С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 40

Из (36), (38) следует, что С, = — !У*~'.*, С, = узус усуз усуз усув (3.!.37) получим (3.1.38) т. е с с с,(О= — 1 — ., с.(О= "— с (у, ао Г )уз Л 3 аз у.ув- усуз ' аз усов — узус и согласно (34) искомое решение уравнения (33) имеет вид ' !<о) у, <е) у, <Π— у, <е) у, <с), аз<о) у,<е) у,<е) — уз<о)уз<о) ' ' (()= ~ — — ' .. -- «о. (3.1.39) Из сравнения (17) и (31) следует, что для систем первого порядка функция Грина следующим образом выражается через функцию ум описывающую свободные колебания: д ((, е) = (3.1.32) Для уравнения второго порядка ав (1) Я+ аз (<) х + ав (() х = < (() (зл.зз) Е Ь МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ 22( Сравнивая (17) и (39), находим функцию Грина для уравнения второго порядка: 1'У (е) Ур(е)! (ул(0 у О) ( (3.1.40) ар(е) (у,<е) ур(в)~ (д,<в) д,(е) Рассуждая аналогичным образом, можно рассмотреть общий случай и показать, что функция Грина, соответствующая уравнению У-го порядка (24), следующим образом выражается через решения однородного уравнения (26) и их производные: у, <в) ...

у„ <в) у" ,'1<Е)." у(~У з1(В) у,ц) .. у„(1) (3. 1.41) (~ ) а <в) у, (в) ... у, (в) дьч н(а)1- уГ н(о) При этом О, т=0,1,2,...,У вЂ” 2, ( — ) й(1, В) ~ = < (3.1.42) а, (в) ' Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, изменение во времени вронскиана, стоящего в знаменателе выражения (41), определяется коэффициентами при двух старших производных уравнения (26): -ЛРВВ=ЛРВ,В,Р( — )' — "„, ЛВ~. 1ВЛ Влр При У=1 и У=2 выражение (42) совпадает, соответственно, с (32) и (40).

Замена начальных условий эквивалентной внешней силой. Свободные колебания определяются как частное решение уравнения (26), соответствующее определенному начальному состоянию системы (начальным условиям). Обычно поступают так: находят общее решение для (26), содержащее У произвольных постоянных (У вЂ” порядок дифференциального уравнения), а затем подбирают эти постоянные так, чтобы заданные начальные условия были удовлетворены. Познакомимся с другим подходом к решению этой задачи, который иногда более удобен, чем традиционный. Он основан на том, что граничные условия вводятся в само дифференциальное уравнение как некоторая эквивалентная внешняя сила 121.

222 ГЛ. О. ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМАХ Пусть, например, нас интересуют свободные колебания, описываемые уравнением а, (1) у+ а, (1) у = 0 (3.1.44) с начальным условием у(1=0)=у,. Поскольку речь идет лищь о поведении у в области 1)0, то вместо у достаточно рассмотреть функцию у (1) =1(1)у(1), (3.1.45) совпадающую с у при 1)0 и равную нулю при 1(0. В (45) 1(1) — функция единичного скачка (1.5.2). Дифференцируя (45) и учитывая, что 1(1) =6(1), получим Уо=б(1)У(1)+1(1)У(1)=б(1)Уо+1(1)У (3.1 46) Если умножить (44) на 1(1), то с учетом (46) для заменяющей у(1) функции у" получим неоднородное уравнение а,(1)у++а«(1)у =у»а(1)б(1)=а(0)у,б(1), (3.147) правая часть которого учитывает начальное значение у,.

Если исходное уравнение — второго или более высокого порядка, то его удобно заменить предварительно на систему уравнений первого порядка. Пусть, к примеру, ао(1)у+а,(1)у+а»(1)у=О, у(1=0)=у„у(1=0)=у, (3.148) Полагая в=у, получим вместо (48) у=ш, ао(1)ш+а,(1)ш+ао(1)у=О. (3.1А9) Домножая (49) на 1(1), для «односторонних» функций у+=1(1) у БУ«=1(1)ш получим систему уравнений первого порядка ао(1) в++а,(1)во+а»(1)у+=а,(0) у,б(1), у' — ш'= уоб (1). ао(1) у++а,(1) у«+ао(1)у+= =У.б (1)+(а» (0) У +а»(0) У,) 6 (1).

