С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 38

)9) Частотный спектр этого процесса изображен на рис. 2.35, а. Выделим из реализации рассматриваемого процесса отрезок, длительность которого Т значительно превосходит время корреляции т„, и повторим его много раз. Таким способом мы получаем периодический случайный процесс. Физический смысл проделанной операции состоит в том, что реальный непрерывный спектр процесса мы представляем в виде «гребенкн» мод (дискретного спектра), которая тем чаще, чем больше период Т (рис. 2.35. б).

9 и. многомодовая модель слгчхиного пяоцассх 2от Действительно, периодическую функцию $ (1) можно разложить в ряд Фурье: сл т $(1)= Х $ """', Ь =т — 1К(!) " 'Т((, (21020) где. (1=2л(Т вЂ” частота межмодовых биений, и в силу веществен- ности 5(!) Ы=$-. (2.10.20а) Определим статистические свойства комплексных амплитуд $„. Среднее значение $„=0, поскольку $=0. В соответствии с (20) величины $„линейно зависят от 5 и, следовательно, также подчиняются гауссовской статистике. Рассчитаем значение корреляции между $„и $": т ($ 9л ) ~ ~ ($ (и) х (о)) е — мои+!тоиби До О т ! е = —, ~ ~ В(о — и) ехр 1(тйй(о — и) — л!!и+и!!и) боби = о Т вЂ” и — етиил — л)и ~ В (9) ес оы т(9 Ди 1 с т о — ы Т иы —, ~ е'-"'"' — л>и ~ В (9) е"'пие(9 би = 1 г а — ыл — 6 (тйе) ~ с~пил-л>и г(и 2л о (2.! 0.21) где 6(т!!) — спектральная плотность на частоте т!е: 6 (т()) = — ~ В (9) е' ие д9.

! 2л (я„$„") = — 6 (лй!) = Я6 (лй!). (2.10.22а) В случае тчьл ДД") =О, (2.! О, 22б) т. е. комплексные величины $„не коррелированы между собой. В (21) при расширении пределов интегрирования учтено, что корреляционная функция В(9) заметно отличается от нуля только на конечном временном интервале порядка т„~~Т. Если т=л, то, очевидно, йй гл з модели слтчзиных пяоцессов и полни Запишем з„через вещественные величины: $лллал+(рл.

Согласно (20) †(22) (/ф„(л) =а'„+р'„, Я'„)=а„' — р"„.+12а„~„=О. Отсюда следует, что а„~„=О и а,=Ой= —,'ао( а)лл „. Таким образом, распределение для гауссовских случайных величин а„, К имеет вид (2.10.23) ю(а„, р„) = —,ехр ~ — —, л Если сл представить в виде $л лл )сл (Е'чл =а„Е'чл, то согласно выводам й 4 амплитуда ал распределена по рэлеевскому закону (2. 10. 24) л л~ а распределение фазы <р„равномерное: ю (<р„) = 1!2п, — и ~ ср„- и, Из изложенного, таким образом, следует, что если случайный процесс гауссовский, то его спектральные компоненты некоррелированы и распределены также по гауссовскому закону.

Верно и обратное утверждение. Если моды колебания (1) обладают гауссовским распределением, т. е. амплитуды мод отвечают распределению (24), то колебание (1) подчиняется, очевидно, гауссовской статистике независимо от числа У мод. Действительно, усредняя характеристическую функцию (7) процесса (1) по распределению (24), получаем характеристическую функцию гауссовского про- цесса: У Г сл М (л - П ~4 ( л( м . -"": ~ .~ = * — -' * Х л). л=1 "О л 1 (2.10,25) При вычислении (25) мы использовали формулу х"'е — ""',/ (рх) дх = -~ ехр ( — р ~.

