В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 11

Заметим, что если линейные пространства й и й' изоморфны, то нулевому элементу й отвечает нулевой элемент й' и наоборот. (В самом деле, пусть элементу х пространства Л отвечает некоторый элемент х' пространства Л'. Тогда элементу О х пространства й отвечает элемент О х' пространства й'.) Отсюда следует, что если в случае изоморфизма элементам х, у,... ..., я пространства й отвечают соответственно элементы х', у',..., я' пространства Л', то линейная комбинация гхх + )зу + ...

+ уя является нулевым элементом пространства й тогда и только тогда, когда линейная комбинация ох' + ду' + ... + 7я' является нулевым элементом пространства й'. Но это означает, что если пространства й и й' изоморфны, то максимальное число линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и то же. Иными словами, два изоморфным пространства обязаны иметь одинаковую размерность. Стало быть, пространства разной размерности не могут быть изоморфньп Докажем теперь следующее утверждение.

Теорема 2.7. Любые два и-мерных веи)естввнних линейных пространства й и Л' изоморфны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в й какой-либо базис ем ез,..., е„, а в й' какой-либо базис еы е.', ..., е'„. Поставим в соответствие каждому элементу х = х1е1+ хяез+ ... + м„е„пространства й элемент х' = х|е', + хзе' + ... + лье'„пространства й' (т.е. мы берем в качестве х' тот элемент й', который имеет относительно базиса ео е', ..., е'„те же самые координаты, что и элемент х относительно базиса е1, ез,..., е„). Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу х пространства й однозначно соответствуют координаты хы хз,..., х„, которые, в свою очередь, определяют единственный элемент х' пространства й'. Б силу равноправности пространств Л и й', каждому элементу х' пространства й', в свою очередь, соответствует единственный элемент х пространства й.

Остается заметить, что если элементам х и у пространства Л отвечают соответственно элементы х' и у' пространства й', то в силу ) Напомним, что соответствие между элементами двух множеств й и й' называется взаимно однозначным, если при этом соответствии каждому элементу Л отвечает один и только один элемент Л', причем каждый элемент Й' отвечает одному и только одному элементу Л. 43) ПОДПРОСТРЛНСТВА ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВ теоремы 2.4 элементу х+ у отвечает элемент х'+ у', а элементу Лх отвечает элемент Лх'. Теорема доказана. Из приведенного нами рассмотрения следует, что единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность. ф 3.

Подпространства линейных пространств 1. Понятие надпространства и линейной оболочки. Предположим, что некоторое подмножество Е линейного пространства Рг удовлетворяет следующим двум требованиям. 1'. Если элементы х и у принадлежат подмножеству Ь, то и сумма х+ у принадлежит этому подмножеству. 2'. Если элемент х принадлежит подмножеству Е, а Л вЂ” любое вещественное число, то и элемент Лх принадлежит подмножеству Ь.

Убедимся в том, что подмножество 1, удовлетворяющее требованиям 1' и 2; само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества Е аксиом 1' — 8' из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3' и 4; заведомо справедливы для элементов подмножества 1, поскольку они справедливы для всех элементов пространства й. Остается проверить выполнение аксиом 3' и 4'. Пусть х — любой элемент подмножества ), а Л вЂ” любое вещественное число. Тогда в силу требования 2' элемент Лх также принадлежит Ь. Остается заметить, что !в силу теоремы 2.2) этот элемент Лх при Л = О превращается в нулевой элемент пространства )1, а при Л = -1 превращается в противоположный для х элемент.

Таким образом, подмножеству ! принадлежит нулевой элемент и противоположный !для каждого элемента х) элемент, а это и означает, что для элементов подмножества ! справедливы аксиомы 3' и 4'. Тем самым полностью доказано, что подмножество Ь само является линейным пространством. Определение.

Подмножество Ь линейного пространства )1, удовлетворяющее требованиям 1' и 2; называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства Рс. 1!ростейщими примерами подпространств мокнут служить: 1) так называемое нулевое подпространство, т.е. подмножество линейного пространства )1, состоящее из одного нулевого элемента; 2) все пространство )! (которое, конечно, можно рассматривать как надпространство). Оба эти подпространства принято называть несобственными. Укажем примеры подпространств более содержательного вида.