(3.1.60) Преимущество уравнений (47) и (50) по сравнению с (44) и (48) состоит в том, что для их решения можно использовать интеграл Дюамеля или другие методы, развитые для анализа вынужденных колебаний. Переход к односторонним функциям вида (45) может быть эффективно использован и в волновых задачах (см.

Ь' 6 гл. 6). » 2 Отклик лииеииоп системы иА итум й 2. Отклик линейной системы на шумовое воздействие Преобразование корреляционных функций и спектров. Из результатов 9 1 следует, что колебаниях(1), совершаемые линейной системой под действием некоторой случайной силы 5(О = ) й,е' эт(в, можно непосредственно выразить через силу или ее амплитудный спектр: х (() = ~ Е(9)Н (т, 9) т(9 = (3.2.2) ЗиК (в, 1) етиэ с(в. (3.2.3) Статистические характеристики процесса х на «выходе» системы (см. рис 3.1) можно получить, усредняя (2) или (3). Для простоты предположим, что рассматривается система с постоянными и вещественными параметрами *), когда Н((, 9) =Н*((, 9)=Н(( — 9), К(оэ, Е)=К(в)=К*( — оэ), (3.2.4) а внешняя сила З(э) на «входе» системы — стационарный шум, так что $ = О, зет = В„ (т) = ~ 6,„(в) е-' тт(в, (3.2.5) (Е„Д„, ) = (Р„Д* „, ) = 6,„(в) б (оэ + в'), (Еы) = О. (3.2.6) В этом случае процесс х(() также стационарен и для него, по аналогии с (5), можно написать хх,= В,,(т) = ~ 6,„„(в)е-'ытт(в.

(3,2.7) С другой стороны, усредняя х и хх, с учетом (4), (5), получим х= О, В„,„(т) = ~ 6,„(в) ', К (в) (2 е-тат с(в (3.2.8) Сравнение (?) и (8) показывает, что спектральные плотности на входе и выходе линейной системы с постоянными параметрами связаны через коэффициент передачи: 6,„„(в) = 6„(в) ~ К (в) (2. (3.2.9) ') то есть оостоинны и исщссиыниы ко»1ириниенты а„ и (зд .24).

224 Гл. а. шумоеые кОлеБАния е линейных системАх Полная интенсивность, или дисперсия, флуктуаций на выходе системы равна х'=ст'-'„= $ 6,„„(в)с(в= $ )К(со))а6,„(в)с(в. (3.2,10) В общем случае линейной системы с переменными параметрами эта дисперсия будет зависеть от времени: о',„„= ~ ~ К (со, с))а6,„(со) с(в. Согласно (8) входному белому шуму со спектральной интенсиеностью 1/2п соответствует на выходе корреляционная функция Ва(т) = 2 ~ ) К(в),'е-с~'с(в.

(3.2.11а) Обратное преобразование Фурье дает )К(в),'= ~ Во(т)ес с(т. (3.2.12) Подставляя (12) и 6вк(в)=2 — ~ Вв,(со)е'""с(т ! Ва (т') В,„(т+ т') с(т', (3.2.13) т. е. она сложнее, чем чисто алгебраическое соотношение (9) между спектрами. Фильтрация шума избирательнымн системами. Согласно (9) при прохождении шума через линейную систему подчеркиваются те части спектра 6,„(в), которым отвечают наибольшие значения функции ~ К (в) )в '). В этом состоит эффект фильтрации. Об устройствах, изменяющих форму спектра шума, говорят как о фильтрах или избирательных системах.

') Функция ')С рл) ~в описывает рсаанансную кривую линейной системы, и Ее максимумы приходятся на резонансные частоты линейная системы. е (8) и интегрируя по в, находим, что связь между корреляци- онными функциями шумов на входе и выходе линейной системы имеет интегральный еид: В,„,(т)= ~ В,(т — т)В„„(т)(т = в й. ОТКЛИК ЛИНЕВНОЙ СИСТЕМЫ НА ШУМ 223 Рис. 3.2 иллюстрирует два предельных случая.

