотная характеристика (22) близка к спектру сигнала (поэтому оптимальный фильтр называют также согласованным фильтром); заметим, что в (22) входит не спектральная амплитуда сигнала, а ее комплексно сопряженное значение. Именно такой фильтр и позволяет получить максимальное значение отношения сигнал/шум, хотя и не воспроизводит форму сигнала. Подставив (17) и (22) в (!9), получаем (3.5.23) (с/ш)„„„— Оо0о откуда видно, что величина (с/ш),„„ принимает наибольшее значение (2!) только в момент / = /о.

Согласно (16) и (22) сигнал на выходе оптимального фильтра 5(/) =а $ ,'зо(оэ) ~оеоок-с >с(оо, (3.5.24) 5 о „= Я (/ = /о) = аЯ)/2п, представляет собой импульс, симметричный относительно / = /о, хотя форма импульса входного сигнала (14) может быть любой. Таким образом, при прохождении сигнала через согласованный с ним фильтр (22) его форма меняется. Это хорошо видно на примере прямоугольного входного импульса Оо(/) =~ 5о , '/ ~ то/2 ~ О, /',)хо/2, с энергией До Бото и спектром 5„со о!и (оооо/2) (3.5.25) ото /Е 247 4 в.

сОВместнОе деистВие сиГнАлА и шумА Подставив (25) в (24), получим импульс треугольнои формы: — (За~1 — ~~ ~о~1, ~1 — (о)(то, О, го) то. Преобразуя заданный сигнал (14) в некоторый новый сигнал (24), оптимальный фильтр делает зто таким образом, что новый сиг- -~Ф р гр/~ р гй гр 'р'р Рис. 3.9. Преобразование в согласованном линейном фильтре прямоугольного входного импульса Яе,йб в треугольный выходной импульс Яемх ((). выберем первый фильтр таким образом, чтобы шум на его выходе был белым (Ь-коррелнроваиным): К, (в) = ев ~о», С г оо(в) (3.5.27) где С в произвольная постоянная, ~р(в) — произвольная действительная функция частоты. При этом на вход второго фильтра будет подаваться сигнал Лт(()- ) зо(в)КА(в) гбв н белый шум со спектральной плотностью () (в)=~ К,(в) Рпо(в)=~С~о.

Эга задача уже рассматривалась. и на основании (22) можно сразу написать выражение для оптимальной частотной характеристики второго фильтра: Ко(в)=а,К7(в) е гм" -яч(=-„-,ео(в]е !™е '"'. (3.6.26) р )п,(в) Подставив (27) и (28) в (26), найдем К „,(в)=а, ' е ', а,=а )С)'. зй (в) — гмг Со (в) (3.6.29) нал принимает при (=го значение, наибольшее из всех возможных, и тем самым наилучшим образом выделнется на фоне шума (рис.

3.9). Рассмотрим теперь общий случай не б-коррелированиого входного шума: бо(в) ~сопза Представив оптимальный фильтр состоящим нз двух последовательно соединенных фильтров. К (в)= К1(в) Кз(в), (3.5.26) 248 ГЛ. 3 ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Ех(Г) = ~ Ь е'"'с(ш, Ь=(), мы считаем сигналом, а вторую $е(г) = ~ Е, е'иге(ш, 1я=О, — помехой. Известны корреляционные функции В, (т), В,(т) этих процессов и соответствующие спектральные плотности 6,(ш), бя(оз), причем для спектральных амплитуд имеем (см.

(1;3.16)) (9„„) 0 (и = 1, 2), (6„(ш) б (ш+ ш'), п =т„ (Баивми' п~т. Требуется определить частотную функцию К(ш)=К„фильтра, суммарный процесс на выходе которого $(() = ~ К (9 „+9 )е'"'с(ш (3.5.3!) с некоторой задержкой ге наилучшим образом воспроизводил бы входной сигнал $,(г). Согласно этому критерию среднеквадра- Согласно (29) на форму частотной характеристики е общем случае влияет как спектр сигнала, так н спектральная интенсивность шума.

