В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 10

+ рк, (2.3) а это и означает, что элемент х является линейной комбинацией элементов у,...,х. 2) Достаточность. Пусть один из элементов (например, х) является линейной комбинацией остальных элементов. Тогда найдутся числа Л,..., р такие, что справедливо равенство (2.3). Но это последнее равенство можно переписать в виде ( — 1)х+ Лу+ ... + рх = О. Так как из чисел ( — 1), Л,..., р одно отлично от нуля, то равенство (2.4) устанавливает линейную зависимость элементов х, у,, х. Теорема доказана. Справедливы два элементарных утверждения.

1. Если среди элементов х, у,..., к имеется нулевой элемент, то эти элементы линейно зависимьп В самом деле, если, например, х = О, то равенство (2.2) справедливо при о = 1, 11 = ... = у = О. 2. Если часть элементов х, у, ..., к являются линейно зависимыми, то и все эти элементы являются линейно зависимыми. В самом деле, если, например, элементы у,..., к линейно зависимы, то справедливо равенство )зу + ... + тх = О, в котором не все числа д, ..., т равны нулю. Но тогда с теми же числами д,..., у и с о = О будет справедливо равенство (2.2).

(гл. 2 линеиные пРООТРАнствА В заключение рассмотрим вопрос о линейной зависимости элементов пространства А", введенного в примере 3 п. 1 31. Докажем, что и элементов указанного пространства е|=(1,0,0, ...,0), ез=(0,1,0,...,0), ез=(0,0, 1, ...,0), (2. 5) е„=(0,0,0, ...,!) являются линейно независимыми, а совокупность и элементов (2.5) и еще одного произвольного элемента х = (хы хз,..., х„) пространства А" уже образует линейно зависимую систему элементов.

Рассмотрим линейную комбинацию элементов (2.5) с какими-либо числами аы аз, аз,..., а„, В силу аксиом эта линейная комбинация представляет собой элемент сг1е1 + еаез + ... + О~о~ = (аы сь2... О~), который является нулевым лишь при условии о! = глз = ... = а„= О. Но это и означает линейную независимость элементов (2.5). Докажем теперь, что система, состоящая из п элементов (2.5) и еще одного произвольного элемента х = (хы ха,..., х„) пространства А", уже является линейно зависимой. В силу теоремы 2.3 достаточно доказать, что элемент х = (хи хз, ..., х„) представляет собой линейную комбинаг!ию элементов (2.5), а это очевидно, ибо в силу аксиом х = (хи ха,..., хь) = х1е|+ хаев + ... + х.„е„. 2.

Базис и координаты. Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство тг. Определение. Совокупность линейно независимых элементов еы ез,..., е„ пространства Л называется базисом этого пространства, если для каждого элемента х пространства Л найдутся вещественные числа хы хз,...,х„ такие, что справедливо равенство (2.6) х = х1е1+ хаев + ... + х„е„. х = х',е|+ хзеа + ... + х'„е„. (2.7) При этом равенство (2.6) называется разложением элемента х по базису еы ез, ..., е„, а числа хи тш..., х„называются координатами элемента х (относительно базиса еи ез,..., е„).

Докажем, что каждый элемент х линейного пространства й может быть разложен по базису еи ем ..., е„единственным способом, т.е. координаты каждого элемента х относительно базиса еы ез,..., е„определяются однозначно. Допустим, что для некоторого элемента х наряду с разложением (2.6) справедливо еще и другое разложение по тому же самому базису й2) БАзис и РлзмеРн<1сть линеиного пРостРлнствл 49 Почленное вычитание равенств (2.6) и (2.7) приводит нас к соотношению ') (х1 — х1)е1+ (хз — хз)ез+ ... + (х„— х'„)е„= О. (2.8) В силу линейной независимости базисных элементов е1, ез,..., е„, соотношение (2.8) приводит к равенствам х1 — х', = О, хз — х!~ — — О, ... ..., х,„— х'„= О или х1 = хн ха = хз, ..., х = х'„. Единственность разложения по базису доказана.

Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса преврапцаются в соответствующие операции над числами — координатами этих элементов. Именно справедливо следующее утверждение. Теорема 2.4. При сложении двух любых элементов линейного пространства гь их координаты (относительно любого базиса пространства гс) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число Л все координаты этого элемента умножаются на Л.

Доказательство. Пусть е1, ею ..., е„— произвольный базис пространства 77, х = х1е1 + хаев + ... + т„,е„ и у = у1е1 + увез + ... + У„е„ вЂ” любые два элемента этого пространства. Тогда в силу аксиом 1' — 8' Х + У = (Х1 + У1)Е1 + (ХЗ + УЗ)ЕЗ + ... + (Хн + У„)Еп, Лх = (Лх1)е1 + (Лхз)ез + ... + (Лх„)е„. В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств.

Из аналитической геометрии известно, что любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве Вз всех свободных векторов (это пространство рассмотрено в примере 1 п.1 9 1). Заметим далее, что совокупность и элементов (2.5), рассмотренных в конце п. 1, образует базис в линейном пространстве А", введенном в примере 3 п.) 9 1. В самом деле, в конце предыдущего пункта доказано, что элементы (2.5) линейно независимы и что любой элемент х = (х1, хз,..., х„) пространства А" представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.5). Убедимся, наконец, что базис линейного пространства (х), введенного в примере 2 п. 1 91, состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой н е н у л е в о й элемент этого пространства (т.

