С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 45

С другой стороны, для любого физически осуществимого фильтра достаточно выполнения условии временной отсечки (3.1.14), кото- рое в рассматриваемом случае может быть записано в виде Э Е СОВМЕСТНОЕ ДЕИСТВИЕ СИГНАЛА И ШУМА Согласно полученным результатам свс (е) К( ) =0,(е)+а,(е) — 1, )св= ~ '( ) ' с(в( ~ 6„(в)с(в=о, (п=1, 2). (3.5.40) СΠ— вв Таким образом, минимальная ошибка воспроизведения (40) не за- висит от времени запаздывания /е а также от того, какой из двух шумов $с и йв мы считаем сигналом, а какой — помехой. Интенсивность сигнала, помехи н отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра определяются выражениями о = ~бс(в) ~К(в) ~вс(в, и'„=~ 6,(со) ~К(со) ~вс(в, (с/ш),„„= и'„/а'„, где согласно (34) в Г свс (е) 1(а ~К(") ~ =[О,( )+а,( )] На входе фильтра о', ] Ос ро) с(е (/ )вв в Рассмотрим характерные режимы фильтрации.

1. Сигнал большой, причем спектры 6,(в) и 6,(в) сильно перекрываются. При этом бс~бв и,'К(в) Р 1, так что (с/ш),„, (с/ш) „)) 1. Оптимальный фильтр в этом режиме практически ничего нового ие вносит. 2. Отношение (с/ш)„„имеет произвольную величину, но спектры 6, (в) н 6,(в) не перекрываются. Теперь е 1, 6,(со)эАО, ~ К(в) Р= О, 6,(в) ФО, так что о', о;", а-"„0 и (с/ш) „,„~ 1. Оптимальный фильтр в этом режиме работает наиболее эффек- тивно, обеспечивая почти полное подавление помехи, не искажая в то же время сигнала. 3. Сигнал относительно мал, причем спектры 6,(в) н 6,(в) сильно перекрываются. Полагая 6,<,'б„получим ав = ~ бв (в) [бс (в)/6, (в)]' Йо, и! ~б,(в)[б,(со)/бв(в)]вс(ве о'„, (с/ш),„, 6,/бв — (с/ш),„ч=, 1. 2о2 ГЛ.

3. ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕННЫХ СИСТЕМАХ В этом наименее благоприятном случае (как и в наиболее благоприятном случае (1)) любой линейный фильтр бесполезен, поскольку частотная селекция не в состоянии заметно повлиять на отношение сигнал1шум. Выход из этого положения может быть найден, если закодировать сигнал (промодулировав его по известному закону) (см. ч 3 гл. 5). Оптимальные фильтры и корреляторы. Рассмотренные выше методы обнаружения и выделения сигналов особенно эффективны, когда спектры сигнала и шума существенно различаются; именно в этой ситуации оптимальные фильтры обеспечивают минимальные ошибки при обнаружении и выделении сигналов.

рбУ рЭр(г+б Рис. 3.! К Схема коррелятора. (5ет) = (5«е) = О. Согласно (!.3.39) (55,) = — соз ш,т и о» В„(т) = — соз соот+ В» (т). Если шум $ стационарен, то Вь(т)=0 при т - т„. (3.5.42) (3.5.43) Однако если различаются спектры, то различаются и корре- ляционные функции сигнала и шума.

Поэтому для обнаружения и выделения сигналов, наряду с оптимальными фильтрами, могут быть предложены и «сопряженные по Фурье» методы — методы, основанные на измерении автокорреляционных и взаимно-корре- ляционных функций. Поясним сказанное на двух примерах. Пусть речь идет о рассмотренном на «спектральном» языке в начале этого параграфа обнаружении гармонического сигнала 5(1)=асоз(ша(+~Р), ш(~Р)=1/2и, на фоне стационарного шума; сигнал и шум будем считать неза- висимыми. Пусть суперпозиция сигнала и шума Ч (т) =. 5 (т) + Е (т) = а соз (от«Г+ ~р) + $ (Г) подается на коррелятор (рис. 3.11).

На выходе коррелятора имеем Вч (т) = (т1«1«) = (55«)+ (Ят) + (5Д)+ (БВ«). (3.5А1) При (5) =(с) =0 ч а совместное двнствив сигнала и шума 2ВЗ Таким образом, на выходе прибора, измеряющего корреля- аа ционную функцию В„(т), при таит, В„(т) — соз мат независимо от отношения сигнал)шум на входе. Это значит, что при больших задержках появляется возможность обнаружения сколь угодно слабого гармонического сигнала на фоне шума (рис. 3.12). Аналогично (2) — (4), для корреляционного приема можно ввести и формулы, описывающие выигрыш в величине отношения сигнал)шум.

Записывая корреляционную функцию шума в виде В„(т) = = оаг(т) соз мат (шум с симметричным спектром, расположенным вблизи частоты шв), имеем (С/Ш)вх = 2 вв (С/Ш)вмх = — х — — (С/Ш)вх —. (3.5.44) (Вйх) Согласно (44) (с)ш),„„- оо при т- со. Этот результат, разумеется, совершенно аналогичен следующему из (12) выводу об обращении отношения (стш),„„в бесконечность при Лшь-+.О. Таким образом, с принципиальной точки зрения методы обнаружения гармонического сигнала на фоне шума с помощью узкополосного фильтра или коррелятора совершенно эквивалентны; выигрыш в отношении сигнал)шум получается за счет уве- аг(т) '%4)т) тГг) личения времени измерения; напомним, что постоянная времени фильтра Ть 1/Лше.