Выражение (29) имеет простой смысл: фильтр подчеркивает участки спектра, где преобладает спектр сигнала, и подавляет те участки, где увеличивается спектр шума (аь (е) входит в (29) в числителе, а бе(ы) — в знаменателе). При бе(ы)=сопя( (29) переходит в (22). Выделение сигнала из шума; уравнение Вивера — Хвнфа. Обратимся теперь к примеру задачи о выделении сигнала из шума. Во многих случаях реальный, несущий информацию, сигнал (например, радиосигнал, промодулированный человеческой речью) естественно рассматривать как стационарный шум $г(г). Будем считать, что и искажающая сигнал флуктуационная помеха также представляет собой стационарный шум $з (().

Наша задача— указать рецепт построения линейного фильтра, наилучшим образом воспроизводящего сигнал. Естественно, что для корректности постановки задачи надо сформулировать критерий. качества воспроизведения. Ниже в качестве такого критерия мы используем критерий минимума среднеквадратичной ошибки воспроизведения.

Итак, предположим, что имеются дне стационарные, случайные, статистически взаимно независимые функции времени, одну из которых 249 О 3. СОВМЕСТНОЕ ДЕНСТВИЕ СИГНАЛА И ШУМА (3.5. 32) — 2 $ Н (О)В1(Π— 1,)с(О+Вв(0), откуда 6~~=2 ~ 6Н(О)х вю х (1 увв в|в, вв — в вв-в.вв — вава — в <в — вв) вв. Из последнего выражения видно, что для обращения в нуль вариаций 6)Аз функция Н(О) должна удовлетворять уравнению ~ Н(О)вВ (т — О)(-Н ( — О))аз=В (т — гвв), (3 5.35) тичное значение ~Р ошибки воспроизведения сигнала (А(1) = 1 (1+1.) -Ь (1) должно быть минимальным.

Учитывая (30), найдем р=о, ре= ~ (~К'.— 1~'а,( )+)К;.~ б,( )) (, где К;,=К„е'"'. Варьируя (АА по К'„, получим ввв 6(Аз ~ ((Квв — 1)бв(ш)+К'бв(соЦОК'„в(вз+к.с. (3.5.33) В случае оптимального фильтра, когда рз имеет минимальное значение, величина 6)Ав должна обращаться в нуль при любой 6К„'. Как следует из (33), это означает, что (К„' — 1) б, (о) + К'„б, (ш) = О, т. е.

искомая частотная функция оптимального фильтра равна (3 5.34) Приведем теперь решение втой же задачи во временном пред- ставлении. Вместо (31) можно написать (см. (3.!.18)) О(1)= $ Н(О)(:.,(1 — О)+О,(1 — О);69, где Н (О) — функция Грина оптимального фильтра. Вычисляя дисперсию ошибки воспроизведения (32), теперь получим рА=Ц Н(О) Н(О )(В,(Π— О')+В,(Π— О')) (Ос(О'— 200 гл.

3. шумОВые кОлеБАния В линеиных системАх называемому уравнением Винера — Хопфа (41. Учитывая, что Н(0) и 1('„, а также В„(т) и б„(со) связаны преобразованием Фурье, можно убедиться, что (34) формально определяет решение уравнения Винера — Хопфа (35). Согласно (3.1.16) и (3.1.2!) Подставляя (34) в (36) и учитывая четность функций 6,(го) и ба (оз), получим 1 б, (га) )+о ( ) СОЗ СОТ г(СО. о (3.5.37) Функция Грина оптимального фильтра (37) симметрична относи- тельно момента времени га: Н(1е+т) =Н ((а — т). (3.5.38) Н ((а+т) = О, ) т ) ) (е. (3.5.39) Выражения (38) и (39) определяют функцию Грина как симметричный относительно 0=(а импульс произвольной формы с длительностью, не превышающей 2(а (см. л~ж рис.

3.10). Обратим внимание на то, чтофунк. ция Грина (37) формально нмеетфорв Ю му корреляционной функции, ссютд ветствующей спектральной плотности Рис. 3. 1О. Качественный вид аа- На (и) % (о~) +ба (гв)1 (2Н) виснмосги функнин грина он- она уменьшается и стремится к нутималъного фильтра от времени лю при т-моо, причем можно ввез (см. (38), (39)). сти аналогичный времени корреляции параметр та, характеризующий темп этого убывания. Таким образом, хотя, как правило, функция Грина (37) свойством (39) в чистом виде не обладает, всегда можно обеспечить выполнение (39) с любой наперед заданной точностью, выбрав время задержки достаточно большим ((а~та).