С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 39

последовательность импульсов с периодом Т = 2л)14 межмодовых биений (рис. 2.37), Максимальная интенсивность импульсов в л)' раз больше средней интенсивности, 1 ,х = «г = )ч'1,; длительность импульсов ти„„= и)!(1 ь). Если фазовые соотношения от- 4 личны от (2) и (35), то говорят о частичной синхронизации мод. н ' «уг' Возможна, например, такая модель частичной синхронизации мод: часть мод, занимающая центральную область спектра излу- а -,р -дг б бг дб «7 '««7' л -йб -б,г О ((г а ««7 лг Рнс. 2.37. Временная зависимость нн«енснвности излучения для сннхроннзованных моя.

Рнс. 2.38. Временная зависимость интенсивности для частично сннхронизо. ванных мод 1191. Фазы всех мод равномерна расоределеиы в интервале ( — ч„ е,м а) е,=л)4: б) л(2; а) Зл/4 ())= 3)). Штрих-отой«иром нзобра. мена средняя интенсивность. т ти)П, П вЂ” настота меммодовых биений. чения, полностью синхронизована, а моды в «крыльях» спектра несинхронизованы.

Другая возможная модель: случайные фазы 9)„ флуктуируют на интервале меньшем, чем 2пс и) ((()л) =1/29)о. — (()о~)()н ~9)о, (()о(л (2.10.38) Для последней модели частичной синхронизации мод реализации интенсивности показаны на рис. 2.38. Пользуясь (33), нетрудно найти, что средняя интенсивность излучения в рассматриваемом случае определяется выражением <7 (1)) =7,+<( (()>, (2. 10. 39) 214 гл. т, мОдели случаиньгх пРОцессОВ и пОлей где У вЂ” ! (Уе(()) =2(аз(ПЧга)т ~ Сгт — г соеп()(, т. е. средняя интенсивность является периодической функцией времени. Таким образом, в случае частичной синхронизации мод (38) многомодовый процесс является периодически нестационарным *). Проведенное выше рассмотрение относится к непрерывному излучению лазера. При работе лазера в режиме периодической модуляции добротности*") процесс является почти периодически нестационарным.

Действительно, в атом случае интенсивность лазерного излучения равна (2.10.40) где Р (() — почти периодическая функция. Р (() мало меняется за время Т = 2п/ь), но она изменяется, вообще говоря, от импульса к импульсу лазерного излучения. «) Нестаннонарность появляется в результате отлнчня гв(гга) от 1/2п— в соответствнн с общими выводами, приведенными в й 5. яв) Т. е.

в режиме повторения импульсов генерации. ГЛАВА 3 ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Нахождение отклика линейной колебательной системы (колебательного контура, линейного усилителя) на случайное воздействие представляет собой сравнительно простую задачу. Выполнение для линейных систем принципа суперпозиции позволяет широко использовать спектральные представления Поэтому корреляционно-спектральная теория случайных процессов играет исключительно важную роль при исследовании шумовых колебаний в линейных системах. Зная передаточную фуикпию 1или функцию Грина) исследуемой линейной системы, можно записать универсальные соотношения, характеризующие преобразование спектров или корреляционных функций. Вопрос о преобразовании законов распределения является более сложным.

Однако во многих практически важных случаях распределение шума на выходе линейной системы с большой точностью оказывается гауссовским, независимо от закона распределения шума на входе; происходит, как говорят, нормализация случайного процесса. Фактически речь идет еще об одном важном следствии центральной предельной теоремы. Разумеется, кроме определения закона преобразования шума в линейных системах возникают и другие важные вопросы, на. пример, выбор фильтра или усилителя, имеющий целью оптимальным образом обнаружить или выделить сигнал, скрытый в шумах.