л (2и]л+1 1 4вг ' л 4 1О МНОГОМОДОВАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАИНОГО ПРОПЕССА 209 Таким образом, сгатистика сложного колебания типа (1) является гауссовской при произвольном числе мод, если сами моды подчиняются гауссовской статистике. В случае нефлуктуирующих амплитуд мод гауссовская статистика колебания (1), как показано выше, имеет место только при бесконечном числе мод ()У'-А-Со). Для большого, но конечного значения йГ с гауссовскими значениями моментов совпадают только низшие моменты процесса (4).

Когда многомодовое колебание можно считать гауссовским шумом? Ответ на вопрос, поставленный в заголовке, в значительной мере связан с тем преобразованием, которому подвергается многомодовое колебание (1). Рассмотрение моментов многомодового колебания, например, показало (см. (!8)), что если колебание (1) возводится в и-ю степень, то близость значения средней интенсивности нелинейного процесса к значению п-го момента гауссовского шума зависит как от числа исходных мод 1у, так и от степени нелинейности процесса.

Чтобы проиллюстрировать еще раз, что замену многомодового колебания гауссовским процессом следует проводить с большой осторожностью, рассмотрим задачу об экспоненциальном преобразовании многомодового колебания р(1) =еам11, (2. !0.26) где А (Г) — многомодовое колебание. Сравним среднее значение такого процесса со средним значением экспоненциально преобразованного гауссовского шума с непрерывным спектром и найдем условие, когда указанные средние значения можно с хорошей степенью точности считать равными.

Вычислим сначала среднее значение процесса (26) у для шума с гауссовским распределением й имеем +СО Р= ~ е"~к1(Е) 1!$=ехР(Ра,+-((3О)'!. (2.10 27) Для многомодового колебания вида (1) вычисление среднего значения функции, определяемой формулой (26), представляет значительные трудности. Рассмотрим многомодовое колебание вида: е(1) а,+2 ~ а„сох(ль!1+Ч1„(Г)), (2.10.28) в котором моды попарно связаны. В (28) 1? — частота межмодовых биений, статистика фаз 1р„определяется выражением (2). 2!О гл г модели случдиных ппоцвссов и полип Число мод процесса (28) равно Л!»=2/у" +!.

Средняя интенсивность колебания l=($»)= — а»+оа, где на=2~ а„'-'. ! а=! Подставляя (28) в (26), имеем У=ехР Рпо+2Р ~Ч, 'а„соз(пь!г+сР„(/)) п=! м СО = !" П (11!!,,!»2 Л 1 21«е 1 П!»»1~ =1 т ! (/„(х) — модифицированная функция Бесселя!. Отсюда, учитывая (2), получаем р=еэ" П /о(2рал), или р=еч" /м(2ра) (2.1029) и ! для равных амплитуд мод (а„=а»=а; и=1, 2, .../!!). При этом средняя интенсивность /=(1+2А1)аа о'. В случае 2ра~ 1 или (ро)з((/з! (усиление для одной моды малое*)), пользуясь разложением функции Бесселя /,(х), находим Умней Г +((з!г) + 4 3 ехр(рпа+2(ро)~ !6у ~. (2.10.30) При 2ра .

1 (большое усиление «на моду»>, используя асимптотику функции /а(к), получим у =(4лра) — мгз ехр ((2йс+!) ра). Из сравнения выражений (27) и (30) следует: многомодовое колебание вида (28) дает тот же результат, что и гауссовский шум, при условии /у':м ((!о)'/16. (2.!0.31) Таким образом, неравенство (3!) является условием эквивалентности многомодового колебания и гауссовского шума при экспоненциальном преобразовании. Этими результатами мы будем пользоваться при обсуждении процессов усиления в радиофизике и оптике.

Многомодовое лазерное излучение; частичная и полная синхронизация мод. Важный пример многомодового колебания представляет собой излучение лазера. Многомодовый характер излучения лазера связан с многомодовостью спектра собственных колебаний *) Мы говорим здесь об усилении, поскольку преобразование (26) описывает параметрическое усиление при случайной накачке (см. й 4 гл. 6).