' г Практически же создание коррелятора с большими време- Рис. 3.)2. Корреляционные функции нами залеРжки часто оказмвает- гармонического сигнала В (х), суперса болЕЕ пРостмм делом, нежс- позиции сигнала и шума В„(т) и ли создание очень узкополосного шума Ва (т). фильтра. Корреляционным приемником можно заменить, разумеется, и оптимальный (согласованный) фильтр, предназначенный для оптимального обнаружения импульсного немонохроматического сигнала. Решение задачи обнаружения сигнала на фоне шума на «временном» языке фактически содержится и конце В 2 гл.

! (см. формулу (!.2.60) и рис. !.3). Переходя в формуле (1.2.60) от суммы к интегралу, заключаем, что вынести решение о наличии или отсутствии сигнала можно, сравнивая значение величины т ~~ ~х;Вх -в $ х (В) Я (В) «(В = В„.з (Т) (3.5.45) о с некоторым порогом.

я!4 Гл. 3 шумовые кОлебАния В линейных системАХ Величина В з(Т) представляет собой функцию взаимной корреляции сигнала и суммы сигнал+шум, При 1=Т с В„з совпадает интеграл Дюамеля (3!.18) вида у(1) =') Й(! — 0)х(0)с(0, (3.5.46) о описывающий выход фильтра с функцией Грина, равной й (О) = 8 ( Т вЂ” О). (3.5.47) Действительно, поскольку )с (1 — О) =8 (Т вЂ” 1+0), р (1) = Г)З (Т ! + О) х (0) 80 о и у (Т) = В з.

Функции Грина (47) соответствует коэффициент передачи фильтра К (со) = 2пз* (в)е †'"г, (3.5.48) где з (в) = — ) Я (1) е '"' с( в = з* ( — со) . < В этом легко убедиться прямой подстановкой (48) в (3.1.23): )с(0)= $ зо(в)ест<о — г~с(в= $ з*( — со)е <н — г<с(в з (в) еь <г — н< с(в 5 (Т О) Выражение (48) совпадает с частотной характеристикой оптимального (согласованного) фильтра (22), если в (22) положить сс = 2п и !о=- Т. Можно сказать, что корреляционный приемник (см. рис. 1,3), построенный по критерию минимума вероятности ошибки, представляет собой согласованный с сигналом фильтр (22), дополненный порогом обнаружения (7о.

Наличие порога позволяет однозначно выносить решение о наличии или отсутствии сигнала. Таким образом, в рассмотренных задачах обнаружения и выделения слабых сигналов на фоне шумов методы, основанные на фильтрации по спектру, и корреляционные методы эквивалентны. Следует иметь в виду вместе с тем, что мы рассмотрели здесь лишь простейшие постановки вопроса в статистической теории обнаружения и выделения сигналов на фоне шумов. Читателя, желающего более детально ознакомиться с вопросом, мы отсылаем к руководствам 13 — 5, !2 — !5].

ГЛАВА 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ й Е Введение. Корреляционные функции и спектры В протяженной среде случайные источники возбуждают волны, амплитуды, частоты, фазы и волновые векторы которых случайны, — случайные волны. Случайные волны возникают и в результате рассеяния регулярных волн в средах с хаотически изменяющимися параметрами. Каковы свойства случайных волн в), каковы закономерности их распространения, интерференции, дифракции? Эти вопросы важны для радиофизики и в особенности для оптики. Поэтому в настоящей главе большое внимание уделено рассмотрению оптических интерфереиционных и дифракционных задач, много специальной оптической терминологии, Так, пространственные и временные корреляции случайных волн описываются в терминах давно сложившихся в оптике понятий пространственной и временной когерентности, степени когерентности.

В терминах оптики предметом настоящей главы в значительной мере является «лииейнан оптики частично когерентных волн». Вместе с тем ниже рассматриваются и проблемы, выходягцие за пределы традиционной статистической оптики. Широкий класс статистических задач возникает, в частности, в рентгеновской оптике; используемые в настоящее время источники рентгеновского излучения являются, по существу, источниками широкополосного «рентгеновского шума». Ниже проанализирована одна из основных для рассматриваемого круга задач — задача о дифракции частично когерентной волны на идеальной трехмерной решетке.

Ряд задач, обсуждаемых в этой главе, можно рассматривать как аналоги задач, изложенных в гл. 3. Поэтому большое место, как и в гл. 3, занимает корреляционно-спектральная теория, однако здесь это корреляционно-спектральная теория случайных полей. Вместе с тем задачи о случайных волнах в распределенных линейных средах оказываются гораздо более сложными, нежели задачи о шумовых колебаниях в линейных системах с сосредоточенными параметрами. «) В тех случаях, когда суогественна лишь временная стат стика волны, мы будем называть такие волны также шумо«ылш волнами, ГЛ.

4. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ Поэтому, если в гл. 3 приближенные методы, основанные на упрощении исходных уравнений (на использовании так называемых укороченных уравнений, см. э" 2 гл. 3), вводились нами скорее из педагогических соображений, то в настоящей главе практически все основные результаты базируются на результатах анализа укороченных уравнений для медленно меняющихся комплексных амплитуд распространяющихся волн. Следует подчеркнуть, что переход к укороченным уравнениям связан не только с чисто вычислительными преимуществами, но имеет и несомненную эвристическую ценность Оказывается, что ряд на первый взгляд принципиально различных нестационарных задач теории систем с сосредоточенными параметрами и задач о распространении волн описывается, по существу, одними и теми же укороченными уравнениями для комплексных амплитуд', переход от «временнойэ задачи к «пространственной» связан лишь с заменой независимой переменной Последнее позволяет установить пространственно-временные аналогии в теории колебательных и волновых систем (см.