Линейные системы предоставляют широкие возможности для осуществления указанных операций, Превосходное изложение динамической теории колебаний в линейных системах можно найти в ~1). й 1. Математическое описание линейных систем. Спектральный и временной подходы Принцип суперпозиция. Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать при помощи линейных уравнений. Линейные уравнения могут быть любыми: алгебраическими, дифференциальными (обыкновенными или в частных производных, с постоянными или переменными параметрами), интегральными, разностными и т. п. Все линейные системы обладают следующим свойством: если на систему одновременно действует несколько внешних сил, то 216 Гл 3 шумОВые кОлеБАния В линеЙныХ спстемАх на каждую она откликается независимо.

Иначе говоря, если х (() — отклик системы на силу 1 ((), то при воздействии (3П.1) отклик будет (3П.9) Аналогично х(() =,У, 'а х„((), (3.!.3) если ((() =У'а Г-Я. (3.1.4) где а — постоянные. В атом состоит принцип суперпозиции. Вынужденные колебания; спектральное описание отклика линейной системы. Рассмотрим случай, когда разложение (1) производится по гармоническим колебаниям. Предположим, что под действием силы ( (() =е'"м' система совершает колебание х (() = К (гч, () е'"м'.

(3.1.6) Переходя в (3), (4) от суммы к интегралу, получим, что при действии силы произвольного вида (3.1.5) ((() = $ ~„е™йго отклик системы будет Ю х(()= 1 1К(ы, ()е'"й . (3.1.7) (3.1.8) Функция К(ш, (), полностью характеризующая линейную систему, называется козффициентом передачи или чаепютной передаточной функцией Зависимость функции К (га, () от времени связана с возможным изменением во времени самой системы (например, при модуляции ее параметров).

При этом, очевидно, в спектре колебаний могут появиться такие частоты, которых нет в спектре внешней силы. В случае систем с постоянными параметрами появление новых частот невозможно и козффициент передачи от времени не зависит: К(ь, () =К(ь). (3.1,9) Заметим, что в случае (9) выражение (8) может рассматриваться $ Ь МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЛНЫХ СИСТЕМ 217 как спектральное разложение вынужденных колебаний, совершаемых системой: х(() $ 1„К(гэ)е'""Нгэ= $ х„е' 'йа, (3.!.10) Временной подход.

Рассмотрим теперь силу типа б-импульса: ~ (() =б(1 — 1 ). (3.1.11) Отклик линейной системы на такую силу представим в виде х.(1)-Н(1, („). (3.1.12) Произвольную силу можно представить в виде разложения по б-функциям: 1(1) = ~ 1 (9) б (1 — 9) г(6. (3.1.13) Отсюда на основании (3), (4) заключаем, что отклик линейной системы на воздействие 7'(() может быть записан как х (1) = 1 П9) Н (1, 9) й.

(3.1.14) Выражение (14) носит название интеграла Дюамеля, а Н((, 6)— функции Грина. Отметим следующие свойства функции Грина: 1. Поскольку отклик на б-импульс не может возникнуть во времени раньше самого импульса (иначе был бы нарушен принцип причинности), то Н(1, 9) О, если (~8, или Н ((, 6) = 1 (1 — 9) Ь ((, 6), (3.1.15) где 1(( — 9) — функция единичного скачка (см. (1.5.2)), ай(г, 9)— непрерывная функция, которую также называют функцией Грина. 2.

Если система не меняется (т. е. параметры ее постоянны), то все моменты времени эквивалентны, и отклик системы в момент (, на б-импульс, подействовавший в момент (ь должен быть Одним и тем же для всех (, н („ соответствующих фиксирован. ной величине интервала (,— (ь Иначе говоря, для систем с постоянными параметрами функция Грина зависит только от разности аргументов: Н (1, 9) = Н (1 — 6), Й (1, 9) = й (. — 9). (3, 1. 15) 3. Принимая во внимание (15), интеграл Дюамеля (14) можно переписать так: х(1)= ) 7(6)8((, 6)д6=~ й((, 1 — 8)~(1 — 8)г(9.

