Диссертация (Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения)

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВНа правах рукописиБахтигареева Эльза ГизаровнаОПТИМАЛЬНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ КОНУСОВ ФУНКЦИЙ СОСВОЙСТВАМИ МОНОТОННОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ01.01.01. - вещественный, комплексный и функциональный анализДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико - математических наукНаучный руководительдоктор физико - математических наукпрофессор М.Л. ГольдманМосква 2017ОглавлениеВведение.41 Метод ассоциированных норм для построения идеальных оболочек.1.1 Основные определения, обозначения и свойства.

. . . . . . . . . . . . . .1.2 Сопоставление с концепциями БФП, ОБФП. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Оптимальное обобщенное банахово функциональное пространство для заданного конуса функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Оптимальное банахово функциональное пространство для конуса, заданного интегральным представлением. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .23Ассоциированные нормы и оптимальные вложения для одного классадвухвесовых интегральных квазинорм.2.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов. . . .2.2 Доказательство результатов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Доказательство Теоремы 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .2.2.2 Доказательство Теоремы 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3 Доказательство Теоремы 2.1.3 (сведение к Теореме 2.1.1). . . . . .2.3 Оптимальная банахова оболочка для конуса функций из Lp. . . . . . . .Метод нестягивающих операторов для построения идеальных оболочек.3.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов. . . . .3.2 Построение идеальных оболочек при различных отношениях порядка иусловиях монотонности. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных убывающих функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Оптимальное ИП для конуса двоякомонотонных функций. . . . .3.2.3 Оптимальное ИП для конуса обобщенно двояко монотонных функций . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для конуса двоякомонотонных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.5 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для конуса двоякомонотонных функций при дополнительном ограничении3.2.6 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных обобщенно убывающих функций . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2181822252933343737465356737481818487909394Заключение.96Литература973Введение.Построение оптимальных оболочек для заданного конуса неотрицательных измеримыхфункций, оценки положительных операторов на них имеют важные приложения в различных областях анализа, таких как, например, теория функциональных пространств,теория приближения, теория вложений, теория интерполяции.Тeория вложeний возникла в связи с задачами тeории уравнений в частных производных, в которых для исследования гладкости решений вводятся одни типы пространств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо особых точек - другие типы пространств.

Многообразие различных пространств потребовало детального изучения связей между этими пространствами. Возникновение теориивложения связано с работами С. Л. Соболева в 30-е годы прошлого века. Oн вводит иизучает новые функциональные пространства Wpr , которые в литературе стали называть соболевскими пространствами. Для этих пространств С. Л. Соболев доказываетпервые теоремы вложения, он применяет эти пространства при исследовании краевыхзадач для эллиптических уравнений высокого порядка(см. [1, 2]).

Систематическое изложение теории функциональных пространств, теорем вложения этих пространств, теорем о следах и приложений этих результатов к задачам дифференциальных уравненийв частных производных и уравнений математической физики содержится в книге С. Л.Соболева "Некоторые применения функционального анализа в математической физике"(см. [3]).

Другое направление исследований связано с созданием С. М. Никольскимтеории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывноменяющимися анизотропными характеристиками гладкости. О. В. Бесов ввел и изучилrболее общие пространства Bpθ(Rn ), совпадающие при θ = ∞ с пространством Никольrnского Hp (R ) (см. [4, 5, 6]). В математической физике часто приходится иметь дело сфункциями пространств Соболева Wpr и их следами на границе Γ = ∂Ω области Ω, т.е.предельными значениями f на Γ. Сами функции f удобно считать принадлежащимипространствам Соболева Wpr .

Но их граничные значения на Γ, которые тоже необходимы, приходится рассматривать как принадлежащие к пространствам Бесова.Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М. Риссомв 1926 в виде некоторого неравенства для билинейных форм ([7]). В 1939 Г.О. Торинымтеорема была уточнена и дана ee опeраторная формулировка ([8]).

Существенным продвижением явилась теорема Ж. Марцинкевича, сформулированная в 1939 году ([9]).В 50-х годах важные обобщения теорем Рисса-Торина и Марцинкевича были получены Е. М. Стейном и Г. Вейсом. Однако, эти и многие другие результаты относилиськ пространствам Lp или близким к ним. В своих работах [10] и [11] В. Орлич снабдил более общее функциональное пространство нормой, что позволило рассматривать4эти пространства в рамках общей теории банаховых пространств, введенных С. Банахом. Попытки унифицировать пространства Орлича и Лоренца в рамках одной аксиоматики были предприняты в начале 50-х годов в работах [12], [13], [14]. Последняяработа основывалась на теории пространств последовательностей Кете-Теплица ([15]).В рассмотрение вводятся двойственные по Кете (или ассоциированные) пространства.Двойственным по Кете пространством для функционального пространства X называется множество X 0 функционалов из двойственного пространства X ∗ , которые имеютинтегральное представление.

К ассоциированным пространствам применим принципдвойственности, то есть (X 0 )0 = X. Эти исследования привели к возникновению теориибанаховых функциональных норм и банаховых функциональных пространств, впервыепредставленных Люксембургом в 1955 году ([16]). Разработка общих интерполяционныхтеорем для семейств абстрактных банаховых и гильбертовых пространств была начатав конце 50-х годов независимо в ряде стран.

Первые публикации здесь принадлежатЖ. Л. Лионсу (1958-1960 гг., [17]), Е. Гальярдо (1959-1960 гг., [18]), А. П. Кальдерону иС. Г. Крейну (1960 г., см., например, [19]). В дальнейшем сущeствeнную роль сыгралиработы Я. Петре (см., например, [20]), в которых был развит метод вещественной интерполяции,связанной со свойствами K-функционала Петре.

Современному развитиютеории интерполяции и ее приложениям в теории функциональных пространств посвящены исследования С. В. Асташкина [21, 22], Е. И. Бережного [23, 24], Ю. А. Брудногои Н. Я. Кругляки [25, 26], В. И. Овчинникова [27, 28, 29] и др.Проблема описания свойств монотонных операторов на конусах неотрицательныхфункций со свойствами монотонности и, в частности, задача о построении оптимальной банаховой или квазибанаховой оболочки для таких конусов весьма актуальна. Онаявляется важной составляющей частью общей проблемы об оптимальных вложенияхфункциональных пространств, которая, в свою очередь, представляет собой важныйраздел общей теории оптимизации.

Современное развитие теории оптимизации и ееразнообразные приложения в теории экстремума, теории аппроксимации и теоремахвложения представлены в монографиях А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [30], Алексеева В. М., Тихомирова В. М. и Фомина С. В. [31], В. М. Тихомирова и Г. Г. Магарил Ильяева [32]. Приведем некоторые примеры актуальных задач теории интегрирования,теории функциональных пространств и теории вложений, решение которых требуетизучения свойств операторов на конусах функций, удовлетворяющих различным условиям монотонности.При изучении интегральных свойств функции проблему можно свести к изучениюинтегральных свойств на конусе Ω0 неотрицательных монотонных функций, так как онаравноизмерима со своей убывающей перестановкой f ∗ (t) = inf {y ∈ R+ : λf (y) ≤ t} ∈Ω0 , t ∈ R+ , где λf - Лебегова функция распределения (более подробно см.