Если спектр 6,„((б) мало меняется в области максимума резонансной нривой )К(о)))и, то 6,„„(о)) ) К(о)) )я (3.2.14) и эффект фильтрации выражен наиболее сильно (рис. 3.2, а). а) Ю д) и Рис. 3.2. Леа предельных случая: ревонансная кривая ) Н(м) * является более увкой (о) или более широной (б), чем спектр 0 (и) вводного шума. Фильтруююие свойст.

вт ва линейной системм проявляются только в случае (л). Рис. 3.3. Схемы ЯС-фильтров. Наоборот, если функция ) К((е) почти не меняет своей величины в пределах основной части спектра 6в,(о)), то фильтрующее действие системы практичесни не проявляется; при этом 6,„к() 6„() (3.2.15) )+ ядс =)(1), (3.2.16) где () — заряд на обкладках конденсатора, (' — заданный ток. Последовательная схема описывается таким же уравнением с ( = — ЖМ. Соответствующее (16) уравнение свободных колебаний у+ ау = О, а = 1))сС, имеет решение ( (1) -иа е) (3.2.17) где 1,)а = 7'= )7С вЂ” время релансиции.

'9 С. А. Акманов и др. (рис. 3.2, б). Рассмотрим некоторые часто встречающиеся линейные фильтры. ЯС-фильтр. Схемы таких фильтров, состоящих из последовательно илн параллельно соединенных емности и сопротивления, показаны на рис. 3.3. Используя закон Кирхгофа, получим для параллельной схемы егв Гл. а. шумОВые кОлеБАния В линейных системАх (3.2.18а) Рнс. 3.4.

Последовательная схема колебательного контура. Рнс. 3.5. Параллельная схема ко- лебательного контура Колебательный контур. Колебательный контур состоит из емкости С, индунтивности Ь и сопротивления )с (рис. 3.4). Напряжение х на обкладках нонденсатора описывается уравнением х+ 2ах+ мех = ы",,б (() = у ((), (3.2.20) где 2а=)с))., го»с=1(Т.С.

В параллельной схеме (рис. 3.5) заданным является сторонний ток г'((). Динамическое уравнение, описывающее изменение тока (х= х через индуктивность, аналогично (20): хе+ 2ах + ыеох = го» г (() = гг ((). (3.2.21) Найдем функцию Грина колебательного контура. Из уравнения свободных колебаний у+ 2ау -(- ы„'у 0 следует, что ут,я =е "'-''"' ыт=- )' ой — « (3.2.22) Считая г «входом», а у «выходом» системы и подставляя (17) в (3.1.32), найдем функцию Грина: й(( — В) =е ьн в> Интеграл Дюамеля (3.1.18) при этом запишется нак у (() = $ е- а( (г — В) с(В.

Чтобы найти нозффициент передачи К(со), нужно положить в (15) ((() =е'"' и д(() =К(ы) е' ', что дает К(га) = —., /К(оэ) (а =,, (3,2.19) Мы видим, что величина /К(оэ) /е максимальна при Ш=О, а сувеличением ат функция ~К(го)~а плавно уменьшается. Таким образом, )тС-фильтр обладает способностью выделять низние частоты. Подставив (19) в (11а), найдем В,(т) =е "/2а. % т. Отклик линеннОи системы нл шум Подставив (22) в (3.1.40), получим й (1, б) = й (1 — 9) = — е 1'-о1з1п овв(1 — б). (3.2.23) ! Запись решения уравнений (20), (21) в виде интеграла Дюамеля (3.1.18) имеет вид х(г)= — ' ~ а-"ь(пывб 7(1 — б) (Е.

(3.2.24) ов, Полагая в (20), (21) )(() =е' ', х(1) =е'о')х'(ов), найдем частотную передаточную функцию контура 1 ( ) =зов ыв+21аов и резонансную нривую 1 (ы1 — ов~) + 4ивыв (3.2.26) (3.2.25) (рис. 3.6). вт1о1)вк ак г о,ыв Рис. З.б. Вид резонансных кривых колебательного коитура ири различных зиачеииих добротиости Я=сов/2а.