В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 14

е. один столбец вида х! ха (3.3) Согласно правилу перемножения двух матриц ') произведение АХ матрицы (3.2) на матрицу (3.3) представляет собой матрицу, содержащую ги строк н 1 столбец, т. е. один столбец следующего вида: а!!х!+ аых!+ ... + а!„х„ аа!х! + алеха + ... + азах (3.4) а„,!х! -1- а аха -1- ... -1- а „х„ Система равенств (3.1) означает, что этот столбец (3.4) совпадает со столбцом Ь! Ьа (3.5) Таким образом, в матричной записи систему (3.1) можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением АХ = В, (3.6) в котором матрицы А, Х и В определяются соотношениями (3.2), (3.3) и (3.5).

Решение матричного уравнения (З.б) заключается в отыскании такого столбца (3.3), который при заданной матрице (3.2) и заданном столбце правых частей (3.5) обращает уравнение (З.б) в тождество. В этом и в следующем параграфах мы выясним в отношении линейной системы (3.1) следующие три вопроса: !) способ установления того, является система (3.1) совместной или нет, 2) способ установления того, является система (3.1) (в случае ее совместности) определенной или нет, 3) способ отыскания единственного решения совместной системы (3.1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности).

2. Нетривиальная совместность однородной системы. Начнем с рассмотрения однородной линейной системы вида (3.1), т.е. системы а!!х! + а!Ехз+ ... + а!„х„= О, амх! + аззхз+ ... + ав„х„= О, (3. 7) а„„!х! + а„,зхз+... + а „х„= О. ') См. п.2 41 гл. 1, формулу (1А), 3 Лааейааа алгебра (гл. 3 66 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Сразу же отметим, что эта система всегда совместна, ибо она всегда обладает так называемым тривиальньгм (или нулевым) решением х1 = = хз = ... = х„= О ') . Возникает вопрос о том, при каких условиях однородная система (3.7) имеет, кроме указанного тривиального решения, егце и другие решения (т. е. является»нетривиально совместной»). Этот вопрос решается довольно просто. Заметим, что существование нетривиального решения системы (3.7) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы (3.2) (ибо линейная зависимость столбцов матрицы (3.2) означает, что существуют числа хн хз,..., х„, не все равные нулю и такие, что справедливы равенства (3.7)).

Но в силу теоремы 1.6 о базисном миноре линейная зависимость столбцов матрицы (3.2) будет иметь место тогда и только тогда, когда н е в с е столбцы этой матрицы являются базисными, т. е. то~да и только тогда, когда порядок г базисного минора матрицы (3.2) меньше числа и ее столбцов.

Мы приходим к следующей теореме. Теорема 3.1. Однородная система (3.7) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг т матрицы (3.2) меньше числа и ее столбцов. Следствие. Квадратная однородная система з) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. В самом деле, в случае квадратной однородной системы (3.7), т.е. при т = и ранг т матрицы (3.2) будет меньше числа т = и тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. 3.

Условие совместности общей линейной системы. Установим теперь необходимое и достаточное условие совместности общей (вообще говоря, неоднородной) системы вида (3.!). С этой системой связаны две матрицы: матрица Л, определяемая соотношением (3.2), которую принято называть основной матрицей системы (3.!) (она составлена из коэффициентов при неизвестных), и матрица а11 ам ...

аш Ь! ап аяя ... а»„Ь» (3.8) а ~ а. » ... а „Ь которую принято называть расширенной матриией систем»я (3.1) (она получается из основной матрицы путем добавления к этой матрице столбца (3.5) свободных членов). Справедлива следующая основная теорема. ') Действительно, подставив в систему (3.7) нули на место всех неизвестных хн х„, ..., х„, мы обратим в тождества все уравнения этой системы. ') То есть система (3.7), у которой число уравнений гп равно числу неизвестных п. 67 УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ Теорема 3.2 (теорема Кроиекера — Капелли ').

Для того чтобы линейная система (3.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобьг ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицье Доказательство. !) Необходимость. Пусть система (3.1) совместна, т. е, существуют такие числа с!, с2,..., с„, что справедливы равенства а! ! с! + а!2с2 + ... + а!„с„= Ь!, а2! с1 + а22с2 + ... + аз~с = Ь2, (3.9) и ! с! + а,„2с2 + ...