е, любое положительное вещественное число хш не равное 1). Достаточно доказать, что для любого положительного вещественного ') Возможность почленного вычитания равенств (2.6) н (2.7) н производимой группировки членов вытекает нз аксиом 1' — 8'. 50 (гл. 2 линеиные ппостплнствл числа х найдется вещественное число Л такое, что х = хл ') . Но это очевидно: достаточно взять Л = !оя,х.

3. Размерность линейного пространства. Как и выше, будем рассматривать произвольное вещественное линейное пространство Л. Определение 1. Линейное пространство Л называется п-мерным, если в нем существует и линейно независимых элементов, а любые (п+ 1) элементов уже являются линейно зависимыми.

При этом число п называется размерностью пространства Л. Размерность пространства й обычно обозначают символом г!!ш й. Определение 2. Линейное пространство й называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов я). В настоящей книге мы будем изучать, в основном, пространства конечной размерности и. Бесконечномерные пространства составляют предмет спепиального изучения. (Они изучаются в гл. 10 и 11 выпуска «Основы математического анализао, часть 11.) Выясним связь между понятием размерности пространства и введенным в предыдущем пункте понятием базиса.

Теорема 2.6. Если й — линейное пространство размерности и, то любые п линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис. Доказательство. Пусть еы еа,..., е„— любая система п линейно независимых элементов пространства й (существование хотя бы одной такой системы вытекает из определения 1). Если х — л ю б о й элемент й, то, согласно определению 1, система (и + 1) элементов х, еы ею ..., е„линейно зависима, т. е. найдутся не все равные нулю числа оо, оы оя, ..., о„такие, что справедливо равенство оох+ о ~е~ + озез + ... + о„е„= О. (2.9) Заметим, что число оо заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства (2.9) вытекала бы линейная зависимость элементов еы еа,..., е„).

Но тогда, поделив равенство (2.9) на оо и положив а1 ао а х1 = — —, хо = — —, ..., х„= — —, мы получим из (2.9) ао ао' ' " оо' (2.10) х = х!е! + хаев+ ... + х„е„. Так как х — произвольный элемент Л, то равенство (2.10) доказывает, что система элементов еы ею ...,е„ является базисом пространства Л. Теорема доказана. Теорема 2.6. Если линейное пространство й имеет базис, состава!ий из п элементов, то размерность й равна п. ') Напомним, что произведение элемента хо на число Л определяется как число хо.

') Для обозначения того, что пространство Л является бесконечномерным, используют следующую символику: й!т й = со. гз2) БАзис и РлзмеРность линеиного пРОстРлнствл 5! Доказательство. Пусть система и элементов е1, ез,..., е„является базисом пространства гс. Достаточно доказать, что л ю б ы е (и + 1) элементов этого пространства х1,ха,...,х„э1 линейно зависимы ). Разложив каждый из этих элементов по базису, будем иметь х1 = ане1+ амеа+ ... + а1„е„, ха —— аме1+ аззез + ... + аз,е„, х„ж1 = а1„.„1)1е1 + а1„Р1)зев + ...

+ а1„э11„ее, где ан, а1ю ..., а1„Р11„— некоторые вещественные числа. Очевидно, линейная зависимость элементов х1, ха,..., х„э1 эквивалентна линейной зависимости строк матрицы ам ... а1„ аз ... а„ ап аи А= аб,~.и1 а1„РН ... ащ, Н„ ') Йбо базисные элементы е1, ем ..., е„образуют систему п линейно независимых элементов пространства Я. ") См.

теорему 1.б из и. 2 й 3 гл. 1. Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, ибо порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (и+ 1) строк и и столбцов) не превосходит и, и хотя бы одна из (и + 1) ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре а) представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк. Теорема доказана. Обращаясь к примерам, рассмотренным в конце предыдущего пункта, мы теперь можем сказать, что размерность пространства В1 всех свободных векторов равна трем, размерность пространства А" равна п, а размерность пространства (л) равна единице.

Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство С (а, Ь) всех функций а = х(1), определенных и непрерывных на сегменте а < 1 < Ь (см. пример 4 из п.1 Э 1). В самом деле, для любого номера п система (и + 1) элементов этого пространства 1, й гз,..., 1" является линейно независимой (ибо в противном случае некоторый многочлен Со + С11 + СЗ1~ + ...

+ С„1", не все коэффициенты Со, С1,..., С„ которого равны нулю, оказался бы тождественно равным нулю на сегменте а < 1 < Ь). 4. Понятие изоморфизма линейных пространств. В этом пункте мы покажем, что различные линейные пространства одной и той же размерности г1 в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга.

Так как в линейных пространствах введены лишь операции сложения элементов и умножения элементов на числа, то естественно сформулировать следующее определение. Определение. Два произвольных вещественных линейных пространства Й и Й' называются изоморфнызги, если между элементами 52 (гл.

2 линеиные пгостглнствл этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие ') так, что если элементам х и у пространства Л отвечают соответственно элементы х' и у' пространства Л', то элементу х + у отвечает элемент х' + у', а элементу Лх при любом вещественном Л отвечает элемент Лх'.