(31.17) 218 Гл. 3. шумовые кОлеБАния В линеиных системАх В случае систем с постоянными параметрами, учитывая (18), имеем х(1) = $ й(1 — 8)1(8)б8=$ й(8)7« — 8) (В= -о» 0 = $ Н(8)1(1 — В) (8. (3.1,18) Таким образом, если внешняя сила г (1) задана, то вынужден. ные колебания линейной системы определяются выражениями (18) или (14). Частотное и временное представления пол- КФ дл„,~лл, аяй „, НОСтЬЮ ЭКВИВаЛЕНтНЫ (РИС. арйпВ%' 3.1), однако частотное ЖКЖ представление (8) иногда л~ю, рт удобнее для описания колебаний в установившемРнс. 8.1.

Линейная снстеыа. ся режиме, а временное Функция Грива О и, 8) и козффнциент передачи (14) — при рассмотрении К(ы, О определяют колебания «1тн возникающие в линейной системе под действием внешней силы ПЕРЕХОЛНЫХ ПроцЕССОВ. р (тр Между частотной функцией К(ш, () и функцией Грина Н(1, 8) имеется однозначная связь. Чтобы ее установить, п репишем (14) в виде х(1) = $ Н(1, ( — Е)1(( — 8)г(8 со оз х(1) = ~ 1ые'ытс(от ~ Н(1, 1 — 8) е-т"об(8. (3:1,19) Сравнивая (8) и (!9), находим, что К(от, т) и Н(1, 6) связаны преобразованием Фурье: К(оз, 1) = $ Н ((, 1 — 8) е-'"Опй, (3.1.20) Н((, 1 — 0) =,— ~ К (от, ()е™с(от.

1 (3.1.21) и подставим сюда спектральное разложение (7) для 7((). В ре- зультате получим $1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ 219 Согласно (!5), (20) и (21) и в случае систем с постоянными параметрами К(ОО) =') )т(В) ' О(В, (3.1.22) О ОЗ гч 3 ~ (О') " (3.1.23) ~~О а„ (() ( †„, ) х = ) ((), (3.1.24) л=О а функция Грина может быть выражена через свободные коле- бания ут (г) уч (г) (3.1.25) являющиеся линейно независимыми решениями соответствующего (24) однородного уравнения ~~ ал (() ~ „— ) у = О. л=О (3.!.26) Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала уравнение первого порядка а, (() х+ а, (() х = ( (() (3 1.27) и будем искать его решение в виде х (() = С, (() у, ((), (3.!.28) где С,(() — неизвестная пока функция, а у,(() — решение однородного уравнения а,(() ),+аО(() У,=О, Подставив (28) в (27), получим а,Сш, -)- С, (а,У', -(.

ЕОУН) = ((г), (3.1.29) Свободные колебания. Свободные колебания не связаны с внешними силами и определяются начальными условиями. Как будет показано далее, математически начальные условия всегда можно представить в виде эквивалентной силы (см., например, (45), (45)). В некоторых задачах такой подход имеет свои преимущества, давая возможность учитывать начальные (а также граничные) условии и внешнее воздействие в рамках единого описания. Функция Грина линейных систем с сосредоточенными параметрами. Колебания в линейных системах с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, например: 220 гл. о.

шумовыв колввхния в линвнных системах или, если учесть (29), азСзуз=7', откуда имеем 1<е) ао 3 а, <е) у, <е) ' (зл.зо) В результате получим (<) — ~ 7(е) "" а, <о) у, <е) ' (зл .з1) решение ищем в виде х = С, (!) у, (с) + С, (Ю) у, (<). (3.1.34) Дифференцируя (34), имеем х = С',д, + Сздз + Сзуз+ С,д,. (зл.зб) Выразив в (34) неизвестную функцию х через две новых (С, и Сз), мы можем задаться одним произвольным соотношением между С, и С,. Пусть С„д,+С,д,=о. (3.1.36) Тогда х = Сзу, +С,ув, х = С,уз+ Сзув+ Сздз+ Сзд,. Подставляя (34), (37) в исходное уравнение (ЗЗ), С,Уз+ Свдз = 1)аз.