+ а„,„с„= Ь„,, Обозначим через г ранг основной матрицы системы (3.1) и рассмотрим линейную оболочку Т, г базисных столбцов этой матрицы. В силу теоремы 1.6 о базисном миноре любой столбец основной матрицы принадлежит указанной линейной оболочке Т,. Иными словами, любой столбец расширенной матрицы (3.8), кроме последнего ее столбца, принадлежит указанной линейной оболочке 1. Из равенств (3.9) следует, что и последний столбец расширенной матрицы (3.8) принадлежит линейной оболочке Т (ибо этот последний столбец в силу равенств (3.9) линейно выражается через все столбцы основной матрицы и поэтому линейно выражается через ее базисные столбцы).

Таким образом, все столбцы расширенной матрицы (3,8) принадлежат указанной линейной оболочке Ь. В и. 2 Э 3 гл. 2 мы уже установили, что размерность указанной линейной оболочки 6 равна т. Это означает, что любые г+ ! столбцов расширенной матрицы (3.8) линейно зависимы, т.е. ранг расширенной матрицы (равный максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы) также равен числу г. Необходимость доказана.

2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть ранги основной и расширенной матриц совпадают. Тогда г базисных столбцов основной матрицы будут являться базисными столбцами и расширенной матрицы (3.8) 2), По теореме 1.6 о базисном миноре, последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию указанных т базисных столбцов. Стало быть, последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию и всех столбцов основной матрицы (3.2) ), т.е.

существуют числа с!, сг, ..., с„такие, что справедливы равенства (3.9). Последние равенства означают, что числа с!, с2, ..., с„представляют собой решение системы (3.1), т. е. эта система является совместной. Теорема полностью доказана. ')Леопольд Кронекер (!823-1891) — немецкий математик, Альфред Кавалли (!855 †19) — итальянский математик. 2) Ибо указанные г базисных столбцов линейно независимы, а большего чем г числа линейно независимых столбцов расширенная матрица не имеет.

з) Не изменяя линейной комбинации г базисных столбцов, мы можем добавить к ней все небазисные столбцы с множителями, равными нулю. (гл. 3 68 системы линеиных уРлвнении ф 2. Отыскание решений линейной системы Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы, но не дает способа нахождения решений этой системы.

В этом параграфе мы займемся отысканием решений линейной системы (3.1). Сначала мы рассмотрим простейший случай квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы, а затем перейдем к отысканию совокупности всех решений общей линейной системы вида (3.!). 1. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля. Пусть дана квадратная система линейных уравнений а~|х~ + а|2хз+ ... + аых„= Ьн а21х! + а22х2 + ... + аз~х~ = Ь2, (3.!О) а„~х1+ а„зхз + ... + ав„х„= Ь„ с отличным от нуля определителем 2х основной матрицы ап аы .. ам ам ам .. аз„ (3.

11) а~ а„2 ... а„ Докажем, что такая система имеет, и притом единственное, решение, и найдем это решение. Сначала докажем, что система (3.10) может иметь только одно решение (т.е. докажем единственность решения системы (3.10) в предположении его существования). Предположим, что существуют какие-либо и чисел хн х2, ..., хь такие, что при подстановке этих чисел в систему (3.10) все уравнения этой системы обращаются в тождества (т.е.

существует некоторое решение системы (3.10) хн хз,..., х„). Тогда, умножая тождества (3.10) соответственно на алгебраические дополнения А1, А22,..., А„ элементов усто столбца определителя 2з матрицы (3.11) и складывая затем получающиеся при этом тождества, мы получим (для любого номера ~, равного 1, 2, ..., и) х,(анАЫ + а2,А2 + ... + а„;А„) = Ь1А| + ЬЕА2 + ... + Ь„А„.. 2=! Учитывая, что сумма произведений элементов г-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов эыго столбца равна нулю при 1 у': у и равна определителю 2з матрицы (3.11) при 1 = 2' '), мы получим из последнего равенства (3.12) х Ь = Ь! А1 + Ь2А2 +...

+ Ь„А ц. ') См. свойство 4' из п.4 й 2 гл. 1. 42) 69 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ Обозначим символом гл (6,) (или, более кратко, символом г)г) определитель, получающийся из определителя г) основной матрицы (3.11) заменой его т'-го столбца столбцом из свободных членов Ьн Ьг,..., Ь„(с сохранением без изменения всех остальных столбцов гх). Заметим, что в правой части (3.12) стоит именно определитель гг,(Ьч) '), и это равенство принимает вид х,г.'! = йг (~ = 1, 2,..., и). (3.13) Поскольку определитель ьх матрицы (3.11) отличен от нуля, равенства (3.13) эквивалентны соотношениям (3.14) х,= — ' О=1,2,...,и).