П р и м е р 1. Подмножество (Р„(!)) всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п '), в линейном ') Это подмножество введено в примере б п. ! Э ! настояв!ей главы. 54 (гл. 2 линеиные пностглнствл пространстве С(а, Ь) всех функций к = к(!), определенных и непрерывных на сегменте а < ! < Ь ') (справедливость для элементов подмножества (Р„(!)) требований 1' и 2' не вызывает сомнений). ГГ ример 2. Подмножество Ва всех свободных векторов, параллельных некоторой плоскости, в линейном пространстве Вз всех свободных векторов з) (справедливость для элементов Вз требований 1' и 2' очевидна). П р и м е р 3.

Пусть х, у,..., к — совокупность элементов некоторого линейного пространства й. Линейной оболочкой элеменгпов х, у,..., к будем называть совокупность всех линейныя комбинаций этих элементов, т, е, множество элементов вида ох+ Ву -1- ... + ук, где о, !3,..., у — какие угодно вещественные числа.

Договоримся обозначать линейную оболочку элементов х, у,..., к символом Цх, у,..., к). Для линейной оболочки произвольных элементов х, у,..., к линейного пространства В, очевидно, выполняются требования 1' и 2; сформулированные в начале настоящего пункта. Поэтому всякая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства й. Это подпространство, очевидно, содержит элементы х, у,..., к, на которых построена линейная оболочка В(х, у,..., к). С другой стороны, всякое подпространство, содержащее элементы х, у,..., к, обязано содержать и все линейные комбинации этих элементов. Поэтому линейная оболочка элементов х, у,..., к является наименьшим подпространством, содержащим элементы х, у, ..., к.

Конкретным примером линейной оболочки может служить линейная оболочка элементов 1, 1, !з,..., 1„линейного пространства С (а, Ь) всех функций к = к(!), определенных и непрерывных на сегменте а < ! < Ь. Эта линейная оболочка, очевидно, представляет собой множество (Р„(!)) всех алгебраических многочленов степени, не превышающей и.

Другие примеры подпространств будут рассмотрены в п.3 настоящего параграфа. Рассмотрим вопрос о размерности подпространства (и, в частности, линейной оболочки). Можно утверждать, что размерность любого подпространства п-мерного линейного пространства В не превосходит размерности тг пространства В (ибо всякзя линейно независимая система элементов подпространства является одновременно линейно независимой системой элементов всего пространства Я). Более точно можно утверждать, что если подпространство не совпадает со всем п-мерным линейным пространством й, то размерность В строго меньше и.

') Пространство С (а, Ь) введено в примере 4 п, 1 Ь1 этой главы. ") Множества Вз и Вз были введены в примере 1 и. 1 Э 1 этой главы. 55 ПОДПРОСТРЛНСТВЛ ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРЛНСТВ Это вытекает из того, что если размерности ! и В обе равны п, то всякий базис подпространства Ь, поскольку он состоит из и, элементов, является (в силу теоремы 2.5) базисом и всего пространства К. Заметим, что если во всем пространстве В выбран базис ен ез,... ..., е„, то базисные элементы подпространства 1., вообще говоря, нельзя выбирать из числа элементов ен ез,..., е„ (ибо в общем случае ни один из элементов ен ез,..., е„ может не принадлежать Ь). Однако справедливо обратное утверждение: если элементы ен еа,,.. ..., еь составляют базис к-мерного надпространства п-мерного линейного пространства В, то этот базис можно дополнить элементами еьен..., е„пространства В так, что совокупность элементов ен, .., еь, еь ьн ..., е„будет составлять базис всего пространства й.

Докажем это утверждение. Если к < и, то найдется элемент еьт1 пространства В такой, что элементы ен ез,..., еь, еь„| линейно независимы (в противном случае пространство Л оказалось бы )с-мерным). Далее, если й + 1 < и„ то найдется элемент еьтз пространства Й такой, что элементы ен ез,..., еь,евган еьтз линейно независимы (в противном случае пространство Я оказалось бы (к + 1)-мерным). Продолжая аналогичные рассуждения, мы докажем сформулированное утверждение.