ам.многомодовая модель слтчхпного пгоцессх 211 оптического резонатора. Оптический резонатор, например резонатор Фабри — Перо, обладает набором собственных частот м„= 2п!/ (с/2Е), !/ = /,/()д/2) где Š— длина резонатора, с — скорость света, Х вЂ” длина волны, д — целое положительное число. Типичные значения: Е 100 см и д 10д. Расстояние между соседними модами Ло =!э „— дэд —— = пс/Е = Й, т. е. моды рассматриваемого резонатора эквидйстантны Практически эквидистантными являются и частоты, на которых происходит лазерная генерация в многомодовом резонаторе. Напряженность электрического поля лазера можно записать в виде (!): Е (/) — ~! а,е'(" 'т э ) + к. с.

(2,10.32) Здесь частоты м„удобно представить как 1 дал = ~д+ 2 (2л+1 — й/) 11 (/л) м (~диг) 12т — 1)Н (2.10.34) и полученным выше результатом (17) для моментов (а'"). Значе- ния моментов (1'") сведены в табл. 2.1. Поскольку средняя частота излучения вд гораздо больше ширины спектра (йд — 1) 11, поле (32) можно представить в виде квазимонохроматической волны: Е (/) = )Г2/ (/) е'!"ьд+э!д»+ к. с., (2.10.33а) где /(/) — мгновенная интенсивность излучения: /(/) =/,+/ь(/), (2.!0.33б) л= ! /, (/) = — ~' а„а; соз1(п — /) О/+ гр, (/) — йч (/)). 1 и, г= ! м~д> Если фазы др„мод излучения статистически независимы н распределены равномерно на интервале ( — и, и), то такие моды принято называть несинхронизованными.

Реализации интенсивности 1(/) и фазы ~р(/) излучения для этого случая показаны на рис. 2.36. Определим моменты интенсивности /(/) для несинхронизованных мод с равными амплитудами (а,= —...=а!де а). Воспользуемся соотношением (2.5.27) для квазигармонических колебаний 212 ГЛ. 2. МОДЕЛИ СЛУЧАПНЪ|Х ПРОПЕССОВ И ПОЛЕП Таблица 2.! 8[оменты интенсивности (/ю) многомодового излучения с несинхронизованными модами [18[ (тю)/(г)т 2 — 1/Ат б — 9//и'+ 4/Атз 24 27//У+ 82//(/з 33//Уз ! 20 — 600/У 2+1250/У ' — 1225/У а+456/У з 720 — 5400/У 2+17 700М-з 30 600М-а+ 27 031Х-з 94501/-и Если фазы мод излучения связаны, например одинаковы, тут тут ' ' Чтдт Чта (2.10.35) то моды называются синхронизованными. Для синхронизованных мод поле излучения (33а) представляет собой регулярную функ- ут/ют /и/Г/ Ряс.

2.36. Временная зависимость интенсивности /(1) н фазы гр(!1 излучения с иесннхроннзованнымн модамн (А/=101) [171. Амплитуды мод о(ы1 = а„имеют рэлеезспое распределеиие, фазы в(м1 е рзспреде. лены разиомерпо. пию. В самом деле, в этом случае вырижеиие,(32) легко преоб- РаЗОВатЬ, ПОЛаГаЯ а,и аз=...=аЛ =РХ! Е(/)ми -аи'АИЕХр(1!ГОО+ Ьф~ 11 Е"'"'+К. С.= 1 Г.Г ! — А! 2 л=! а(и (5/11//2', а '.' "[",///2 — ' соз (ота/+ Что). (2.10.36) в )о. многомодовая модель слхчдиного процассд 213 Из (36) следует, что интенсивность 1 ип' («т'ь)««21 2 апз (0(72] (2.10.37) представляет собой периодическую функцию, т. е.