В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 12

В заключение докажем важную теорему о размерности линейной оболочки. Теорема 2.8. Размерность линеиной оболочки В(х, у,..., и) элементов х, у,..., я равна максимальному числу линейно независимых элементов е сисгяеме элементов х, у,..., в. В частности, если элементы х, у, ..., в линейно независимы, то размерность линейной оболочки Цх, у, ..., и) равна числу элементов х, у,..., к (а сами эти элементгя образуют базис линейной оболочки Цх, у,..., к)). Доказательство. Допустим, что среди элементов х, у,..., в имеется т линейно независимых элементов (обозначим их через хн хв,..., х„), а любые (г+ 1) нз элементов х, у,..., в линейно зависимы.

Тогда каждый из элементов х, у, ..., я представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов хн хз,..., х„'), и поскольку по определению каждый элемент линейной оболочки В(х, у,... ..., я) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов х, у,..., в, то каждый элемент указанной линейной оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию одних только элементов хн хз,...,х„.

Но это и означает, что система линейно независимых элементов хн хз,..., х„образует базис линейной оболочки В(х, у, ..., я) и что размерность Ь(х, у, ..., в) равна т. Теорема доказана. 2. Новое определение ранга матрицы. В Э 3 гл. 1 мы определили ранг произвольной матрицы А как порядок ее базисного минора, т.е. ') Это устанавливается с помощью тех же самых рассуждений, которые были проведены при доказательстве теоремы 2.5, 56 (гл.

2 линеиные ппостглнствл как число г, удовлетворяющее требованию существования у матрицы А отличного от нуля минора порядка г и отсутствия у этой матрицы отличных от нуля миноров порядка, большего г. В этом пункте мы убедимся, что ранг произвольной матриц!я А равен максимальному числу линейно независимых строк (или столб!)ов) этой матрицы. Отсюда будет следовать новое определение ранга матрицы как максимального числа линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы ). Проведем все рассуждения для строк (для столбцов они аналогичны).

Рассмотрим в линейном пространстве А" (введенном в примере 3 п.1 Э !) линейную оболочку базисных строк произвольной, содержащей гн строк и и столбцов матрицы А и предположим, что число базисных строк равно г. Из теоремы 1.6 о базисном миноре вытекает, что любая строка матрицы А является элементом указанной линейной оболочки, а из линейной независимости г базисных строк и из теоремы 2.8 вытекает, что размерность указанной линейной оболочки равна т Стало быть, любые (г + 1) элементов указанной линейной оболочки (и, в частности, любые (г + 1) строк матрицы А) линейно зависимы.

А это и означает, что число г представляет собой максимальное число линейно независимых строк. 3. Сумма и пересечение надпространств. Пусть !! и Вз — два произвольных подпространства одного и того же линейного пространства Й. Совокупность всех элементов х пространства гс, принадлежащих одновременно Л1 и Ьз, образует подпространство пространства ть з), называемое пересечением подпространств Т,! и Т,з. Совокупность всех элементов пространства )т вида у + я, где у элемент подпространства Ь|, а я элемент подпространства Ьа, образует подпространство пространства Я з), называемое суммой подпространств Ь! и Ьз.

П р и м е р. Пусть гь — линейное пространство всех свободных векторов (в трехмерном пространстве), Т,! — надпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Оку, Ьа — подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Охз. Тогда суммой подпространств ) ! и Ва будет являться все пространство й "), ') В частности, отсюда будет следовать весьма нетривиальная теорема о том, что у любой матрипы максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

з) Ибо элементы этой совокупности удовлетворяют требованиям 1' и 2; сформулированным в начале и 1. ) См. предыдущую сноску. ) В самом деле, любой вектор х пространства 11 представляет собой линейную комбинацию х = о1+ Я+ т)с базисных векторов 1, ), )с, параллельных осям Ок, Оя и Оь соответственно, причем вектор о!+ Я принадлежит Ьь а вектор т)к принадлежит В . 57 подпгостнлнствл линкиных пностглнств а пересечением подпространств Ь| и 1з будет являться множество всех свободных векторов, параллельных оси Ох.

Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.9. Сумма размерностей произвольных подпространств Ь| и 1.з конечномерного линейного пространства Й равна сумме размерности пересечения этих надпространств и размерности сум.иы этих надпространств. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Ьо пересечение Ь| и Ью а через 1 — сумму 1 | и 1з. Считая Ьо (с-мерным, выберем в нем базис (2.11) е|, ею.,,, еь. Используя утверждение, доказанное в п. 1, дополним базис (2.11) до базиса (2.12) е|,..., ею 9ы", 9| в подпространстве Л| и до базиса е|,..., е|ы тн "., 1 (2.13) в подпространстве Ьз.

Достаточно доказать, что элементы 9н..., 9н е|, ..., ею Гы..., 1 (2.14) являются базисом суммы К подпространств Л| и Ья ') . Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что элементы (2.14) линейно независимы и что любой элемент х суммы Л представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14). Сначала докажем, что элементы (2.14) линейно независимы.

Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов (2.14) представляет собой нулевой элемент, т,е. справедливо равенство |х|Ц| + ... + гх|м| + Д|е| + ... + Дьеь + .~|1| + ... + .У Г = 0 (2 15) или ся|9| +... + ся|91 +Д|е| + ... + Диез = — т|1| — ... — т Г . (2 16) Так как левая часть (2.16) является элементом 1 |, а правая часть (2.16) является элементом Ья, то как левая, так и правая часть (2.16) принадлежит пересечению Ло подпространств Ь| и Ья. Отсюда следует, в частности, что правая часть (2.16) представляет ') Ибо при этом размерность 1,, равная 1 ж й + т, з сумме с размерностью 1.ь, равной й, будет равна сумме размерностей й + 1 н й ж т надпространств 1| н 1я 58 (гл.

2 линеиные пностРАнстВА собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.11), т. е. найдутся такие числа Лп..., Лю что — у| — ... — у Г,„= Л|е|+ ... + Льет (2.17) В силу линейной независимости базисных элементов (2.!3) равенство (2.17) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты гп..., .г Лы ..., Ль равны нулю. Но при этом из (2.15) мы получим, что о1и1 + ... + о~ р + 131 е1 + ... + де ее = О. (2.!8) В силу линейной независимости базисных векторов (2.12) равенство (2.18) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты оы .., ..., оп р'ы ..., ря равны нулю. Тем самым мы установили, что равенство (2.15) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты о1 ..

еч А ° ., дю 'уп., у равны нулю, а это и доказывает линейную независимость элементов (2.14). Остается доказать, что любой элемент х суммы Х представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14), но это сразу следует из того, что этот элемент х представляет собой (по определению К) сумму некоторого элемента х| подпространства Т.п являющегося линейной комбинацией элементов (2.12), и некоторого элемента хз подпространства )ю являющегося линейной комбинацией элементов (2.!3).

Теорема доказана. Возвращаясь к примеру, рассмотренному перед формулировкой теоремы 2.9, заметим, что в этом примере размерность каждого из подпространств Ь1 и Ьз равна двум, размерность их суммы равна трем, а размерность их пересечения равна единице. 4. Разложение линейного пространства в прямую сумму надпространств. Пусть й1 и йз — два надпространства линейного и-мерного пространства й.

Определение. Будем говорить, что пространство й представляет собой прямую сумму подпространств й| и йз, если каждый элемент х пространства й может быть единственным способом представлен в виде суммы х=х, +хв (2.!9) элемента х| подпространства й1 и элемента хэ подпространства йа. Тот факт, что й представляет собой прямую сумму й| и йз символически записывают так: й = й| 9 йз. Последнее равенство обычно называют разложением пространства й в прямую сумму надпространств й~ и йз. Так пространство й всех свободных векторов (в трехмерном пространстве) можно разложить в прямую сумму подпространства й| всех векторов, параллельных плоскости Оеу и подпространства йз всех векторов, параллельных оси Оз.

Теорема 2.10. Для того чтобы и-мерное пространство й представляло собой прямую сумму подпространств й| и йю достаточно, чтобы пересечение й~ и йз содержало только нулевой элемент 59 ПОДПРОСТРЛНСТВЛ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРЛНСТВ и чтобы размерность Й была равна сумме размерностей подпространств Й~ и Йз. Доказательство. Выберем некоторый базис ен ..., еь в подпространстве Й| и некоторый базис дн ..., В~ в подпространстве Йз. Докажем, что объединение этих базисов ен ..., еь, Дн..., В~ (2.20) представляет собой базис всего пространства Й. Так как по условию теоремы размерность п всего пространства Й равна сумме и + 1 размерностей Й1 и Йз, то достаточно (в силу теоремы 2.5) доказать линейную независимость элементов (2.20).

Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов (2.20) представляет собой нулевой элемент, т.е. справедливо равенство о|е1+ ... + оьеь + Дд~ + ... + Д~д~ = О, (2.21) или опе~ + ... + аьеь = — Дц1 — ... — ДВИ (2.22) Так как левая часть (2.22) является элементом Йн а правая — элементом Йв, а пересечение Й~ и Йз содержит лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть (2.25) представляет собой нулевой элемент, а это (на основании линейной независимости элементов каждого из базисов ен ..., еь и нн ..., Вр) возможно лишь пРи Условии (2.23) о1 = ... = мь = О, 131 = ... = Д = О.

Тем самым мы установили, что равенство (2.21) возможно лишь при условии (2.23), а это и доказывает линейную независимость элементов (2.20) и тот факт, что элементы (2.20) образуют базис всего пространства Й. Пусть теперь х — любой элемент Й. Разложив его по базису (2.20), будем иметь х = Л~е~ + ... + Лчеь + р1д~ + ... + р~д~ или х = х~ + хю где х~ = Л1е| + ...